EXERCICE445page282 xy EXERCICE444page282

(1)

EXERCICE 444 page 282

Expérience aléatoire : "jeter une pièce de monnaie" et lire la valeur "pile" ou "face".

Catégorie d’épreuves : Ω={pile; f ace} Variable aléatoireX :

X : Ω → R

pile 7→ X(pile) = 1 f ace 7→ X(f ace) =−2

Loi de probabilitéf :Elle est donnée parf :R⊃X(Ω)3xi 7−→f(xi) :=P(X =xi)∈R 1 7−→ f(1) =P(X = 1) = 0,5

−2 7−→ f(−2) =P(X=−2) = 0,5 Tableau :

i x_i f(x_i) f(x_i)·x_i x²_i f(x_i)·x²_i

1 −2 0.5 −1 4 2

2 1 0.5 0.5 1 0.5

X 1 E:=−0.5 2.5 Espérance mathématique :

E(X) :=P

i

(f(xi)·xi) =−1 + 0.5 =−0.5 Variance :

V(X) : =P

i

f(xi) (xi−E)²=P

i

f(xi)x²_i −2E·P

i

f(xi)xi+E²·P

i

f(xi)

= P

i

f(x_i) x²_i −E²= 2.5−0.25 = 2.25 Écart-type :

σ(X) :=p

V(x) =√

2.25 = 1.5 Polygone de probabilités :

Il s’agit de relier les points du grapheG={(xi;f(xi)) :xi∈X(Ω)⊂R}par des segments.

-3 -2 -1 0 1 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x y

EXERCICE 445 page 282

Expérience aléatoire : "jeter un dé" et lire la valeur de la face supérieure.

Catégorie d’épreuves : Ω={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} Variable aléatoireX :

X : Ω → R

1 7→ X(1) =−2 2 7→ X(2) =−2 3 7→ X(3) =−2 4 7→ X(4) =−2 5 7→ X(5) = 4 6 7→ X(6) =−2

(2)

Loi de probabilitéf :Elle est donnée parf :R⊃X(Ω)3x_i 7−→f(x_i) :=P(X =x_i)∈R 4 7−→ f(4) =P(X = 4) = 1

6

−2 7−→ f(−2) =P(X =−2) = 5 6 Tableau :

i xi f(xi) f(xi)·xi x²_i f(xi)·x²_i

1 −2 5/6 −5/3 4 10/3

2 4 1/6 2/3 16 8/3

X 1 E:=−1 6 Espérance mathématique :

E(X) :=P

i

(f(x_i)·x_i) =−1 Variance :

V(X) : =P

i

f(xi) (xi−E)²=P

i

f(xi)x²_i −2E·P

i

f(xi)xi+E²·P

i

f(xi)

= P

i

f(x_i) x²_i −E²= 6−1 = 5 Écart-type :

σ(X) :=p

V (x) =√

5≈2,24 Polygone de probabilités :

Il s’agit de relier les points du grapheG={(x_i;f(x_i)) :x_i∈X(Ω)⊂R}par des segments.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x y

EXERCICE 446 page 282

Expérience aléatoire : "jeter un dé" et lire la valeur de la face supérieure.

Catégorie d’épreuves : Ω={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} Variable aléatoireX :

X: Ω → R

1 7→ X(1) =−0,50 2 7→ X(2) = 0 3 7→ X(3) = 0 4 7→ X(4) = 1 5 7→ X(5) = 1 6 7→ X(6) = 5

Loi de probabilitéf :Elle est donnée parf :R⊃X(Ω)3x_i 7−→f(x_i) :=P(X =x_i)∈R 5 7−→ f(5) =P(X= 5) = 1

6 1 7−→ f(1) =P(X= 1) = 2 6 0 7−→ f(0) =P(X= 0) = 2 6

−0.50 7−→ f(−0.50) =P(X =−0.50) = 1 6

(3)

Tableau :

i x_i f(x_i) f(x_i)·x_i x²_i f(x_i)·x²_i

1 −0,50 1/6 −1/12 0.25 1/24

2 0 2/6 0 0 0

3 1 2/6 1/3 1 1/3

5 5 1/6 5/6 25 25/6

X 1 E:= 13/12 109/24

Espérance mathématique :

E(X) :=P

i

(f(x_i)·x_i) = 13 12 L’espérance mathématique est le gain moyen que peut espérer le joueur.

