Divisibilité dans Z
Classe de terminale - option maths expertes
Euclide - Wikimedia
L’arithmétique est une branche des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres entiers. Euclide, Diophante, Fermat, Gauss et Andrew Wiles ont notamment contribué aux avancées dans ce domaine.
Aujourd’hui, l’arithmétique est au centre des problèmes liés à l’informatique (codage, cryptographie).
Vers 300 avant J.C., Euclide utilise pour la première fois la méthode de des- cente infinie (ancêtre de la récurrence) dans ses « Éléments » en établissant l’existence d’un diviseur premier pour chaque nombre composé.
Pierre de Fermat (1601-1665), magistrat et mathématicien « amateur » fran- çais est notamment célèbre pour avoir énoncé le théorème suivant : « soit n>2 un entier naturel, alors il n’existe pas d’entiers x ≤2,y ≤2 et z ≤2 tels quexn+yn =zn ».
Sur la démonstration de celui-ci, il écrit : « J’en ai découvert une démons- tration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir. » Finalement, ce théorème n’a été démontré qu’en 1994 par le mathématicien anglais Andrew Wiles.
Pierre de Fermat- Wikimedia
I - Divisibilité dans Z
Définition : Soienta et b deux entiers relatifs avecb non nul. On dit queb divise a (notéb|a) ou queb est un diviseur de a s’il existe un entier relatifk tels que a =kb.
On dit aussi que a est un multiple deb.
Remarque : On déduit de cette définition que :
• tout entier relatif non nuln possède un nombre fini de diviseurs compris entre−n etn.
• si b|a alors les multiples de a sont des multiples deb.
• si b|a alors les diviseurs deb sont des diviseurs de a.
Propriété : Soient a et b deux entiers relatifs, on a :
a|b ⇔(−a)|b ⇔a|(−b)⇔(−a)|(−b)
Preuve : Cette propriété sera démontrée en exercice.
Propriétés : Soient a, b etc des entiers relatifs.
• Si a 6=0 et b 6=0 avec a|b etb|c alors a|c.
Preuve : • Si a|b et b|c alors il existe des entiers relatifs k et k0tels que b =ka et c =k0b. On en déduit que c =kk0a donc que a est un diviseur de c.
• Si a|b et a|c alors il existe des entiers relatifs k et k0 tels que b =ka et c =k0a donc pour tous entiers relatifs m etn, mb+nc =mka+nk0a =(mk+nk0)a et a est bien un diviseur de mb+nc.
II - Division Euclidienne
Propriété : Soit a un entier relatif etb un entier relatif non nul.
Il existe un unique couple d’entiers relatifs (q;r) tel quea =bq+r avec 0≤r <b.
q et r sont appelés le quotient et le reste de la division euclidienne dea par b.
Preuve : Cette propriété est ici admise.
Remarques : • Il existe plusieurs couples tels que a =bq +r mais un seul avec 0≤r <b.
• Si le reste de la division euclidienne de a parb est nul alorsb divise a.
Exemple : −124= −18×7+2 est la division euclidienne de -124 par 7.
q = −18 et r =2.
Remarque : Les restes possibles d’une division euclidienne par 7 sont 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
III - Congruence dans Z
Définition : Soient a etb deux entiers relatifs et n un entier naturel non nul. on dit que a est congru àb modulon lorsque a etb ont le même reste par la division euclidienne par n. Dans ce cas, on note :
a ≡b[n].
Exemple : 12=5×2+2 et 17=5×3+2 donc 17≡12[5].
Propriété : Soientn un entier naturel non nul eta et b deux entiers relatifs.
a ≡b[n]⇔n|(b−a)
Preuve : La démonstration de cette propriété sera vue en exercice.
Propriété : Soient a,b et c trois entiers relatifs etn un entier naturel.
• a ≡a[n] (réflexivité).
• Si a ≡b[n] alorsb ≡a[n] (symétrie).
• Si a ≡b[n] etb ≡c[n] alors a ≡c[n] (transitivité).
Preuve : Les deux premiers points sont évidents.
Démontrons le troisième point : a et b ont le même reste par la division euclidienne par n ; b et c ont le même
Propriété : Congruences et opérations
Soient a, b, c et d quatre entiers relatifs etn un entier naturel vérifiant a ≡b[n] etc ≡d[n] alors
• a+c ≡b+d[n](compatibilité avec l’addition).
• ac ≡bd[n] (compatibilité avec la multiplication)
• ak ≡bk[n] avec k ∈IN(compatibilité avec les puissances)
Preuve : La démonstration de cette propriété sera vue en exercice.
