Chapitre 7 : Intégration

Intégration

Table des matières

1 Rappels 2

1.1 Intégrale d’une fonction continue sur un segment . . . 2

1.2 Intégrale d’une fonction continue par morceaux . . . 3

2 Intégrales impropres sur un intervalle de type [a,+∞[ ou ]− ∞, b] 4 2.1 Définitions . . . 4

2.2 Intégrales de référence . . . 5

2.3 Critères de comparaison des intégrales de fonctions positives . . . 6

3 Intégrales impropres sur ]− ∞,+∞[ 7 3.1 Définitions . . . 7

3.2 Cas des fonctions paires et des fonctions impaires . . . 8

4 Intégrales impropres sur un intervalle de type [a, b[ ou ]a, b] 9 4.1 Définitions . . . 9

4.2 Intégrales de référence . . . 10

4.3 Critères de comparaison des intégrales de fonctions positives . . . 10

4.4 Cas des fonctions prolongeables par continuité . . . 12

5 Propriétés des intégrales impropres 12 6 Calcul des intégrales impropres 13 6.1 Intégration par parties . . . 13

6.2 Changement de variable . . . 14

6.3 Convergence absolue . . . 14

1 Rappels

1.1 Intégrale d’une fonction continue sur un segment

Définition 1.1 : Intégrale d’une fonction continue sur un segment

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a, b ∈ I. Soit F une primitive de f sur I. L’intégrale def entre aetbest donnée par

Z b a

f(t)dt= [F(t)]^b_t=a=F(b)−F(a).

Remarque 1.2 : Intégrale et primitives La valeur du nombre

Z b a

f(t)dtne dépend pas de la primitive F choisie dans le calcul.

Exemple 1. Pour n∈N, les énoncés des concours utilisent souvent ce résultat : Z 1

0

tⁿdt= 1 n+ 1.

Propriété 1.3 : Propriétés de base

• Soitf une fonction continue sur un intervalleI eta, b∈I. Z a

a

f(t)dt= 0 et Z b

a

f(t)dt=− Z a

b

f(t)dt

• Relation de Chasles : Soitf une fonction continue sur un intervalle I eta, b, c∈I. Z b

a

f(t)dt= Z c

a

f(t)dt+ Z b

c

f(t)dt

• Linéarité de l’intégrale : Soient f etg des fonctions continues sur un intervalleI,a, b, c∈I etλ∈R. Z b

a

(f(t) +g(t))dt= Z b

a

f(t)dt+ Z b

a

g(t)dt et Z b

a

λ f(t)dt=λ Z b

a

f(t)dt

• Cas des fonctions ayant une parité :

— Si f est continue et paire sur [−a, a], Z a

−a

f(t)dt= 2 Z a

0

f(t)dt

— Si f est continue et impaire sur [−a, a], Z a

−af(t)dt= 0

Propriété 1.4 : Résultats liés à la positivité de l’intégrale

Soitf une fonction continue sur un intervalleI eta, b∈I deux réels vérifiant :a≤b.

• Positivité de l’intégrale : Si ∀t∈[a, b], f(t)≥0 alors Z b

a

f(t)dt≥0.

• Croissance de l’intégrale : Si∀t∈[a, b], f(t)≥g(t) alors Z b

a

f(t)dt≥ Z b

a

g(t)dt.

• Intégrales et valeurs absolues :

Z b a

f(t)dt

≤ Z b

a

|f(t)|dt.

• Résultat complémentaire : Sia < b, si f est continue et positive sur [a, b], et si Z b

a

f(t)dt= 0, alorsf est la fonction nulle sur [a, b].

Théorème 1.5 : Convergence des sommes de Riemann Sif est une fonction continue sur [0,1], alors :

1 n

n

X

k=1

f k

n

n→+∞−→

Z 1 0

f(t)dt.

Remarque 1.6 : Résultat invariant par changement d’un nombre fini de termes Ce résultat est aussi valable en remplaçant

n

X

k=1

par

n

X

k=0

, par

n−1

X

k=1

ou encore par

n−1

X

k=0

.

Exemple 2. Calculer la limite de la suite (u_n) définie par u_n=

√1 +√

2 +· · ·+√ n n√

n .

1.2 Intégrale d’une fonction continue par morceaux

Définition 1.7 : Fonction continue par morceaux

La fonctionf est dite continue par morceaux sur l’intervalleI si f est continue surI sauf en un nombre fini de points deI, en lesquels f admet une limite finie à gauche et à droite.

