Problèmes variationnels non linéaires I

Universit´e Pierre et Marie Curie Master 1, 4M025

Ann´ee 2014-2015 Calcul des variations: outils et m´ethodes

TD 8. Probl`emes variationnels non lin´eaires I

Etant donn´e un intervalle born´eIdeR, l’espaceH₀¹(I) (resp.H¹(I)) est syst´ematiquement muni du produit scalaire hu, vi=R

Iu⁰(x)v⁰(x)dx(resp. hu, vi=R

Iu(x)v(x)dx+R

Iu⁰(x)v⁰(x)dx).

Exercice 1. On se donne une fonction croissante lipschitziennep :R→R eth ∈L²(0,1). On consid`ere alors le probl`eme :

(P)

−u⁰⁰(x) +p(u(x)) =h(x) sur (0,1), u(0) =u(1) = 0.

Posonsf(s) =Rs

0 p(t)dt pour touts∈Ret Ψ(u) = 1

2 Z 1

0

|u⁰(x)|²dx+ Z 1

0

f(u(x))dx− Z 1

0

h(x)u(x)dx pour u∈H₀¹(0,1).

1. Discuter la r´egularit´e (continuit´e/diff´erentiabilit´e...) de Ψ.

2. Montrer que le probl`eme min{Ψ(u) :u∈H₀¹(0,1)} admet une unique solution.

3. Donner une caract´erisation variationnelle de cette solution.

4. Conclure `a l’existence d’une unique solutionfortede (P). Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que u soit une solution classique.

Exercice 2 (Obstacle en aiguille). Soientf ∈L²(0,1), x0 ∈]0,1[ et h0 ∈R. On consid`ere le probl`eme

min Z 1

0

|u⁰(x)|²dx+ Z ₁

0

f(x)u(x)dx:u∈H₀¹(0,1), u(x₀)≥h₀

. 1. Montrer que le probl`eme est bien pos´e et qu’il admet une unique solution.

2. Ecrire les conditions d’optimalit´e pour ce probl`eme. On donnera la valeur du multiplicateur de Lagrange associ´e `a la contrainteu(x0)≥h0 et l’on pr´ecisera la r´egularit´e de u.

3. Expliciter la solution du probl`eme en fonction des donn´ees et deF(x) =Rx

0 f(t)dt.

Exercice 3 (Quotient de Rayleigh).

1. SoitA une matrice carr´ee sym´etrique r´eelle de taille n. DansRⁿmuni du produit scalaire euclidien, montrer en consid´erant le probl`eme

inf{hAx, xi:kxk= 1},

queAposs`ede un vecteur propre. Montrer ensuite que la valeur propre obtenue est la plus petite valeur propre deA.

1

2. On consid`ere le probl`eme λ= inf

Z

I

|u⁰(x)|²dx:u∈H₀¹(I), Z

I

|u(x)|²dx= 1

.

(a) Montrer que λ >0 et que le probl`eme ci-dessus poss`ede au moins une solution dont on pr´ecisera la r´egularit´e.

(b) On introduit l’op´erateurA :H₀¹(I)∩H²(I)→ L²(I) d´efini par Au=−u⁰⁰. Montrer queλest une valeur propre de A et que c’est la plus petite.

Exercice 4 (Caract´erisation variationnelle pour un probl`eme d’obstacle). SoientC = {u∈H<sup>1</sup>(I) :|u(x)| ≤1 p.p.x∈I} etf ∈L<sup>2</sup>(I). On consid`ere le probl`eme

(P) inf 1

2 Z

I

|u⁰(x)|²dx+ Z

I

f(x)u(x)dx:u∈C

.

1. L’ensemble C est-il born´e dans H¹(I) ? Montrer que le probl`eme poss`ede une solution u∈C satisfaisant

(∗) Z

I

u⁰(v⁰−u⁰)dx≥ Z

I

f(v−u)dx.

2. Soientu1 etu2 deux solutions, montrer que la fonction u1−u2 est constante.

3. Montrer que si usatisfait (∗), alors elle est solution de (P).

2