DS 7 : Intégration, probabilité et logarithme
Exercice 1 6,5 points
Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.
Une entreprise produit des valises de deux types : des valises à deux roues et des valises à quatre roues. Sur chacun des deux modèles, on effectue des tests afin d’évaluer leur solidité.
On dispose des informations suivantes sur le stock de production de cette entreprise :
‚ le stock contient 30 % de valises à deux roues ;
‚ 95 % des valises à deux roues réussissent les tests ;
‚ 63 % des valises sont des valises à quatre roues etqui ont réussi les tests.
On choisit au hasard une valise de ce stock. On considère les évènements suivants :
‚ D: « La valise a deux roues » ;
‚ R : « La valise réussit les tests ».
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous, au fur et à mesure de l’exercice :
.
D
R
R
D
R
R 0,3
0,95 0,05
0,7
0,9 0,1
2. On choisit une valise à quatre roues, déterminer la probabilité qu’elle réussisse les tests.
PDpRq “ PpRXDq
PpDq “ 0,63 0,7 “0,9
3. Démontrer que la probabilité que la valise choisie réussisse les tests est de 0,915.
PpRq “PpDXRq `PpDXR“PpDq ˆPDpRq `PpDXRq “0,3ˆ0,95`0,63“0,915 4. Sachant que la valise réussit les tests, quelle est la probabilité que ce soit une valise à quatre roues ?
PRpDq “ PpRXDq
PpRq “ 0,63 0,915“ 42
61 »0,689 PRpDq “ PpRXDq
PpRq “ 0,7ˆ0,1 1´0,915 “ 14
17 »0,824 5. Recopier et compléter l’arbre :
.
R
D
D
R
D
D 0,915
19 61 42 61
0,085
3 17 14 17
Exercice 2 9,5 points
Commun à tous les candidats
La courbe (C) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonctionf définie et dérivable surr0,5 ; 6s. Les points A (1 ; 3) et B d’abscisse 1,5 sont sur la courbe (C).
Les tangentes à la courbe (C) aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale.
On notef1 la fonction dérivée de f.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A : Étude graphique
1. Déterminerf1p1,5q “0, puisque la tangente en B (d’abscisse 1,5) est horizontale.
2. La tangente à la courbe (C) passant par A passe par le point de coordonnées (0 ; 2). Déterminer une équation de cette tangente.
L’ordonnée à l’origine est donc 2. Par lecture graphique, son coefficient directeur est 1. Donc l’équation de la tangente esty“x`2. On peut donc affirmer que f1p1q “1.
3. Donner un encadrement de l’aire, en unités d’aire et à l’unité près, du domaine compris entre la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équationsx“1 et x“2.
3ď ż2
1
fpxqdxď4
4. Déterminer la convexité de la fonctionf sur [0,5 ; 6]. Argumenter la réponse.
La courbe est systématiquement en dessous de ses tangentes donc la fonction est concave.
Partie B :Étude analytique
On admet que la fonctionf est définie sur [0,5 ; 6] par
fpxq “ ´2x`5`3 lnpxq.
1. Pour tout réelx de [0,5 ; 6], calculerf1pxq et montrer que f1pxq “ ´2x`3 x . f1pxq “ ´2`31
x “ ´2x`3 x
2. Étudier le signe def1 sur [0,5 ; 6] puis dresser le tableau de variation def sur [0,5 ; 6].
Pour l’étude du signe de f1, on remarque que x ą 0 sur l’intervalle d’étude donc f1pxq est du signe de
´2x`3.
´2x`3ą0ô ´2xą ´3ôxă 3 2 x
f1pxq fpxq
0.5 32 6
` 0 ´
4´3 ln 2 4´3 ln 2
2`3 ln32 2`3 ln32
´7`3 ln 6
´7`3 ln 6 fp0,5q “ ´2ˆ0,5`5`3 ln 0,5“4´3 ln 2ą0 ; f
ˆ3 3
˙
“2`3 ln3
2 ą0 ; fp6q “ ´7`3 ln 6ă0 3. Montrer que l’équation fpxq “ 0 admet exactement une solution α sur [0,5 ; 6]. Donner un encadrement
de αà 10´2 près.
