TD 7 Intégration

IUP GCI 1 2002/2003 A.Mizrahi

TD 7 Intégration

Exercice 1: Calculer les primitives des fonctions suivantes :

f₁(x) =x⁵−x+ 2; f₂(x) = ln(x+ 2); f₃(x) =xsin(ωx)

f₄(x) = 2x+ 7

x²+ 7x−7; f₅(x) = cos³(x) sin(x); f₆(x) = cos³(x)

f₇(x) = arctan(x); f₈(x) = x³

x+ 1; f₉(x) =xarctan(x)

f₁₀(x) =xcos(2x²+ 1); f₁₁(x) = x

(x²+ 3)⁷; f₁₂(x) = e^x (7 +e^x)⁶

f₁₃(x) = x+ 1

x²+ 1; f₁₄(x) = x

√x⁴−1; f₁₅(x) =x²ln(x³+ 1)

f₁₆(x) = cos(x)

1 + sin²(x); f₁₇(x) =

√1−x²

x² (x= cos(u)); f₁₈(x) = 1 (x+ 2)(x+ 4)

f19(x) = s

1 +√ 1−x²

1−x² (x= sin(t)); f20(x) = x (x−1)(x−3)

Exercice 2: On poseI_mⁿ =R

cosⁿ(x) sin^m(x)dxmontrer la relation :

(m+n)I_mⁿ =−sin^m−1(x)cosⁿ⁺¹(x) + (m−1)I_m−2ⁿ = sin^m+1(x)cosⁿ⁻¹(x) + (n−1)I_mⁿ⁻²

En déduire une primitive decos⁴(x) sin²(x).

Exercice 3:

I = Z 1

0

e^x2dx

a) Déterminer une valeur approchée de I.

b) Ainsi qu’un encadrement deI.

Exercice 4:

E ={(x,y)/(x

a)²+ (y

b)² <1}

Calculer l’aire deE.

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Exercice 5: Calculer si elles existent les intégrales suivantes : a)

Z ∞

0

1

(x+ 1)(x+ 2)dx; b) Z ∞

0

xⁿe^−xdx; c) Z ∞

0

dx (1 +x²)²

d Z ∞

0

e⁻

√x

dx; e) Z ∞

1

ln

x²−1 x²+ 1

dx; f) Z ∞

1

1 1 +x²

Exercice 6:

F(x) =

Z sin²x

0

arcsin(p

(t)dt+

Z cos²x

0

arccos(p (t)dt

1) CalculerF⁰(x).

2) Déterminer une formule pourF. Exercice 7:

h(t) = e^−t2; f(x) = Z x

0

h(t)dt 2

; g(x) = Z 1

0

e^−x2(1+t2) 1 +t²

a) Calculerf⁰etg⁰, montrer quef +gest une fonction constante.

b) Montrer que∀xf(x) +g(x) = ^π₄. c) Montrer que :

0≤g(x)≤e^−x2 d) En déduire la valeur de l’intégrale de GaussRinf ty

0 e^−t2dt.

Exercice 8:lemme de Riemann Lebesgue Soitf une fonction de classeC¹, montrer que:

λ→∞lim Z 1

0

f(t) sin(λt)dt = 0

Exercice 9:Fonction de Bessel

J₀(x) = 1 π

Z π

0

cos(xsint)dt

Écrire le développement limité deJ₀ à l’ordre n en 0.

Exercice 10:FonctionΓ

∀x >0 Γ(x) = Z ∞

0

e^−tt^x−1dt

a) Montrer queΓ(1) = 1puis que pour toutnentier positif on aΓ(n+ 1) =nΓ(n). En déduire que Γ(n+ 1) =n!

b) Montrer queΓest convexe surR^+∗.

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