Exemple 3. Soit f la fonction définie sur [−2,3]par :

f(t) =











t+ 1, si t∈[−2,0[, 3t², sit∈[0,1],

−2t, si t∈]1,3].

f est continue par morceaux sur [−2,3].

Exemple 4. La fonction t7→ 1

t n’est pas continue par morceaux sur R^∗ car elle n’admet pas de limite finie à gauche et à droite en0.

Méthode 1.8 : Comment calculer l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment ? On utilise la relation de Chasles pour découper l’intégrale aux points de discontinuité et on se ramène ainsi à plusieurs calculs classiques d’intégrales d’une fonction continue sur un segment.

Exemple 5. Soit f la fonction définie sur [−2,3]par :

f(t) =











t+ 1, si t∈[−2,0[, 3t², sit∈[0,1],

−2t, si t∈]1,3].

On a

Z 3

−2f(t)dt= Z 0

−2(t+ 1) dt+ Z 1

0

3t²dt+ Z 3

1

(−2t)dt=

"

t² 2 +t

#0

−2

+^ht³ⁱ¹

0+^h−t²ⁱ³

1=−7.

2 Intégrales impropres sur un intervalle de type [a, +∞[ ou ] − ∞, b]

Avant toute étude, on écrira :

f est continue sur [a,+∞[, donc l’intégrale Z +∞

a

f(t)dt est impropre en +∞.

2.1 Définitions

Définition 2.1 : Intégrale impropre en +∞

Si f est continue (ou continue par morceaux) sur [a,+∞[ (a ∈ R), on dit que l’intégrale Z +∞

a

f(t)dt converge lorsque

Z x a

f(t)dt admet une limite finie lorsque x tend vers +∞. On a alors : Z +∞

a

f(t)dt= lim

x→+∞

Z x a

f(t)dt.

Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale Z +∞

a

f(t)dt diverge.

Définition 2.2 : Nature d’une intégrale impropre

Étudier la nature d’une intégrale impropre, c’est déterminer si elle converge ou non.

Exemple 6. Déterminer la nature de l’intégrale Z +∞

0

e^−tdt.

Exemple 7. Déterminer la nature de l’intégrale

Z +∞1 t dt.

Définition 2.3 : Intégrale impropre en −∞

Si f est continue (ou continue par morceaux) sur [−∞, b[ (b ∈ R), on dit que l’intégrale Z b

−∞

f(t)dt converge lorsque

Z b x

f(t)dtadmet une limite finie lorsque x tend vers−∞. On a alors : Z b

−∞

f(t)dt= lim

x→−∞

Z b x

f(t)dt.

Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale Z b

−∞f(t)dt diverge.

Exemple 8. Déterminer la nature de l’intégrale Z −1

−∞

1 t² dt.

Méthode 2.4 : Comment étudier la nature d’une intégrale impropre ?

• Sif est continue sur [a,+∞[, pour montrer que Z +∞

a

f(t)dt converge, on montre que Z x

a

f(t)dt a une limite finie quandx tend vers +∞.

• Sif est continue sur ]− ∞, b], pour montrer que Z b

−∞f(t)dt converge, on montre que Z b

x

f(t)dt a une limite finie quandx tend vers−∞.

2.2 Intégrales de référence

Proposition 2.5 : Intégrales de fonctions exponentielles Soitλun réel fixé,

Z +∞

0

e^−λtdt converge ⇔ λ >0.

En cas de convergence, on a :

Z +∞

0

e^−λtdt= 1 λ

Démonstration. On distingue deux cas

• Siλ= 0, pour tout x∈R+

Z x 0

e^−λtdt=x −→

x→+∞+∞.

• Pour toutx∈R+ etλ6= 0, Z x

0

e^−λtdt=

"

−e^−λt λ

#x

t=0

= 1−e^−λx

λ −→

x→+∞





 1

λ, siλ >0, +∞, si λ <0.

On en déduit que l’intégrale converge si et seulement siλ >0.

Proposition 2.6 : Intégrales de Riemann impropres en +∞

Soitα un réel fixé,

Z +∞

1

1

t^α dtconverge ⇔ α >1.

En cas de convergence, on a :

Z +∞

1

1

t^αdt= 1 α−1

Démonstration. On a déjà prouvé que Z +∞

1

1

t dt divergeait. Siα6= 1, pourx≥1 Z x

1

1 t^α dt=

1

(1−α)t^α−1 x

t=1

= x^1−α

(1−α) − 1

(1−α) −→

x→+∞





 1

α−1, siα >1, +∞, si α <1.

On en déduit que l’intégrale converge si et seulement siα >1.

