tanh(K). Il est probable que les calculs soient l´eg´erement plus facile en utilisant cette formule...

(1)

Corrig´e 11

La résolution présentée ici n’utilise pas le fait que e

^Ks¹^s²

peut ˆetre ´ecrit comme cosh(K)(1 + s

₁

s

₂

tanh(K). Il est probable que les calculs soient l´eg´erement plus facile en utilisant cette formule...

a) En s´eparant les sommes, la fonction de partition s’´ecrit:

Z = ∑

s₁ s_N+1 s₃ sN+3

...

"

s₂,s

∑

_N+2

exp µ

K

₁

(s

₁

s

₂

+ s

_N+1

s

_N+2

+ s

₂

s

₃

+ s

_N+2

s

_N+3

) + K

₂

µ 1

2 s

₁

s

_N+1

+ s

₂

s

_N+2

+ 1 2 s

₃

s

_N+3

¶¶

. . .

#

= ∑

s₁ s_N+1 s₃ s_N+3 ...

"

e

¹²^K²^s¹^s^N+1⁺¹²^K²^s³^s^N+3

∑

s₂

e

^K¹^s²^(s¹^+s³⁾

2 cosh (K

₁

(s

_1+N

+ s

_3+N

) + K

₂

s

₂

) . . .

#

Pour avoir une invariance de l’hamiltonien, il faut que le terme entre crochet soit ´egal pour tout s

1

, s

3

,s

N+1

, s

N+3

`a:

Ce

^K¹⁰^(s¹^s³^+s^1+N^s^3+N⁾⁺¹²^K²⁰^s¹^s^1+N⁺¹²^K²⁰^s³^s^3+N

On en d´eduit les ´equations suivantes:

s

₁

s

₃

s

_N+1

s

_N+3

+ + −+ C = 2e

^2K¹

cosh(K

₂

) + 2e

^−2K¹

cosh(K

₂

)

− − ++ Ce

^2K¹⁰^−K²⁰

= 2e

^−2K¹^−K²

cosh(2K

₁

+ K

₂

) + 2e

^+2K¹^−K²

cosh(2K

₁

− K

₂

)

− + +− Ce

^−2K¹⁰^−K²⁰

= 2e

^−K²

cosh(K

2

) + 2e

^−K²

cosh(K

2

)

(2)

En insérant la première dans la troisième, on obtient:

e

^−2K¹⁰

¡

2e

^−K²^+2K¹

cosh(K

₂

) + 2e

^−K²^−2K¹

cosh(K

₂

) ¢

= 2e

^−K²

cosh(K

₂

) + 2e

^−K²

cosh(K

₂

)

⇔ e

^−2K¹⁰

cosh(2K

₁

) = 1

⇔ e

^2K¹⁰

= cosh(2K

₁

) Par contre en divisant la deuxi`eme par la troisi`eme on obtient:

e

^4K¹⁰

= e

^−2K¹^−K²

cosh(2K

1

+ K

2

) + e

^+2K¹^−K²

cosh(2K

1

− K

2

) 2e

^−K²

cosh(K

₂

)

= 1 + e

^−2K²^−4K¹

+ 1 + e

^−2K²^+4K¹

2(1 + e

^−2K²

)

Etant donn´e que la d´ependance en K

2

ne disparaˆıt pas, les équations sont incompatibles et donc le système à résoudre est sur-déterminé.

b) Introduisons les interactions diagonales dans le Hamiltonien.

− β H = K

₁

N−1

∑

i=1

(s

i

s

_i+1

+ s

i+N

s

_i+N+1

) + 1 2 K

₂

∑

N i=1

(s

i

s

i+N

+ s

_i+1

s

_i+N+1

) + K

₃

∑

N i=1

(s

i

s

_i+N+1

+ s

_i+1

s

i+N

)

Le système doit être invariante par symétrie globale de spin. De plus il doit être invariant par symétrie hori- zontale (cela revient à regarder le système par en haut ou par en bas). Finalement il doit aussi être invariant par symétrie verticale (cela revient à regarder le système depuis la droite ou depuis la gauche). Les configurations

´equivalentes sont:

(a) (+ + ++) = (− − −−)

(3)

(b) (+ − −−) = (− + −−) = (− − +−) = (− − −+) = (+ + +−) = (+ + −+) = (+ − ++) = (− + ++) (c) (+ + −−) = (− − ++)

(d) (+ − +−) = (− + −+) (e) (+ − −+) = (− + +−)

c) Il y a donc 5 équations à satisfaire et nous n’avons que 4 variables indépendantes. Il faut donc rajouter encore une sorte d’interaction. La seule interaction qui conserve les symétries du point précédent est une interaction du type s

_i

s

_i+1

s

_i+N

s

_i+N+1

:

β H = K

₁

N−1

∑

i=1

(s

_i

s

_i+1

+s

_i+N

s

_i+N+1

)+ 1 2 K

₂

∑

N i=1

(s

_i

s

_i+N

+s

_i+1

s

_i+N+1

)+K

₃

∑

N i=1

(s

_i

s

_i+N+1

+ s

_i+1

s

_i+N

)+ K

₄

∑

N i=1

s

_i

s

_i+1

s

_i+N

s

_i+N+1

On fait le même calcul que précédemment et l’on obtient finalement pour la fonction de partition:

Z = ∑

s₁ s_N+1 s₃ s_N+3 ...