Variance :

V(X) : =P

i

f(x_i) (x_i−E)²=P

i

f(x_i)x²_i −2E·P

i

f(x_i)x_i+E²·P

i

f(x_i)

= P

i

f(xi) x²_i −E²= 109 24 −169

144 = 485 144 Écart-type :

σ(X) :=p

V (x) = r485

144 = 1 12

√485≈1,84 Polygone de probabilités :

-1 0 1 2 3 4 5 6

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x y

EXERCICE 447 page 282

Expérience aléatoire : "tirer un échantillon de trois articles" et noter le nbre d’articles défectueux tirés.

Catégorie d’épreuves : Ω={BBB ; DBB ; BDB ; BBD ; DDB ; DBD ; BDD ; DDD} Tableau de la variable aléatoire :

e BBB DBB BDB BBD DDB DBD BDD DDD

X(e) 0 1 1 1 2 2 2 3

Tableau de la loi de probabilité : (attention, tirage sans remise =>loi hypergéométrique) i x_i f(x_i) f(x_i)·x_i

1 0 1∗12⁹ 8 11

7

10 = ²¹₅₅ 0 2 1 3∗₁₂⁹ ₁₁⁸ ₁₀³ = ²⁷₅₅ ²⁷₅₅ 3 2 3∗12⁹

3 11

2

10 = ₂₂₀²⁷ ₁₁₀²⁷ 5 3 1∗₁₂³ ₁₁² ₁₀¹ = ₂₂₀¹ ₂₂₀³

X 1 E= 3/4

Espérance mathématique, le nombre moyen d’articles défectueux auxquels on peut s’attendre. : E(X) :=P

i

(f(x_i)·x_i) = 27 55+ 27

110 + 3 220 = 3

4= 0,75

(4)

EXERCICE 448 page 282

Expérience aléatoire : "lancer un dé" et noter le nbre de la face supérieure.

Catégorie d’épreuves : Ω={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} Tableau de la variable aléatoire :

e 1 2 3 4 5 6

X(e) −1 2 3 −4 5 −6 Tableau de la loi de probabilité :

i x_i f(x_i) f(x_i)·x_i

1 −6 1/6 −6/6

2 −4 1/6 −4/6

3 −1 1/6 −1/6

4 2 1/6 2/6

5 3 1/6 3/6

6 5 1/6 5/6

X 1 E:=−1/6 Espérance mathématique, le "gain" moyen auquel le joueur peut s’attendre :

E(X) :=P

i

(f(x_i)·x_i) =−1 6 Ce jeu n’est pas équilibré. Il estdéfavorable au joueur.

EXERCICE 449 page 282

Expérience aléatoire : "tirer une boule" et lire la couleur.

Catégorie d’épreuves : Ω={noire ; blanche} Variable aléatoireX :

X : Ω → R

noire 7→ X(noire) =−3 blanche 7→ X(blanche) = 5

Loi de probabilitéf :Elle est donnée parf :R⊃X(Ω)3x_i 7−→f(x_i) :=P(X =x_i)∈R

−3 7−→ f(5) =P(X =−3) = 12/20 = 3/5 5 7−→ f(1) =P(X = 5) = 8/20 = 2/5 Tableau :

1 −3 3/5 −9/5 9 27/5

2 5 2/5 2 25 50/5

X 1 E:= 1/5 77/5

E(X) :=P

i

(f(xi)·xi) = 1 5= 0.2 L’espérance mathématique est le gain moyen que peut espérer le joueur.

Ce jeu est favorable au joueur.

Variance :

V(X) : =P

i

f(xi) (xi−E)²=P

i

f(xi)x²_i −2E·P

i

f(xi)xi+E²·P

i

f(xi)

= P

i

f(x_i) x²_i −E²= 77 5 − 1

25 =384 25 Écart-type :

σ(X) :=p

V (x) = r384

25 =8 5

√6≈3,9

(5)

Les valeurs de la variable aléatoire sont dispersées autour de l’espérance mathématique E dans l’intervalle I:=

∙ E−1

2σ; E+1 2σ

¸

= [−1,7 ; 2,2 ]

Le coeﬃcient de dispersion (Fluktuationskoeﬃzient) qui mesure cette dispersion vaut : ν := σ

E ·100% =3.9

0.2= 19500%

Polygone de probabilités :

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x y

EXERCICE 450 page 282

C’est une expérience de Bernoulli (deux résultats contraires, avec remise donc à probabilité constante).

