Corrig´e ENSAE 2002

Corrig´e ENSAE 2002

P. Lef` evre

1 Partie I.

T_n est bien d´efinie par convexit´e de K.

1) On applique le th´eor`eme du point fixe : Tn est (1− ¹_n)-contractante et K est complet (car ferm´e d’un espace de Banach). En fait, x_n est mˆeme unique.

2) Pour toutn,T(x_n)−x_n= 1

n(a−x_n) et la suite (x_n)_n est born´ee car K est born´e. Ainsi, par passage `a la limite, T(x_n)−x_n tend vers 0 et par d´efinition, la suite (x_n)_n est quasi-fixe pour T.

3) La suite (x_n)_n admet une sous-suite convergente (x_nj)j≥1 par compacit´e de K. Notons x₀ sa limite.

Par ailleurs, T est continue car 1-lipschitzienne (donc uniform´ement continue). Ainsi, T(x_nj) tend vers T(x₀). D’apr`es la question pr´ec´edente (ou en utilisant le 1. pour n = n_j), T(x_nj)−x_nj tend vers 0 donc on en d´eduit T(x₀)−x₀ = 0.

4) On peut remarquer que, pour tout n ∈ N^∗, y_n ∈K et queT_n d´efinit bien une application de K dans K, d`es qu’on a observ´e que d_n∈[0,1]. En effet, d²_n≤max(1,1

n) = 1.

4a) En fait, d_n > 0 car d²_n ≥ 1

n > 0. On applique le th´eor`eme du point fixe : T_n est (1−d_n)- contractante et K est complet .

4b) Pour toutn ∈N^∗, on a u_n−w_n = (1−d_n)u_n−T(w_n)+d_n(u_n−y_n) par d´efinition de w_n dans le a. Puis, en substituant u_n−y_n = (1−r)(u_n−v_n), on obtient

u_n−w_n =d_n(1−r)(u_n−v_n) + (1−d_n)u_n−T(u_n)+ (1−d_n)T(u_n)−T(w_n). On prend la norme et on a, en utilisant l’in´egalit´e triangulaire :

kun−wnk ≤dn(1−r)kun−vnk+ (1−dn)kun−T(un)k+ (1−dn)kT(un)−T(wn)k.

puis la d´efinition de d_n implique ku_n−T(u_n)k ≤d²_n et T est une contraction donc ku_n−w_nk ≤d_n(1−r)ku_n−v_nk+ (1−d_n)d²_n+ (1−d_n)ku_n−w_nk

d’o`u d<sub>n</sub>ku<sub>n</sub>−w<sub>n</sub>k ≤d<sub>n</sub>(1−r)ku<sub>n</sub>−v<sub>n</sub>k+ (1−d<sub>n</sub>)d<sup>2</sup><sub>n</sub>. Comme d<sub>n</sub> >0, on obtient finalement apr`es simplification

ku_n−w_nk ≤(1−r)ku_n−v_nk+ (1−d_n)d_n≤(1−r)ku_n−v_nk+d_n.

∗Mourad Besbes: auteur du sujet

Par sym´etrie des rˆoles jou´es par les couples (u_n, r) et (v_n,1−r), on a l’autre in´egalit´e demand´ee.

4c) On remarque d’abord qued_n tend vers 0 car, par d´efinition de suite quasi-fixe, les quantit´es ku_n−T(u_n)k et kv_n−T(v_n)k tendent vers 0. Comme (1/n)_n converge aussi trivialement vers 0, le maximum de ces trois suites converge clairement vers 0.

On en d´eduit imm´ediatement la premi`ere partie de la question comme au 2. car pour toutn∈N^∗, on aw_n−T(w_n) = d_ny_n−T(w_n). Comme K est born´e,ky_n−T(w_n)kest major´e etkw_n−T(w_n)k tend vers 0.

Pour tout n∈N^∗, on a, via les in´egalit´es de la question pr´ec´edente,

d_n+ (1−r)ku_n−v_nk ≥ ku_n−w_nk ≥ ku_n−v_nk − kv_n−w_nk ≥ ku_n−v_nk −(d_n+rku_n−v_nk).