"

e

¹²^K²^s¹^s^N+1⁺¹²^K²^s³^s^N+3

∑

s₂

e

^K¹^s²^(s¹^+s³^)+K³^s²^(s^N+1^+s^N+3⁾

2 cosh (K

₁

(s

_1+N

+ s

_3+N

) + K

₂

s

₂

+ K

₃

(s

₁

+ s

₃

) + K

₄

s

₂

(s

₁

s

_N+1

+ s

₃

s

_N+3

)) . . .

#

A nouveau chaque terme doit être comparé à:

C exp µ

K

₁⁰

(s

₁

s

₃

+ s

_1+N

s

_3+N

) + 1

2 K

₂⁰

s

₁

s

_1+N

+ 1

2 K

₂⁰

s

₃

s

_3+N

+ K

₃⁰

(s

₁

s

_N+3

+ s

₃

s

_N+1

) + K

₄⁰

s

₁

s

₃

s

_1+N

s

_3+N

¶

On en d´eduit les ´equations suivantes:

(4)

+ + ++ Ce

^2K¹⁰^+K²⁰^+2K³⁰^+K⁴⁰

= 2e

^K²

¡

e

^2K¹^+2K³

cosh(2K

1

+ K

2

+ 2K

3

+ 2K

4

) + e

^−2K¹^−2K³

cosh(2K

1

− K

2

+ 2K

3

− 2K

4

) ¢

− + ++ Ce

^−K⁴⁰

= 2 ¡

e

^2K³

cosh(2K

₁

+ K

₂

) + e

^−2K³

cosh(2K

₁

− K

₂

) ¢

− − ++ Ce

^2K¹⁰^−K²⁰^−2K³⁰^+K⁴⁰

= 2e

^−K²

¡

e

^−2K¹^+2K³

cosh(2K

₁

+ K

₂

− 2K

₃

− 2K

₄

) + e

^2K¹^−2K³

cosh(2K

₁

− K

₂

− 2K

₃

− 2K

₄

) ¢

− + +− Ce

^−2K¹⁰^−K²⁰^+2K³⁰^+K⁴⁰

= 2e

^−K²

(cosh(K

₂

− 2K

₄

) + cosh(−K

₂

+ 2K

₄

))

− + −+ Ce

^−2K¹⁰^+K²⁰^−2K³⁰^+K⁴⁰

= 2e

^K²

(cosh(K

₂

+ 2K

₄

) + cosh(−K

₂

− 2K

₄

)) d) Si K

1

= K

2

= K

3

= K

4

= 0, on trouve que C = 4 et les ´equations sont toutes satisfaites.

Par ailleurs, si on divise la quatrième équation par la cinquième, on a:

e

^4K³⁰

= e

^−2K²

⇔ K

₃⁰

= − 1 2 K

₂

e) L’application de renormalisation est donn´ee sous une forme implicite G(x

⁰

) = F (x). Pour étudier la stabilité des points d’équilibre on doit regarder la matrice des premières dérivées de l’application x

⁰

= G

⁻¹

(F(x)). Cette matrice est donnée par le produit des matrice de dérivées de G et de F:

D(G)

⁻¹

(x

^∗

)D(F )(x

^∗

) o`u D(G) a pour composante

^∂G_∂yⁱ^(y)

j

avec x

^∗

= (4, 0, 0, 0, 0).

En ne gardant que les termes lin´eaires en K

i

, la lin´earisation des ´equations donne:

 

 

 

 



C(1 + 2K

₁⁰

+ K

₂⁰

+ 2K

₃⁰

+ K

₄⁰

) = 4(1 + K

₂

) (1)

C(1 − K

₄⁰

) = 4 (2)

C(1 + 2K

₁⁰

− K

₂⁰

− 2K

₃⁰

+ K

₄⁰

) = 4(1 − K

₂

) (3)

C(1 − 2K

₁⁰

− K

₂⁰

+ 2K

₃⁰

+ K

₄⁰

) = 4(1 − K

₂

) (4)

C(1 − 2K

₁⁰

− K

₂⁰

− 2K

₃⁰

+ K

₄⁰

) = 4(1 + K

2

) (5)

On obtient:

(5)

D(G)(x

^∗

) =



 



1 8 4 8 4

1 0 −4 0 −4

1 8 −4 −8 4

1 −8 −4 8 4

1 −8 4 −8 4



 

 , D(F )(x

^∗

) =



 



0 0 0 0 0

4 0 −4 −4 4

0 0 0 0 0



 



On effectue l’inversion et la multiplication et l’on voit que les valeurs propres sont toutes plus petites que 1 en module ( λ

1

= 0.625, λ

2

= λ

2

= λ

2

= λ

2

= 0).

A partir de ces r´esultats, on tire que si l’on se place pr`es de (0,0,0,0), les valeurs de K

₁

, K

₂

, K

₃

, K

₄

vont diminuer.

En supposant qu’il n’y a pas d’autres points d’équilibre (ce qui peut être vérifié nummériquement), nous pouvons conclure que (∞, ∞, ∞,∞) est un point d’équilibre instable, car deux points d’équilibre stables devaient être séparés par un point d’équilibre instable.

Notre problème correspond donc à un modèle où les spins sont découplés. Donc un modèle d’Ising en une dimension.

On voit l’intérêt des techniques de renormalisation par le fait que nous avons pu prouver que notre modèle est

´equivalent au mod`ele d’Ising uni-dimensionnel sans calculer explicitement la fonction de partition.