2.3 Critères de comparaison des intégrales de fonctions positives

Proposition 2.7 : Critère de comparaison par équivalence On suppose quef etg sont positives au voisinage de +∞et que

f(t) ∼

+∞g(t),

alors les intégrales Z +∞

a

f(t)dt et Z +∞

a

g(t)dt sont de même nature (i.e. toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes).

Exemple 9. Déterminer la nature de l’intégrale Z +∞

0

t²+ 7 4t³+ 1dt.

Proposition 2.8 : Critère de comparaison par inégalité On suppose quef etg sont telles que, au voisinage de +∞ :

0≤f(t)≤g(t), alors

• si Z +∞

a

g(t)dt converge, alors Z +∞

a

f(t)dt converge.

• si Z +∞

a

f(t)dt diverge, alors Z +∞

a

g(t)dt diverge.

Exemple 10. Déterminer la nature de l’intégrale Z +∞

2

1

t²+t+ 1dt.

Exemple 11. Déterminer la nature de l’intégrale Z +∞

0

e^−t

2 2 dt.

Proposition 2.9 : Critère de comparaison par négligeabilité On suppose quef etg sont positives au voisinage de +∞et que

f(t) =

+∞o(g(t)), alors

• si Z +∞

a

g(t)dt converge, alors Z +∞

a

f(t)dt converge.

• si Z +∞

a

f(t)dt diverge, alors Z +∞

a

g(t)dt diverge.

Exemple 12. Déterminer la nature de l’intégrale Z +∞

1

ln(t) + 2 t+ 1 dt.

Méthode 2.10 : Comment utiliser les critères de comparaison ?

Les critères de comparaison ne permettent que de déterminer la nature d’une intégrale, pas d’en calculer sa valeur.

Remarque 2.11 : Critères de comparaison pour des intégrales impropres en −∞

On adapte les résultats précédents pour des intégrales de la forme Z b

−∞

f(t)dt.

3 Intégrales impropres sur ] − ∞, +∞[

3.1 Définitions

Définition 3.1 : Intégrale deux fois impropre

Sif est continue (ou continue par morceaux) sur Ret cun nombre réel quelconque. On dit que l’intégrale Z +∞

−∞

f(t)dt converge si les deux intégrales Z c

−∞

f(t)dt et Z +∞

c

f(t)dt convergent. On pose alors : Z +∞

−∞ f(t)dt= Z c

−∞f(t)dt+ Z +∞

c

f(t)dt.

Si l’une des deux intégrales Z _c

−∞

f(t)dt ou Z +∞

c

f(t)dtdiverge, on dit que l’intégrale Z +∞

−∞

f(t)dtdiverge.

Remarque 3.2 : Important ! La valeur de

Z +∞

−∞

f(t)dt ne dépend pas de la valeur du point cen lequel on découpe l’intégrale.

Exemple 13. Déterminer la nature de l’intégrale Z +∞

−∞

e^−|t|dt.

3.2 Cas des fonctions paires et des fonctions impaires

Proposition 3.3 : Cas des fonctions paires et des fonctions impaires Soitf une fonction continue (ou continue par morceaux) surR.

• Sif est paire et si Z +∞

0

f(t)dt converge, alors Z +∞

−∞

f(t)dt converge et : Z +∞

−∞

f(t)dt= 2 Z +∞

0

f(t)dt.

• Sif est impaire et si Z +∞

0

f(t)dtconverge, alors Z +∞

−∞ f(t)dt converge et : Z +∞

−∞ f(t)dt= 0.

Remarque 3.4 : Proposition très utile

L’application de la proposition précédente nous aurait épargné la moitié des calculs dans l’exemple précédent.

Exemple 14. Etudier la nature et, en cas de convergence, donner la valeur de l’intégrale Z +∞

−∞

t

t⁴+t²+ 1dt.

Exemple 15. Justifier que l’intégrale Z +∞

−∞

t dt diverge. Que peut-on dire de lim

x→+∞

Z x

−x

t dt?

Remarque 3.5 : Important ! Si

Z x

−x

f(t)dt −→

x→+∞l∈R, on ne peut pas conclure directement que Z +∞

−∞

f(t)dt converge et vaut l.

Théorème 3.6 : Intégrale de Gauss L’intégrale de Gauss

Z +∞

−∞

e^−t

2

2 dt converge et Z +∞

−∞ e^−t

2

2 dt=√ 2π.

4 Intégrales impropres sur un intervalle de type [a, b[ ou ]a, b]

Dans cette section, aetb désignent deux réels tels que a < b.

