Groupes d’ordre 12
24 d´ ecembre 2012
R´esum´e
O`u l’on voit que les seuls groupes d’ordre 12 sont : 12Z
Z, 2Z
Z×6Z
Z,A4, D12 ouT
Soit G un groupe d’ordre 12. S’il est commutatif, la structure des groupes ab´elien de type fini et le th´eor`eme chinois indiquent qu’il est isomorphe `a 12Z
Z
ou `a 2Z
Z×6Z
Z
Supposons maintenant que G n’est pas ab´elien. Soit H un 3-Sylow, G agit par translation sur G/H. Sig ∈Gest dans le noyau de l’action,g fixe notamment la classe du neutre, autrement dit H, donc le noyau est inclus dans H et peut ˆ
etre soit trivial, soit H. Dans le premier cas, G est isomorphe `a un sous-groupe de Σ4(car|G/H|= 4) d’ordre 12. Un tel sous-groupe est distingu´e car d’indice 2, contient un ´el´ement d’ordre 3 c’est-`a-dire un 3-cycles, et comme ceux-ci sont conjugu´es il les contient tous.A4 est engendr´e par les 3-cycles et de cardinal 12 doncG'A4.
Dans le second cas H CGet il n’y a alors qu’un seul 3-Sylow, donc deux
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el´ements d’ordre 3. Soit g l’un d’eux. Son orbite par conjugaison est de taille 1 ou 2, ´egale `a l’indice de son centralisateur qui est donc de cardinal pair et contient un ´el´ement hd’ordre 2. het g commutent doncx:=ghest d’ordre 6.
De plushxiest d’indice 2, il est donc distingu´e.
Supposons qu’il existeyun autre ´el´ement d’ordre 2 quex3. On ahxi∩hyi=e, hxiCGet, par cardinalit´e,hxihyi=G, doncG'2Z
Zoφ6ZZ. Le morphisme trivial donne le produit direct et le seul autre automorphisme de 6Z
Zest 17→5 =−1. Le produit semi-direct obtenu est isomorphe `aD12(xest la rotation,yla r´eflexion) Si un telyn’existe pas, les ´el´ements deG\ hxisont d’ordre 4 ou 6. En fait 6 est exclus : sio(z) = 6 alorsz3=x3eto(z2) = 3 doncz2=x2oux4⇒z=xou x−1. Soit z d’ordre 4,o(b2) = 2 doncb2 =x3 et o(zxz−1) = 6 donczxz−1=x oux−1, le premier ´etant exclus sinonxetzcommuteraient et G serait ab´elien, G est isomorphe au groupe dicycliqueT :
T =hx, z|x6=e, z2=x3, zxz−1=x−1i
R´ ef´ erence :
Delcourt, “Th´eorie des groupes” p.98
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