D’o`u

d_n+ (1−r)ku_n−v_nk ≥ ku_n−w_nk ≥(1−r)ku_n−v_nk −d_n.

Par ailleurs, la suite (kun−vnk)n converge vers d. On en d´eduit alors que la suite (kun−wnk)n

converge vers (1−r)d. Par sym´etrie, la suite (kv_n−w_nk)_n converge vers rd.

2 Partie II.

1) Commen¸cons par remarquer que pour tous n, k ∈N^∗, |x⁽ⁿ⁾_k | ≤ kxkk ≤1. En particulier, la suite

x⁽ⁿ⁾₁

N^∗

est born´ee donc admet une sous-suite convergente : il existe une application strictement croissante ϕ₁ :N^∗ →N^∗ telle que x^(ϕ₁ ¹⁽ⁿ⁾⁾

N^∗

converge.

Supposons avoir construites les applications ϕ₁, . . . , ϕ_k pour un certain k ≥1, alors on constate que la suitex^(ϕ_k+1^{1◦...◦ϕk(n))}

n∈N^∗

est born´ee donc admet une sous-suite convergente : il existe une appli- cation strictement croissante ϕ_k+1 : N^∗ → N^∗ telle que x^(ϕ_k+1^{1◦...◦ϕk+1(n))}

N^∗

converge. Par r´ecurrence, on a bien le r´esultat.

2) Notons x_k la limite de la suite x^(ϕ_k ^{1◦...◦ϕk(n))}

n∈_N^∗ obtenue dans le 1.

Posonsϕ(n) = ϕ1◦. . .◦ϕn(n) pour tout n ∈N^∗. On v´erifie queϕ est strictement croissante : ϕ(n+ 1) =ϕ₁◦. . .◦ϕ_n+1(n+ 1) =ϕ₁ ◦. . .◦ϕ_n(ϕ_n+1(n+ 1))

or ϕ_n+1(n + 1) ≥ n + 1 > n car pour toute fonction strictement croissante f sur les entiers et `a valeurs enti`eres : f(m)≥m. On en d´eduit alors ϕ(n+ 1)> ϕ₁◦. . .◦ϕ_n(n) =ϕ(n) (par composition d’applications strictement croissantes).

D`es lors, fixons un entier k ≥1. Pour n > k, x<sup>(ϕ(n))</sup><sub>k</sub> =x<sup>(ϕ</sup><sub>k</sub> <sup>1◦...◦ϕk(mn))</sup> o`um_n=ϕ_k+1◦. . .◦ϕ_n(n).

En particulier, m_n ≥n donc tend vers l’infini. On a ainsi une sous-suite d’une suite convergente et

x^(ϕ(n))_k

n∈_N^∗ converge aussi vers xk. 3) Fixons un entierp≥1. On a

p

X

k=1

|xk|= lim

n p

X

k=1

|x^(ϕ(n))_k |or pour tout n,

p

X

k=1

|x^(ϕ(n))_k | ≤ kx^(ϕ(n))k ≤1.

Donc la s´erie de terme g´en´eral |x_k| est convergente (`a termes positifs et les sommes partielles sont major´ees) et sa somme est major´ee par 1. Donc x∈K.

4)Soit ε >0. Il existe k₀ >0 tel que

∞

X

k=k0+1

|x_k−z_k| ≤ε, cary−z est ´el´ement de`¹. Pour tout entier n≥1, ky−zk ≥ ky⁽ⁿ⁾−zk − ky⁽ⁿ⁾−yk. D’autre part,

ky⁽ⁿ⁾−zk − ky⁽ⁿ⁾−yk=

∞

X

k=1

|y_k⁽ⁿ⁾−z_k| − |y_k⁽ⁿ⁾−y_k| ≥

k0

X

k=1

|y_k⁽ⁿ⁾−z_k| − |y_k⁽ⁿ⁾−y_k|−ε

car

∞

X

k=k0+1

|y_k⁽ⁿ⁾−z_k| − |y_k⁽ⁿ⁾−y_k| ≤

∞

X

k=k0+1

|x_k−z_k| ≤ε.