Succès : p=ppile= 1/2 Échec : pf ace= 1/2

En répétant une épreuve de Bernoullinfois de suite, on obtient le schéma de Bernoulli.

En notantX le nombre de succès d’un schéma de Bernoulli, on obtient une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi binomiale définie par

fn(x) =P(X=x) =C_n^x·p^x·(1−p)ⁿ⁻^x Pour le cas de la pièce de monnaie,p= ¹₂ et1−p= ¹₂.

La probabilité d’obtenir ennjets exactementxfois pile vaut donc f_n(x) =C_n^x1

2

x1 2

n−x

= 1 2ⁿ ·C_n^x 1. f4(1) =₂¹4 ·C₄¹= ₁₆¹ ·4 = 0,25

2. f8(2) =₂¹8 ·C₈²= ₂₅₆¹ ·⁸2^·⁷ =₆₄⁷ ≈0.11

3. f16(4) =₂¹16 ·C₁₆⁴ = _{65 536}¹ ·¹⁶^·¹⁵4·3^·¹⁴·2^·¹³= _{16 384}⁴⁵⁵ ≈0,03

EXERCICE 451 page 282

Succès : p=pblanche= 7/12 Échec : p_noire= 5/12

En répétant une épreuve de Bernoullinfois de suite, on obtient le schéma de Bernoulli.

fn(x) =P(X=x) =C_n^x·p^x·(1−p)ⁿ⁻^x

(6)

Obtenir lors de2tirages une boule noire et une boule blanche revient à dire : obtenir lors desn= 2tirages exactement x= 1 succès :

f2(1) =C₂¹ 7 12

1 5 12

1

= 2· 7 12· 5

12 = 35 72≈0.49

EXERCICE 452 page 282

Succès : p=p_blanche= 10/15 = 2/3 Échec : pnoire= 5/15 = 1/3

En répétant une épreuve de Bernoullin= 20fois de suite, on obtient le schéma de Bernoulli.

f₂₀(x) =P(X=x) =C₂₀^x ·p^x·(1−p)²⁰⁻^x 1. Obtenir exactementx= 7 succès :

P20(x= 7) =C₂₀⁷ 2 3

71 3

13

= 3307 520

1162 261 467 ≈0.28%

2. Obtenir exactementx= 13succès :

P₂₀(x= 13) =C₂₀¹³2 3

131 3

7

= 211 681 280

1162 261 467 ≈18,2%

3. Obtenir exactementx= 11ou12ou13ou14ou15succès : f20(11≤x≤15) = C₂₀¹¹2

3

111 3

9

+C₂₀¹²2 3

121 3

8

+C₂₀¹³2 3

131 3

7

+C₂₀¹⁴2 3

141 3

6

+C₂₀¹⁵2 3

151 3

5

≈ 9,9% + 14,8% + 18,2% + 18,2% + 14,6%

≈ 75,66 %

4. Obtenir exactementx= 0 ou1ou2ou3ou4· · · ou9succès : P₂₀(x <10) =

X9 x=0

C₂₀^x 2 3

x1 3

20−x

≈3,76 %

5. Obtenir exactementx= 10ou11ou12ou· · · ou20succès : P20(10≤x) =

X20 x=10

C₂₀^x 2 3

x1 3

20−x

≈96,24%

Vérification :f(x <10) +f(10≤x) = 100%

EXERCICE 453 page 282

Succès : p=p_correcte= 1/5 Échec : pincorrecte= 4/5

f20(x) =P20(X =x) =C₂₀^x µ1

5

¶xµ 4 5

¶20−x

1. Le résultat le plus probable est donné par l’espérance mathématique. Pour la loi binomiale on sait que l’espé- rance mathématique est donnée par

E=n·p= 20· 1 5= 4

La variance est donnée parV =npq= 20·¹5·⁴5 = ⁸⁰₂₅ = 3,2. Donc, l’écart-type vautσ=√

3,2≈1,8.

