Nom :
Classe : TMATHS4 Te st n°2
Divisibilité dans Z Date : 16/10/2020 Note : … / 10
Avis du professeur
Capacités évaluées : Non acquis Acquis
Démontrer qu'un nombre est pair ou impair.
Raisonner par l'absurde
Raisonner par disjonction des cas
Déterminer la liste des diviseurs d'un nombre dans Z.
Justifier si une proposition est vrai ou fausse.
Exercice 1 : Les questions suivantes sont indépendantes. … / 7,5
1. Soit et deux entiers relatifs quelconques.
Montrer que est toujours un nombre impair.
2. Démontrer par l'absurde que, quel que soit l'entier relatif , le nombre n'est jamais divisible par .
3. Soit un entier naturel.
Montrer, à l'aide d'un raisonnement par disjonction des cas, que est un entier naturel.
Exercice 2 : … / 2,5
1. Déterminer l'ensemble des diviseurs de dans Z.
2. Vrai ou Faux ? Justifier.
« Soit et ≠ deux entiers relatifs. Si divise alors les multiples de sont des multiples de » n p
3 + 14n¡48p
-48
a b 0 b a b a
n 11¡3n
3
n(n+ 1) 2 n
Correction du Test n°2 Exercice 1 : Les questions suivantes sont indépendantes.
1. Soit et deux entiers relatifs quelconques.
Montrer que est toujours un nombre impair.
N = N = N =
( ; ) ∈ Z donc ∈ Z
Ainsi, en posant = on obtient :
N = = avec ∈ Z
Finalement, quelles que soient les valeurs des entiers relatifs et , est un nombre impair.
2. Démontrer par l'absurde que, quel que soit l'entier relatif , le nombre n'est jamais divisible par .
Supposons qu'il existe un entier relatif tel que est divisible par . Dans ce cas :
∃ ∈ Z, =
On en déduit : 11 = = ( ; ) ∈ Z donc ∈ Z
Ainsi, serait divisible par , ce qui est absurde.
On en déduit qu'il n'existe aucun entier relatif tel que est divisible par .
3. Soit un entier naturel.
Montrer, à l'aide d'un raisonnement par disjonction des cas, que est un entier naturel.
Soit un entier naturel.
• Si est pair, alors il existe un entier naturel tel que = .
Dans ce cas : = = =
∈ N ⇒ ∈ N
• Si est impair, alors il existe un entier naturel tel que = .
Dans ce cas : = = =
∈ N ⇒ ∈ N
Ainsi, quel que soit l'entier naturel , est un entier naturel.
Exercice 2 :
1. Déterminer l'ensemble des diviseurs de dans Z.
= = = = =
On en déduit :
D( ) = { ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; } 2. Vrai ou Faux ? Justifier.
« Soit et ≠ deux entiers relatifs. Si divise alors les multiples de sont des multiples de » Si = et = alors divise mais les multiples de ne sont pas tous des multiples de car, par exemple,
est un multiple de sans être un multiple de . L'affirmation est donc fausse.
n p
3 + 14n¡48p 11¡3n
3
-48
a b 0 b a b a
1 + 2 + 2£7n¡2£24p 2(1 + 7n¡24p) + 1
1 + 7n¡24p k
1 + 7n¡24p 3 + 14n¡48p 2k+ 1 k
n p 2
3 + 14n¡48p
3 + 14n¡48p n p
11¡3n 3
n n
11¡3n 3k k
3(k+n) 3k+ 3n
n k 2 k+n
11 3
n
11¡3n 3
48 1£48 2£24 3£16 4£12 6£8
-48 -48 -24 -16 -12 -8 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 8 12 16 24 48
a 15 b 3 b a b a
3 15
12
n(n+ 1) 2 n
n
n k n 2k
n(n+ 1) 2
2k(2k+ 1) 2
2(2k2+k)
2 2k2+k k 2k2+k
k
n k n
n(n+ 1) 2
2k+ 1 (2k+ 1)(2k+ 2)
2
2(2k+ 1)(k+ 1)
2 (2k+ 1)(k+ 1) (2k+ 1)(k+ 1)
n(n+ 1) n 2