En passant `a la limite sur n,

k0

X

k=1

|y⁽ⁿ⁾_k −z_k| − |y⁽ⁿ⁾_k −y_k| tend vers

k0

X

k=1

|y_k−z_k|.

On obtient donc l’existence de N0 tel que pour toutn ≥N0, ky⁽ⁿ⁾−zk − ky⁽ⁿ⁾−yk ≥

k0

X

k=1

|y_k−z_k| −2ε≥ ky−zk −3ε.

On en conclut que lim

n→+∞ky⁽ⁿ⁾−zk − ky⁽ⁿ⁾−yk=ky−zk. Par hypoth`ese, lim

n→+∞ky⁽ⁿ⁾−yk=d donc on a le r´esultat.

5) On utilise la question pr´ec´edente avec z = T(y) pour en d´eduire lim

n→+∞ky⁽ⁿ⁾ − T(y)k = d+ky−T(y)k.

Par ailleurs, pour tout n≥1,

kky⁽ⁿ⁾−T(y)k ≤ ky⁽ⁿ⁾−T(y⁽ⁿ⁾)k+kT(y⁽ⁿ⁾)−T(y)k ≤ ky⁽ⁿ⁾−T(y⁽ⁿ⁾)k+ky⁽ⁿ⁾−yk.

Par hypoth`ese (la suite (y⁽ⁿ⁾)_n est quasi-fixe), le membre de droite tend vers d. On obtient d+ky−T(y)k ≤d donc y=T(y).

6)On construit une suite quasi-fixe comme au I.1 et I.2: x⁽ⁿ⁾

n∈_N^∗ dans K. D`es lors, d’apr`es le II.1-2-3, il existe une suite extraite x^(ψ(n))

n∈_N^∗ qui converge ponctuellement vers y ∈ K. La suite de terme kx^(ψ(n))−ykest clairement born´ee par 2 donc il y a une sous-suite convergente vers d. Soit y⁽ⁿ⁾ la suite extraite de x^(ψ(n)) correspondante, on est sous les hypoth`eses de la question pr´ec´edente donc y =T(y).

3 Partie III.

1a) Soient n, m ∈ N^∗. Il suffit d’appliquer l’identit´e du parall´elogramme avec x−x_n et x−x_m :

=k(x−xn) + (x−xm)k²+k(x−xn)−(x−xm)k² = 2kx−xnk²+ 2kx−xmk² donc 2kx−x_nk²+ 2kx−x_mk² =k2x−x_n−x_mk²+kx_n−x_mk². d’o`u le r´esultat.

1b) Posons, pour tout n ∈ N^∗, δn = kx− xnk². Par hypoth`ese, la suite (δn) converge vers δ =dist(x, C)². On a pour tous n, m∈N^∗,

kx_n−x_mk² = 2δ_n+δ_m−2kx−(x_n+x_m)/2k²≤2δ_n+δ_m−2δ

car, par convexit´e de C, (x_n+x_m)/2∈C donc kx−(x_n+x_m)/2k ≥dist(x, C).

La suite (δ_n) converge donc, en fixant ε > 0, on a l’existence de n₀ tel que, pour tout n ≥ n₀, δ_n ≤ δ+ε². Ainsi, pour tous n, m≥ n₀, kx_n−x_mk ≤ 2ε et la suite (x_n) est une suite de Cauchy donc convergente vers une limite ˜x ∈ E car l’espace E est complet. De plus, comme (x_n) est une suite deC, qui est ferm´e, ˜x∈C. Enfin, par d´efinition, (δ_n) converge vers dist(x, C)² et verskx−xk˜ ² d’o`u dist(x, C) = kx−xk.˜

Montrons qu’il n’y a qu’un point v´erifiant cette in´egalit´e. Soitx⁰ ∈C tel que dist(x, C) =kx−x⁰k.