D’après le tableau de variation, l’équation admet une unique solution sur [0,5 ; 6]. Cette solution est dans l’intervalle [32 ; 6]. On a :
x 4,87 4,88
fpxq 0,0092 -0,004 Donc 4,88ďαď4,89.
4. En déduire le tableau de signe de f sur [0,5 ; 6].
x fpxq
0.5 α 6
` 0 ´
5. On considère la fonctionF définie sur [0,5 ; 6] parFpxq “ ´x2`2x`3xlnpxq. (a) Montrer queF est une primitive def sur [0,5 ; 6].
F1pxq “ ´2x`2`3ˆlnx`3xˆ1
x “ ´2x`5`3 lnx“fpxq DoncF est bien une primitive de f.
(b) En déduire l’aire exacte, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équationx“1 et x“2. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième.
ż2
1
fpxqdx“ rFpxqs21 “Fp2q ´Fp1q
“ ´22`2ˆ2`3ˆ2ˆln 2´ p´12`2ˆ1`3ˆ1ˆ ln 1 loomoon
“0
q
“6 ln 2´1 Partie C : Étude de la convexité de F On considère la fonctionF définie sur [0,5 ; 6] par :
Fpxq “ ´x2`2x`3xlnpxq On notepCFq sa représentation graphique.
1. Expliquez pourquoi :
F1pxq “fpxq donc F2pxq “f1pxq “ ´2x`3 x
2. En déduire la convexité de la fonctionF, ainsi que les coordonnées du point d’inflexion depCFq.
x F2pxq convexité
0.5 3
2 6
` 0 ´
convexe 0 concave
Exercice 3 4 points
Commun à tous les candidats
1. Soitf la fonction définie sur l’intervaller1 ; 25spar
fpxq “ x`2´lnpxq
x .
(a) On admet quef est dérivable surr1 ; 25s.
Démontrer que pour tout réelx appartient à l’intervaller1 ; 25s,
f1pxq “ ˆ
1´ 1 x
˙
x´ px`2´lnpxqq
x2 “ x´1´x´2`lnx
x2 “ ´3`lnpxq x2 .
(b) Résoudre dansr1 ; 25sl’inéquation ´3`lnpxq ą0ôlnxą3ôxąe3»20,09.
(c) Dresser le tableau des variations de la fonctionf sur r1 ; 25s. x
f1pxq fpxq
1 e3 25
´ 0 `
3 3
1-e´3 1-e´3
27´ln 25 25 27´ln 25
25
fp1q “ 1`2`ln 1
1 “3 ; fpe3q “ e3`2´3 ln e
e3 “1´e´3 ; fp25q “ 27´ln 25 25
(d) Déduire du tableau le variation, le signe def surr1 ; 25s.
Commefpe3q “1´e3 ą0 est le minimum de la fonction f sur l’intervalle r1 ; 25s, on peut affirmer quefpxqest positive sur cet intervalle.
(e) Démontrer que dans l’intervalle r1 ; 25s, l’équation fpxq “ 1,5 admet une seule solution. On notera α cette solution.
Puisque fp25q “ 27´ln 2525 ă 1,5 et avec le tableau de variation on peut affirmer que l’équation fpxq “1,5 admet une unique solution surr1; 25set que cette solution est sur l’intervalle“
1,e3‰ (f) Déterminer un encadrement d’amplitude 0,01 de α à l’aide de la calculatrice.
x 2,31 2,32
fpxq 1,5033 1,4993 Donc 2,31ďαď2,32.
2. On considère la fonction :
Fpxq “x`2 lnx´ 1 2plnxq2
(a) Montrer que la fonctionF est une primitive de la fonction f. (on utilisera la formulepu2q1 “2u1u) F1pxq “1`2ˆ 1
x ´1
2 ˆ2ˆ1
xlnx“ x`2´lnpxq
x .
(b) En déduire l’aire exacte, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe représentative de f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x“1 et x“e3. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième.
że3
1
fpxqdx“ rFpxqse13 “Fpe3q ´Fp1q
“e3`2 ln e3´1 2
`ln e3˘2
´ ˆ
1`2 ln 1´ 1 2pln 1q2
˙
“e3`6´9
2´1“e3`1 2
