Chapitre 7 : Les fonctions trigonométriques
I- Le cercle trigonométrique 1) Définition
Définition 1 :
Dans un repère orthonormé (O;I,J), le cercle de centre O et de rayon 1 parcouru de I vers J dans le sens inverse des aiguilles d’une montre est appelé le cercle trigonométrique.
Remarque 1 : Le sens inverse des aiguilles d’une montre est appelé sens direct ou sens trigonométrique.
2) Longueur d’un arc et radian a) Longueur d’un arc Propriété 1 :
Sur le cercle trigonométrique, la longueur de l’arc de cercle entre I et M est proportionnelle à la mesure de l’angle exprimée en degré.
Remarque 2 : La longueur de l’arc est exprimée dans l’unité de longueur du repère.
Mesure de en degré 360 180 90 45 60 120
Longueur de l’arc IM 2
2
4
3 2
3
b) Le radian Définition 2 :
Si on note U le point du cercle trigonométrique tel que l’arc entre I et U ait pour longueur 1 unité (dans l’unité de longueur du repère), on définit un radian, noté 1 rad, la mesure de l’angle .
Remarque 3 :
Compte tenu de la proportionnalité entre la mesure de l’angle en degré et la longueur de l’arc, on obtient :
1 × 360
2 = 180
≈ 57,3
1 radian correspond donc à environ 57,3°.
Propriété 2 :
Comme vu précédemment, les mesures d’un angle en degré d’une part, et en radian d’autre part, sont proportionnelles.
Remarque 4 :
On repère dans ce tableau des mesures remarquables des angles à connaître : 90° →
2 rad 60° →
3 rad … Vidéo en complément pour récapituler :
Mesure de en degré 360 ? Longueur de l’arc IM 2 1
Mesure en degré 0 30 45 60 90 180 360 1 180 Mesure en radian 0
6
4
3
2 2
180 1
×
×180 180
II – Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
1) Point image d’un réel
Dans un repère orthonormé (O;I,J), on considère le cercle trigonométrique (de centre O et de rayon 1) et la
tangente en I au cercle.
On imagine que l’on enroule la tangente autour du cercle.
Chaque point de la tangente a donc un emplacement sur le cercle.
Il semble logique d’imaginer que plusieurs points de la tangente auront le même emplacement sur le cercle …
Propriété 3 :
Pour tout nombre réel a, le point de (d) d’abscisse a est associé à un unique point M sur le cercle trigonométrique : M est appelé point-image de a sur le cercle trigo.
Réciproquement, à tout pont M du cercle trigo correspond une infinité de réels considérés comme les abscisses de points de (d).
Exemple 1 : Le réel
a pour point-image J sur le cercle ci-dessus.
Mais c’est aussi le cas de
2 , de
4 !, de
"2 "#, de
"4 "$ …
Remarque 5 : Sur la figure ci-contre, les réels
# et "%# ont le même point-image.
La différence entre ces deux réels est
# " &"%#' = (# =2 De même, les réels
# et )
# ont le même point-image.
La différence entre ces deux réels est
# ")# = "(# = "2 Ces différences sont logiques au vu de ce qui précède.
J
2) Points remarquables du cercle trigonométrique
Les valeurs remarquables du cercle trigo sont 0,(,% et.
Les autres valeurs du cercle ci-dessus s’obtiennent par symétries (axiales ou centrales).
Vidéo en complément :
https://lycee.hachette-education.com/Barbazo/1re/#chapitre_3_p092_enroulement_de_la_droite_des_reelsmp4
III – Sinus et cosinus d’un nombre réel 1) Définitions et propriétés
Définition 3 :
Soit , un réel et M le point associé sur le cercle trigonométrique.
Dans le repère orthonormé -O; , 01 :
- le cosinus de ,, noté cos ,, est l’abscisse du point M ; - le sinus de ,, noté sin ,, est l’ordonnée du point M ; - Le point M a pour coordonnées -cos-,1; sin-,11.
Exemple 2 :
Le réel 0 a pour point-image I de coordonnées (1;0) ainsi cos-01 1 et sin-01 0
Le réel
a pour point-image J de coordonnées (0;1) ainsi cos &' = 0 et sin &' 1
Le réel a pour point-image I’ le symétrique de I par rapport à O, il a pour coordonnées -"1; 01 ainsi cos-1 =
"1 et sin-1 0…
Propriété 4 :
Pour tout réel ,, on a :
"1 7 cos-,1 7 1
"1 7 sin-,1 7 1
-cos-,11 -sin-,11=1 que l’on peut aussi écrire cos-,1 sin-,1 =1. Démonstration :
Les deux encadrements se justifient aisément compte tenu de la définition de cos-,1 et sin-,1. Ce sont les coordonnées des points appartenant au cercle trigonométrique.
Les points du cercle ont des coordonnées comprises entre "1 et 1 ce qui justifie :
"1 7 cos-,1 7 1 et "1 7 sin-,1 7 1
En ce qui concerne la dernière égalité, on peut la justifier dans le cas où , est un angle aigu : On note H le projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses et K le projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.
Dans le triangle OHM rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore : 8 8 = Or 8 = cos-,1 et 8 = 9 = sin -,1
Ainsi 8 8 = ⇔ -cos-,11 -sin-,11 1 1 On retrouve ces démonstrations sur la vidéo ci-dessous :
https://lycee.hachette-education.com/Barbazo/1re/#chapitre_3_p092_sinus_et_cosinus_d_un_nombre_reelmp4
2) Valeurs remarquables du sinus et du cosinus
Pour retrouver ces valeurs par le calcul, reprendre le N°6 page 79, la situation 3 page 81 ou encore la vidéo suivante :
https://lycee.hachette-education.com/Barbazo/1re/#chapitre_3_p092_valeurs_remarquables_du_sinus_et_du_cosinusmp4
Mesure de , en degré 0 30 45 60 90 180 Mesure de , en radian 0
6
4
3
2
cos (,) 1 √3
2 √2 2
1
2 0 −1
sin (,) 0 1
2 √2
2 √3
2 1 0
IV – Fonctions sinus et cosinus d’un nombre réel 1) Définition
D’après la définition 3, tout nombre réel , possède un sinus et un cosinus : Définition 4 :
La fonction sinus, notée sin, est la fonction définie sur ℝ par , ↦ sin -,1. La fonction cosinus, notée cos, est la fonction définie sur ℝ par , ↦ cos -,1. Leurs courbes représentatives sont appelées des sinusoïdes.
2) Propriétés
Propriété 5 :
D’après les propriétés de la droite des réels enroulée autour du cercle trigonométrique : Pour tout , réel, sin-, 21 sin-,1 et cos-, 21 cos-,1.
On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2 ou encore 2-périodiques.
Exemple 3 : sin &
3 2' sin &
3' √3
2 ainsi sin >7
3 ? √3 2 cos &
4 2' cos &
4' √2
2 ainsi cos >9
4 ? √2 2
Propriété 6 :
Par des propriétés de symétrie par rapport à l’axe des abscisses :
Pour tout , réel, sin-",1 = " sin-,1 : on dit que la fonction sinus est impaire.
Pour tout , réel, cos-",1 = cos-,1 : on dit que la fonction cosinus est paire.
Exemple 4 :
sin &"
4' −sin &
4' −√2 2 cos &"
6' cos &
6' 1 2
Pour revoir la vidéo sur le tracé des fonctions sinus et cosinus et de leurs propriétés :
https://lycee.hachette-education.com/Barbazo/1re/#chapitre_3_p092_fonctions_cosinus_et_sinusmp4