Premier argument : consid´erons z = (x⁰ + ˜x)/2 ∈ C, par convexit´e de C. Avec les notations pr´ec´edentes, kx− zk² ≥ δ. D’apr`es l’identit´e du parall´elogramme : 2kx− x<sup>0</sup>k<sup>2</sup> + 2kx− xk˜ <sup>2</sup> = k2x −x<sup>0</sup> − xk˜ <sup>2</sup> +kx<sup>0</sup> − xk˜ <sup>2</sup>. On en d´eduit 4δ = 4kx−zk<sup>2</sup> +kx<sup>0</sup> −xk˜ <sup>2</sup> ≥ 4δ +kx<sup>0</sup> −xk˜ <sup>2</sup>. D’o`u kx⁰ −xk˜ = 0 et x⁰ = ˜x.

Deuxi`eme argument : soit (x<sub>n</sub>)<sub>n</sub> la suite dont les termes d’indices pairs valent x<sup>0</sup> et les termes d’indices impairs valent ˜x. Alors la suite des kx−x<sub>n</sub>k est constante `a dist(x, C) et d’apr`es ce qui pr´ec`ede, la suite (x_n) converge. Par unicit´e de la limite, x⁰ = ˜x.

1c) Fixons z ∈ C. Pour tout t∈]0,1], on pose z_t = (1−t)˜x+tz et z_t ∈C, par convexit´e de C.

On a kx−z_tk² ≥dist(x, C)² =kx−xk˜ ². En d´eveloppantkx−z_tk² =k(x−x) +˜ t(˜x−z)k²,on obtient t²k˜x−zk² ≥2t(1−t)hx−x, z˜ −xi. Comme˜ t >0, on simplifie : tk˜x−zk² ≥2(1−t)hx−x, z˜ −xi.˜ On fait alors tendre vers 0 par valeurs sup´erieures et on a le r´esultat.

Enfin, supposons que x⁰ ∈ C v´erifie cette propri´et´e (dite de l’angle obtus) : pour tout z ∈ C, hx−x⁰, z−x⁰i ≤0. On a alors pour tout z ∈C,

kx−zk² =kx−x⁰k²+ 2hx−x⁰, x⁰−zi+kx⁰−zk² ≥ kx−x⁰k².

D’apr`es la question pr´ec´edente, x<sup>0</sup> est alors l’unique point r´ealisant la distance `a C donc x⁰ = ˜x.

1d) La propri´et´e de l’angle obtus s’´ecrit donc : pour tous x, y ∈E :

Avecz =P_C(y),hx−P_C(x), P_C(y)−P_C(x)i ≤0; avecz =P_C(x),hy−P_C(y), P_C(x)−P_C(y)i ≤0.

On somme les deux in´egalit´es et on obtienthP_C(y)−P_C(x), x−y+P_C(y)−P_C(x)i ≤ 0. Ainsi, via Cauchy-Schwarz,

kP_C(y)−P_C(x)k² ≤ hx−y, P_C(y)−P_C(x)ikx−yk.kP_C(y)−P_C(x)k.

SikP_C(y)−P_C(x)k 6= 0, on simplifie et on obtient kP_C(y)−P_C(x)k ≤ ky−xk; sinon, le r´esultat est encore trivialement vrai.

2) Commen¸cons par remarquer queF est un convexe ferm´e (non vide) et que les r´esultats du 1.

peuvent donc s’appliquer.

2a)D’apr`es le 1.b., `ay∈F fix´e, on ´ecrit la propri´et´e pourz =P_F(x)+y∈F etz =P_F(x)−y∈F (o`u on utilise que F est un sous-espace vectoriel) pour en d´eduire hx−P_F(x), yi= 0 doncx−P_F(x) est dans l’orthogonal de F.

2b) D’abord, F et F^⊥ sont clairement en somme directe : si x∈F ∩F^⊥, kxk² =hx, xi = 0 car x est orthogonal `a lui mˆeme.

