Chapitre 7 Intégration

Chap 7 : Intégration

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Chap 7 : Intégration

I. Intégrales généralisées

[ , [ ([ , [, ) [ , [

: . lim ( )

intervalle de On dit que possède une intégrale généralisée sur lorsque possède une limite finie en On dit ainsi que converge, et on note

p pm

x b b

a a x b a

a b f a b a b

F x f b^{ } f _F x f





 





C

] , ] Définition analogue pour a b a, 

\] , ] \[ , [

] , [ (] , [, ). ] , [.

] , [

intervalle ouvert de , Soit On dit que possède une intégrale généralisée sur lorsque et possèdent des intégrales généralisées.

On pose alors

p pm

a c c b

b a

a b f a b c a b f

a b f f

f

C 

Cela est indépendant du choisi

c b

a f c f c

 

  

( , ) définie sauf en un nombre finie de pts de Une singularité de est. : à distance finie : un point au voisinage duquel est non bornée

si ce point est adhérent à dans

p

p

f m I I f

f I





   C

 

|| ( ...1 ) 1, ,

([ , [, ) : lim 0

Intégrales généralisées Combinaison linéaire CV CV

et CV est une primitive généralisée de tq

b b

a a i

b b

x p

pm x b

p

a

f f f f i p f

f C a b f F x f f _F

 





     

   

 

 

2

( , ) ( , )

([ , [, ) 0, [ , [, ( , ) [ , [

(] , [, ) lim

Critère de Cauchy : CV ,

CV

p b v

pm a u

b v

pm a u b a b u

p

f a b f ssi b a b u v b b f

f a b f ssi f

 

 

 





 

       

  

 

 

C C

II. Fonctions intégrables

([ , [, )

[ , [

0, [ , [

( ) [ , [ [ , [

positive. On a équivalence entre :

converge est bornée sur

segment inclus dans ,

suite de segments de tq , et

n

pm

b x

a a

S

n n S

n

n n

f a b

f x f a b

M S a b f M

S a b S S a b f







 

    

  

 



C

 

est majorée



n ( )

] , [:

0 ] , [ ( ) ] , [, sup

Le théorème se généralise à

Si est intégrable sur et si suite de segments dont l'union est

n

I b

n a n S

n

a b

f a b S a b f f











([ , [, ) est intégrable sur [ , [ lorsque | | possède une intégrale généralisée sur [ , [

f Cpm a b a b f a b

[ , [ [ , [

Si est intégrable sur f a b, elle possède une intégrale généralisée sur a b

, ([ , [, ). (| |) [ , [ | |

Domination : f gC_pm a b Si f O g et si est intégrable sur g a b , alors f aussi

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1( ) { ( , ), } ( , )

intervalle de , on note _pm intégrable sur C'est un de _pm

I L I  f C I f I sev C I

1

1 1

( )

( ) ( , ) ( )

Si est borné, toute fonction CPM bornée appartient à et _pm est bornée,

I I L I

f L I g I gf L I



 C 

1

1 1. 2 1 1 1 0 1

Intégrales de réf : dt CV dtln CV ou et dt CV

ssi ssi ssi

t^  t^{ }    t^ 

 

     

  

1

~ ,( , 0) [

1 ( ) ([1, [)

, [ [ , [

Si et est bornée et possède une limite en ,

En pratique : Domination. Equivalent ( _b ^{g f g} int sur int s ur )

t f t f

f a b

f g a

L

b

 



    

  

( )

Im( ) 0

( ) deg 2. 2 Im( )

pôle de pôle

sans pôle réel. Intégrable sur

I

z F z

z z

F G X ssi F F z

X z

 ^  





      





 

1

suppf  {x ,, ( )f x 0} C_C( ) { f C( ) / suppf est compact} L1^C( ) { f L( ) / f continue}

1 1 | | 1 1

( ) est dense dans ^C( ) || ^C( ) lim ( ) ^{i t} 0 || ^C( ) non complet pour

C L f L f t e ^dt L I



 

 

  





C

III. Méthodes d’étude d’une intégrale généralisée

IntégrabilitéDomination, équivalent Calcul|| Int° par parties, Dvt asymptotique, Chgt de variable

2

( ) 2

0 0 0 2 0 0 0

sin sin sin((2 1) )

( ) | | ( )

2 sin 2

CV (IPP), DV (maj°), , et utiliser

I

n

t t n t

f t f f dt f f I dt

t t t

  

     



  



 

 





: 1 ( , ) :

( ) ' ( ) | ' |

( ) '

et deux intervalles de , un difféomorphisme.

CV CV Dans ce cas

intégrable sur intégrable sur

pm

j I J I

I J I J f J

f f f f

f J f I



   

 

   

 



   

C C

( ) ( )

(]0, [, ) possédant des limites finies et en ' 0 et .0 f bt f at ( ')lnb

f l l a b dt l l

t a

 



^C      



  

0

 

1 1

0 0

: ( )

( , ) | ' | ( ) ( )

CV CV

tq CV ⁿ CV CV

n

f f ssi f n

f f L f n f f

  

 









    

 

  

C

1

1

([ ; [, ), ( ) [ , [ 0 .

0 | |

croissante non bornée. CV CV

La réciproque est vraie si En particulier, CV CV

n n n n

a a a

a a

f a an a f f

f f f









    

 

  

 

C

IV. Intégration des relations de comparaison

 

, _pm([ , [, ), 0 intégrable sur [ , [. _b ( ) ^b| | CV et ^b _b ^b (idem _b ou~_b )

a x x

f g a b g a b f O g f f O g o 

^C   











 

, _pm([ , [, ), 0 d'intégrale DV sur [ , :[ _b ( ) ^x _b ^x (idem _b ou ~ )

a a b

f g^C a b g a b f o g 



f o



g O 

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V. Compléments

0 0

0

( , ) 0 || ' 0 || 0

( ) 0

tq CV CV UC

CV avec

pm

x

f C f f l l f f f f

f f xf x

    

  





       

 

 



2 2

2 2 2 2

1 ln(( ) ) arctan

( ) 2

1

1 ( ) 2( )

Pratique :

Symétries : Changements de variables Cauchy-Schwarz :

Renforcer la convergence avec IPP Equiv

A

A A

A A

A

y y y

x x x

dx x a

x a b i

x a ib b

t u

f f f g f g

 



   

 

        

    



   



  

(...) ...

alents intégraux IPP

n n

u t u

n









 