Les valeurs de la variable sont dispersées dans l’intervalleI= [2,2 ; 5,8].

(7)

2. Calcul de la probabilité de réussite :

P20(10≤x) = X20 x=10

C₂₀^x 1 5

x4 5

20−x

≈0.26 %

EXERCICE 454 page 282

Succès : p= 60% = 6 10 = 3

5 Échec : q= 40% = 4

10 =2 5

f₅(x) =P₅(X =x) =C₅^x µ3

5

¶xµ 2 5

¶5−x

1. Aucun des 5 ne réussit :

P5(x= 0) =C₅⁰3 5

04 5

5−0

= 32

3125≈1 % 2. Tous les 5 réussissent :

P₅(x= 5) =C₅⁵3 5

54 5

0

= 243

3125 ≈7,8 % 3. Au moins deux réussissent

P5(2≤x) = X5 x=2

C₅^x3 5

x4 5

5−x

=2853

3125 ≈91,3 %

EXERCICE 455 page 282

Succès : p=2 6 =1

3 Échec : q= 4

6= 2 3

f₆(x) =P₆(X =x) =C₆^x µ1

3

¶xµ 2 3

¶6−x

1. Exactement 4 succès :

P6(x= 4) =C₆⁴ µ1

3

¶4µ 2 3

¶6−4

= 20

243 ≈8,23 % 2. Exactement 0 succès :

P5(x= 0) =C₆⁰ µ1

3

¶0µ 2 3

¶6−0

= 64

729 ≈8,78 %

EXERCICE 456 page 282

Succès(face) : p=1 2 Échec(pile) : q= 1 2

(8)

f₆(x) =P₆(X=x) =C₆^x µ1

2

¶xµ 1 2

¶6−x

= 1 2⁶ ·C₆^x 1. On obtient :

P(x= 5) = 1

2⁶ ·C₆⁵= 3

32 ≈9,375 %

P(x <3) = P(x= 0) +P(x= 1) +P(X= 2)

= 1

2⁶ ·¡

C₆⁰+C₆¹+C₆²¢

= 1

64·(1 + 6 + 15) = 11

32 ≈34,375 % 2. Le nombre de piles espéré est donné par l’espérance mathématique.

Pour la loi binomiale on sait que l’espérance mathématique est donnée par la formule Epile = n·q= 6· 1

2= 3 Ef ace = n·p= 6·1

2= 3 3. La variance est donnée parV =npq= 6· ¹₂·¹₂ = ³₂= 1,5.

Donc, l’écart-type vautσ=√

1,5≈1,23.

Les valeurs de la variable aléatoire sont dispersées dans l’intervalleI= [2,38 ; 3,62].

EXERCICE 459 page 282

Expérience aléatoire : "jeter trois fois une pièce mal équilibrée" et lire la suite des valeurs.

Catégorie d’épreuves : Ω={PPP ; PPF ; PFP ; FPP ; PFF ; FPF ; FFP ; FFF} Variable aléatoireX :

X : Ω → R

PPP 7→ 3

PPF 7→ 2

PFP 7→ 1

FPP 7→ 2

PFF 7→ 1

FPF 7→ 1

FFP 7→ 1

FFF 7→ 0

Loi de probabilitéf :Elle est donnée parf :R⊃X(Ω)3x_i 7−→f(x_i) :=P(X =x_i)∈R 0 7−→ f(0) =P({FFF}) = 2

3 2 3 2 3= 8

27 1 7−→ f(1) =P({PFP ;PFF ;FPF ;FFP}) = 1

3 2 3 1 3+1

3 2 3 2 3+2

3 1 3 2 3+2

3 2 3 1 3 =14

27 2 7−→ f(2) =P({PPF ;FPP}) =1

3 1 3 2 3+2

3 1 3 1 3= 4

27 3 7−→ f(3) =P({PPP}) =1

3 1 3 1 3 = 1

27 Tableau :

1 0 8/27 0 0 0

2 1 14/27 14/27 1 14/27

3 2 4/27 8/27 4 16/27

5 3 1/27 3/27 9 9/27

X 1 E:= 25/27 39/27

(9)

E(X) :=P

i

(f(x_i)·x_i) = 25 27 Variance :