Soitx∈E, il suffit d’´ecrirex=PF(x) +x−PF(x) et de remarquer quePF(x)∈F par d´efinition et que x−P_F(x)∈F^⊥ par 2.a.

2c) Soit x∈E, il existe un unique couple (a, b)∈F ×F^⊥ tel que x=a+b et l’application qui

`

a x associe a est lin´eaire. Or d’apr`es la question pr´ec´edente, a =PF(x) donc PF est lin´eaire.

3a)D’abord les r´esultats du 2. s’appliquent car le noyau d’une forme lin´eaire est un sous-espace vectoriel. De plus, la continuit´e de ϕ implique queF est ferm´e.

D’apr`es 2.b., F^⊥ 6= {0} car sinon E = F et ϕ serait nulle. Prenons donc x₀ un vecteur non nul de F^⊥, qui v´erifie alors (comme x₀ ∈/ F) : ϕ(x₀) 6= 0. Soit x ∈ F^⊥, ϕ(x) = k, on a donc ϕx−_ϕ(x^k

0)x₀= 0. Doncx−_ϕ(x^k

0)x₀ ∈F et commeF^⊥est un sous-espace vectoriel,x−_ϕ(x^k

0)x₀ ∈F^⊥. Finalement, x− _ϕ(x^k

0)x₀ = 0 donc x ∈ Rx₀. On en conclut que F^⊥ est un sous-espace vectoriel non trivial, inclus dans la droite vectorielle engendr´ee par x₀ donc F^⊥ =Rx₀.

3b) Posonsλ = ϕ(x₀) kx0k².

Soit x∈E, il existe a∈Ret b∈F tels que x=ax₀+b. On a alors λhx, x0i= ϕ(x₀)

kx₀k².akx0k² =aϕ(x0) = ϕ(x).

4 Partie IV.

1) ϕ est une forme lin´eaire par lin´earit´e de la limite (par hypoth`ese, pour tout u ∈ E, la limite existe). De plus, ϕest continue car (x_n)_n´etant born´ee (disons par k >0), on a pour tout u∈E, via Cauchy-Schwarz,

|ϕ(u)| ≤sup

n

|hx_n, ui| ≤sup

n

kx_nkkuk ≤kkuk.

D’apr`es le III.3.b. il existe x∞∈E tel que pour tout u∈E, ϕ(u) = hx∞, ui (siϕ est nulle, alors la conclusion du III.3.b est trivialement vraie avec λx₀ = x_∞ = 0). Par d´efinition, cela signifie que (x_n)_n converge faiblement vers x∞ dans E.

Remarque : on vient d’´etablir que E est faiblement s´equentiellement complet.

2) Soit u ∈E, il existe un unique couple (a, b) ∈F ×F^⊥ tel que x =a+b (cf. III.2.b.). Pour tout n∈N^∗, hx_n, ui=hx_n, ai car x_n∈F. Donc par hypoth`ese, la limite de hx<sub>n</sub>, ui existe et d’apr`es 1., la suite est faiblement convergente.

3)F n’est autre que la fermeture de l’espace vectoriel engendr´e par les ´el´ements de la suite (x_n)_n. En effet, vect(x_n)_n⊂F donc vect{x_n} ⊂F. R´eciproquement, vect{x_n} est un sous-espace vectoriel ferm´e contenant tous les termes de la suite donc contient F.

Pour tout p ∈ N^∗, on pose D_p = {

p

X

k=1

a_kx_k|a₁, . . . , a_p ∈ Q} qui est d´enombrable. Posons, D = ∪p∈_N^∗D_p qui est aussi d´enombrable, comme r´eunion d´enombrable de parties d´enombrables.

