Le théorème du sous-mot

Le théorème du sous-mot

Référence : Bruno Petazzoni , 16 problèmes d’informatique 2011-2012

On définit la relation<sur les mots par : siu=u1. . . u_netv=v1. . . v_m, on au < vsi et seulement siil existe une application strictement croissantef de[1, n]sur[1, m]telle que u_i=v_f(i).

Pour un motwet un langageL, on noteraLwl’ensemble des sur-mots de w, i.e L_w={v∈Σ^∗ |w < v}.

Pour un langageL, on notera ˆLl’ensemble des sur-mots des mots deL, etSM(L) l’ensemble des sous-mots des mots de L.

Enfin, on appelleraantichaînesur Σ un langageLdont les mots ne sont pas comparables deux à deux pour<.

Théorème 1 : du sous-mot

SiL∈p(Σ^∗), alorsSM(L)est rationnel.

Démonstration. La démonstration repose sur le :

Lemme 2 : de Higman

Toute antichaîne surΣpour<est finie.

On se fixe un langageLquelconque.

Lemme 3 Lˆ est rationnel.

Démonstration. On considèreL↓ l’ensemble des mots deLminimaux pour<. Alors nécessairement,L↓ est une antichaîne, donc est finie.

Pour tout motude ˆL, il existe un motw∈L↓tel que w < u, et donc finalement : Lˆ = [

w∈L↓

L_w.

Chaque Lw est rationnel (Lw = Σ^∗w1Σ^∗· · ·Σ^∗wnΣ^∗), et donc par stabilité des langages rationnels par union

finie, on a ˆLrationnel. ♦

Maintenant, considéronsK= Σ^∗\SM(L). On va montrer queK= ˆK, et on aura alors la rationnalité deK, et donc deSM(L) par clotûre des langages rationnels par complémentarisation.

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L’inclusionK⊆Kˆ est triviale.

Soit doncx∈K. Il existeˆ w∈Ktel quew < x. Alors six∈SM(L), alorswaussi, ce qui est une contradiction.

D’où le résultat.

Montrons le lemme de Higman :

Démonstration. On suppose queAest une antichaîne infinie sur Σ. On note alors q=|Σ etn= min

u∈A|u|.

On suppose de plus queqet nsont minimaux : les antichaînes sur un alphabet plus petit que Σ sont finies, et celles dont le mot de longueur minimale est plus court quenaussi.

1. On remarque queq >1 etn >1

Démonstration. Si q= 1, alors toute antichaîne ne contient qu’un élément.

Si n= 1, alorsude longueur 1 est une lettre, et doncA\{u} antichaîne infinie sur Σ\{u}de tailleq−1 ←

contradiction avec la minimalité deq. ♦

2. On fixeude longueurn. On définitA^′ comme l’ensemble des mots deA qui sont sur-mots deu[1, n−1].

On a alorsA\A^′ fini, doncA^′ infini.

Démonstration. Le langage (A\A^′)∪ {u[1, n−1]}est une antichaîne sur Σ, avec un mot minimal de longueur

n−1. Par minimalité de n, cette antichaîne est finie. ♦

3. On énumèreA^′ :A^′={v1, v2, . . . , vi. . .}, et on écrit chaquevicomme vi=zi,1u1zi,2u2· · ·zi,n−1un−1zi,n, où pourj6n−1,z_i,j∈(Σ\{uj})^∗.

Alorszi,n∈(Σ\{un})^∗.

Démonstration. Sinon, on retrouveudansvi, et doncu < vice qui est impossible par définition d’antichaîne.

♦ 4. On définit Zj={zi,j | i∈N}.

AlorsZ_j a un nombre fini d’éléments minimaux pour <.

Démonstration. L’ensemble des éléments minimaux de Z_j est une antichaîne, sur un alphabet de cardinale

plus petit strictement queq, donc est fini. ♦

5. SiZ_j est infini, alors à extraction près, on a pour toutj : z_i,j < zi+1,j.

Démonstration. Soit s(1) le plus petit indice tel qu’il n’y ait plus d’éléments minimaux : z_s(1),j n’est pas minimal, et donc∃s(2)> s(1) tel quez_s(1),j< z_s(2),j.

En itérant le procédé, on construit la fonctionssurN. ♦

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6. L’un au moins desZj est infini.

Démonstration. On a A^′=Z1u1Z2u2· · ·Zn−1un−1Zn, etA^′ infini. ♦ 7. En applicant les extractions correspondant auxZjinfinis, on va se retrouver avec des mots tous comparables

entre eux. D’où une contradiction avec le fait queA^′ est une antichaîne. D’où le résultat.

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