V(X) : =P

i

f(xi) (xi−E)²=P

i

f(xi)x²_i −2E·P

i

f(xi)xi+E²·P

i

f(xi)

= P

i

f(xi) x²_i −E²= 39 27−

µ25 27

¶2

= 428 729 Écart-type :

σ(X) :=p

V (x) = r428

729 = 2 27

√107≈0,77 Polygone de probabilités :

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3

EXERCICE 462 page 282

Succès(fille) : p= 1 2 Échec(garçon) : q= 1 2

f₁₀(x) =P₁₀(X =x) =C₁₀^x µ1

2

¶xµ 1 2

¶10−x

= 1 2¹⁰ ·C₁₀^x Le nombre moyen defilles est l’espérance mathématique.

Pour la loi binomiale on sait que l’espérance mathématique est donnée par la formule E_{f ille}=n·p= 10·1

2 = 5 1. Exactement 5filles :

P10(X = 5) = 1

2¹⁰ ·C₁₀⁵ = 63

256 ≈24,6 % 2. Exactement 3 garçons donc 7filles

P10(X = 7) = 1

2¹⁰ ·C₁₀⁷ = 15

128 ≈11,7 %

(10)

3. Au moins 2filles ⇐⇒ pas strictement moins que 2filles p₁₀(2≤x) = 1−p₁₀(x <2)

= 1−P10(X = 0)−P10(X = 1)

= 1− 1

2¹⁰ ·C₁₀⁰ − 1 2¹⁰ ·C₁₀¹

= 1013

1024 ≈98.9 %

EXERCICE 465 page 282

Attention, dans cette expérience aléatoire : retirer des poissons sans remise, il ne s’agit pas d’une expérience de Bernoulli car les probabilités changent. En eﬀet, il n’y a pas remise.

Catégorie d’épreuves : Ω={RRR ; RRJ ; RJR ; JRR ; RJJ ; JRJ ; JJR ; JJJ} Variable aléatoireX :

X: Ω → R

RRR 7→ 3·15 = 45 RRJ 7→ 2·15 + 20 = 50 RJR 7→ 2·15 + 20 = 50 JRR 7→ 2·15 + 20 = 50 RJJ 7→ 15 + 2·20 = 55 JRJ 7→ 15 + 2·20 = 55 JJR 7→ 15 + 2·20 = 55 JJJ 7→ 3·20 = 60

Loi de probabilitéf :Elle est donnée parf :R⊃X(Ω)3xi 7−→f(xi) :=P(X =xi)∈R 45 7−→ f(0) =P({RRR}) = 6

10 5 9 4 8= 1

6 50 7−→ f(1) =P({RRJ ;RJR ;JRR}) = 6

10 5 9 4 8+ 6

10 4 9 5 8+ 4

10 6 9 5 8= 1

2 55 7−→ f(2) =P({RJJ ;JRJ ;JJR}) = 6

10 4 9 3 8+ 4

10 6 9 3 8+ 4

10 3 9 6 8= 3

10 60 7−→ f(3) =P({JJJ}) = 4

10 3 9 2 8= 1

30 Tableau :

1 45 5/30 15/2 2025 337,5

2 50 15/30 50/2 2500 1250

3 55 9/30 33/2 3025 907,5

5 60 1/30 4/2 3600 120

X 1 E:= 51 2615

E(X) :=P

i

(f(xi)·xi) = 51 Variance :

V(X) : =P

i

f(xi) (xi−E)²=P

i

f(xi)x²_i −2E·P

i

f(xi)xi+E²·P

i

f(xi)

= P

i

f(x_i) x²_i −E²= 2615−51²= 14 Écart-type :

σ(X) :=p

V (x) =√

14≈3,74

(11)

Polygone de probabilités :

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

44 46 48 50 52 54 56 58 60

1. P(2 rouges et 1 jaune) =C₃¹·10⁶ ·⁵9· ⁴8 =¹₂.Le prix payé :2·15 + 20 = 50 2. P(X = 55) =P({2 jaunes et 1 rouge}) =C₃¹·10⁴ ·³9 ·⁶8 =₁₀³

3. Le prix moyen payé pour les 3 poissons ainsi choisis :E= 51.

4. Écart-type du prix payé :σ=√

14≈3,74