En fait, D est l’ensemble des combinaisons lin´eaires `a coefficients rationnels des ´el´ements de la suite (xn)n. Cette partie est dense : soienty∈F etε >0, il existep∈N^∗ety1 ∈ {

p

X

k=1

akxk|a1, . . . , ap ∈R} tel que ky−y₁k ≤ ε

2. Puis par densit´e de Q, il existe y⁰ ∈ D_p tel que ky₁ −y⁰k ≤ ε

2. Finalement, ky−y⁰k ≤ε.

4) Soit c ∈ R⁺ tel que pour tout n ∈ N^∗, kxnk ≤ c. La suite (hxn, y1i)n est born´ee par cky1k, via Cauchy-Schwarz donc on peut en extraire une sous-suite convergente : il existe ϕ₁ strictement croissante telle que (hx_ϕ1(n), y₁i)_n converge.

Supposons avoir construitϕ1, . . . , ϕmstrictement croissantes avec (hx_ϕ1◦...◦ϕ_k(n), yki)nconvergente, pour toutk∈ {1, . . . , m}. On consid`ere alors la suite (hx_{ϕ1◦...◦ϕk(n)}, y_k+1i)_nqui est born´ee parcky_k+1k.

On peut en extraire une sous-suite convergente et on obtient ainsi ϕ_k+1.

Enfin, on pose ϕ(n) = ϕ₁ ◦. . .◦ϕ_n(n) pour tout n ∈ N^∗. On a alors pour tout k ∈ N^∗ et tout n > k, hx_ϕ(n), y_ki= hx_{ϕ1◦...◦ϕk(mn)}, y_ki o`u m_n (d´ependant de k) tend vers l’infini avec n. On conclut alors que la suite (hx_ϕ(n), y_ki)_n converge comme sous-suite d’une suite convergente.

5)Fixonsu∈F. Soitε >0. D’apr`es 3., il existek∈N<sup>∗</sup> tel queky<sub>k</sub>−uk ≤ <sub>2M</sub><sup>ε</sup> , o`uM = sup

n kx_nk.

D’apr`es 4., il existe n0 ∈ N^∗ tel que pour tous n, m≥ n0, |hx_ϕ(n), yki − hx_ϕ(m), yki| ≤ ₂^ε. On obtient alors, via Cauchy-Schwarz,

|hx_ϕ(n), ui − hx_ϕ(m), ui| ≤ |hx_ϕ(n)−x_ϕ(m), u−y_ki|+|hx_ϕ(n)−x_ϕ(m), y_ki| ≤ kx_ϕ(n)−x_ϕ(m)k.ku−y_kk+ε 2. Donc, pour tous n, m≥n₀,|hx_ϕ(n), ui − hx_ϕ(m), ui| ≤M._2M^ε +^ε₂ ≤ε.

On en d´eduit que pour toutu∈F, la suite (hx_ϕ(n), ui)_nest de cauchy donc converge. Conclusion : dans E, de toute suite born´ee, on peut extraire une sous-suite faiblement convergente.

5 Partie V.

1) Pour tous x, y ∈E, en utilisant Cauchy-Schwarz,

hx−T₁(x)−y+T₁(y), x−yi=kx−yk²−hT₁(x)−T₁(y), x−yi ≥ kx−yk²−kT₁(x)−T₁(y)k.kx−yk ≥0 car T₁ est une contraction.

2) D’abord, remarquons que la suite (xn)n est born´ee par hypoth`ese (En fait, on remarque que de toute fa¸con : x<sub>n</sub> =x<sub>n</sub>−T<sub>1</sub>(x<sub>n</sub>) +T<sub>1</sub>(x<sub>n</sub>) o`u la suite (T₁(x_n))_n est born´ee comme suite de K, qui est born´e par hypoth`ese, et (x_n−T₁(x_n))_n est born´ee car convergente).

Soient λ∈R^+∗ etv ∈E. D’apr`es (∗∗), on a pour tout n ∈N^∗

hx_n−T₁(x_n)−(x∞+λv) +T₁(x∞+λv), x_n−(x∞+λv)i ≥0.

Soit

hx_n−T₁(x_n)−z, x_n−(x_∞+λv)i+hz−(x_∞+λv) +T₁(x_∞+λv), x_n−(x_∞+λv)i ≥0.

Or, par d´efinition de la faible convergence,hz−(x∞+λv) +T₁(x∞+λv), x_n−(x∞+λv)i tend vers hz−(x∞+λv) +T₁(x∞+λv),−λvi.

D’autre part, |hx_n −T₁(x_n)−z, x_n −(x_∞+λv)i| ≤ kx_n −T₁(x_n)−zk.kx_n−(x_∞ +λv)k, o`u kx_n−T₁(x_n)−zk converge vers 0 et kx_n−(x∞+λv)k est born´e.

Finalement, on a donc par passage `a la limite, λhz−(x∞+λv) +T₁(x∞+λv), vi ≤ 0. Comme λ >0, on a donc

hz−(x∞+λv) +T₁(x∞+λv), vi ≤0.

En prenant la limite quandλtend vers 0⁺, on a par continuit´e du produit scalaire et deT₁ (qui est continue car 1-lipschitzienne) : hz−x∞+T₁(x∞), vi ≤0. Enfin, en choisissantv =z−x∞+T₁(x∞), on obtient kz−x∞+T₁(x∞)k² ≤0 d’o`u le r´esultat.

3)On poseT₁ =T◦P_K qui est une application de EdansK. C’est une contraction, comme com- pos´ee de deux contractions. D’apr`es I.1.et I.2., il existe une suite (x<sub>n</sub>)<sub>n</sub> quasi-fixe pour T d’´el´ements de K. Comme cette suite est born´ee (puisque dans K par d´efinition), d’apr`es IV, on peut en ex- traire une sous-suite (que l’on appellera encore (x_n)_n) faiblement convergente vers x₀ ∈ E. On a x_n−T₁(x_n) =x_n−T(x_n) qui converge donc vers z = 0. D’apr`es 2., on a donc x₀−T₁(x₀) = 0. En

particulier,x₀ =T₁(x₀) est dans l’image de T₁ donc dans celle deT, donc dansK; ainsi,P_K(x₀) = x₀ et x₀ =T(x₀).

4)F est non vide d’apr`es la question pr´ec´edente. C’est un ferm´e de K comme image r´eciproque par l’application Id_K−T (qui est continue) du ferm´e{0}. Comme K est ferm´e dans E, c’est aussi un ferm´e de E.

Montrons que c’est un convexe. Soient u6=v ∈F. Soit x=tu+ (1−t)v ∈[u, v], avec t ∈[0,1].

Comme u=T(u) et v =T(v), on a, en utilisant l’in´egalit´e triangulaire :

ku−vk ≤ ku−T(x)k+kT(x)−vk=kT(u)−T(x)k+kT(x)−T(v)k.

CommeT est une contraction, on en d´eduit

ku−vk ≤ ku−T(x)k+kT(x)−vk ≤ ku−xk+kx−vk=ku−vk.

Ainsi, toutes les in´egalit´es sont des ´egalit´es. En particulier, on a ´egalit´e dans l’in´egalit´e tri- angulaire donc u − T(x) et T(x) − v sont colin´eaires et de mˆeme sens : il existe α > 0 tel que u − T(x) = α(T(x) − v), soit T(x) = t⁰u + (1 − t⁰)v avec t⁰ = 1

α+ 1 ∈ [0,1]. De plus, kT(x)−vk=kx−vk (et ku−T(x)k=ku−xk) donc t=t⁰. Ainsi T(x) =x et x∈F.

5)F est un convexe ferm´e non vide, inclus dansK donc born´e. Remarquons queF est stable par T⁰ : soitx∈F,T(T⁰(x)) = T◦T⁰(x) =T⁰◦T(x) =T⁰(T(x)) = T⁰(x) par hypoth`ese doncT⁰(x)∈F.

Consid´erons alors l’application : τ : F −→ F x 7−→ T⁰(x)

.

C’est une contraction carT⁰ en est une. D’apr`es 2., τ admet un point fixe, qui est alors un point fixe commun `a T et T⁰.