4.1 Définitions

Définition 4.1 : Intégrale impropre en b

Sif est continue (ou continue par morceaux) sur [a, b[, on dit que l’intégrale Z b

a

f(t)dt converge lorsque Z x

a

f(t)dt admet une limite finie lorsque x tend versb. On a alors : Z b

a

f(t)dt= lim

x→b

Z x a

f(t)dt.

Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale Z b

a

f(t)dt diverge.

Exemple 16. Déterminer la nature de l’intégrale Z 1

0

√ 1

1−tdt.

Définition 4.2 : Intégrale impropre en a

Sif est continue (ou continue par morceaux) sur ]a, b], on dit que l’intégrale Z b

a

f(t)dt converge lorsque Z b

x

f(t)dt admet une limite finie lorsquex tend versa. On a alors : Z b

a

f(t)dt= lim

x→a

Z b x

f(t)dt.

Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale Z b

a

f(t)dt diverge.

Exemple 17. Déterminer la nature de l’intégrale Z 1

0

1 t dt.

Méthode 4.3 : Comment étudier la nature d’une intégrale impropre ?

• Si f est continue sur [a, b[, pour montrer que Z _b

a

f(t)dt converge, on montre que Z _x

a

f(t)dt a une limite finie quandxtend vers b.

• Sif est continue sur ]a, b], pour montrer que Z b

a

f(t)dt converge, on montre que Z b

x

f(t)dta une limite finie quandxtend vers a.

4.2 Intégrales de référence

Proposition 4.4 : Intégrales de Riemann impropres en 0 Soitα un réel fixé.

Z 1 0

1

t^αdt converge ⇔ α <1.

En cas de convergence, on a :

Z 1 0

1

t^αdt= 1 1−α

Démonstration. On a déjà prouvé que Z 1

0

1

t dt divergeait. Siα6= 1, pourx∈]0,1]

Z 1 x

1 t^αdt=

1

(1−α)t^α−1 1

t=x

= 1

(1−α) − 1

(1−α)x^α−1 −→

x→0⁺







+∞, si α >1, 1

1−α, siα <1.

On en déduit que l’intégrale converge si et seulement siα <1.

Proposition 4.5 : Intégrale de fonction logarithmique L’intégrale

Z 1 0

ln(t)dt, impropre en 0, converge et on a : Z 1

0

ln(t)dt=−1.

Démonstration. Pour tout x∈]0,1], Z 1

x

ln(t)dt= [tln(t)]¹_t=x− Z 1

x

t1

t dt=−xln(x)−(1−x) −→

x→0⁺ −1, par croissance comparée.

On en déduit que l’intégrale Z ₁

0

ln(t)dt converge et vaut −1.

4.3 Critères de comparaison des intégrales de fonctions positives

Proposition 4.6 : Critère de comparaison par équivalence

Soientf etg deux fonctions définies sur ]a, b]. On suppose quef et gsont positives au voisinage de aet que

f(t)∼

a g(t), alors les intégrales

Z b a

f(t)dt et Z b

a

g(t)dt sont de même nature (i.e.toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes).

Exemple 18. Déterminer la nature de l’intégrale Z 1

0

2t²+ 7t⁴ t³ dt.

Proposition 4.7 : Critère de comparaison par inégalité

Soientf et gdeux fonctions définies sur ]a, b]. On suppose que f etg sont telles que, au voisinage dea: 0≤f(t)≤g(t),

alors

• si Z b

a

g(t)dt converge, alors Z b

a

f(t)dt converge.

• si Z b

a

f(t)dt diverge, alors Z b

a

g(t)dt diverge.

Exemple 19. Déterminer la nature de l’intégrale Z 1

0

1 t+√

tdt.

Proposition 4.8 : Critère de comparaison par négligeabilité

Soientf etg deux fonctions définies sur ]a, b]. On suppose quef et gsont positives au voisinage de aet que

f(t) =

a o(g(t)), alors

• si Z b

a

g(t)dt converge, alors Z b

a

f(t)dt converge.

• si Z b

a

f(t)dt diverge, alors Z b

a

g(t)dt diverge.

Exemple 20. Déterminer la nature de l’intégrale Z 1

0

ln(t) t dt.

Remarque 4.9 : Critères de comparaison pour des intégrales impropres en b On adapte les résultats précédents pour des intégrales impropres enb.

Définition 4.10 : Intégrale impropre en a et enb

Sif est continue (ou continue par morceaux) sur ]a, b[ et c un nombre réel quelconque dans ]a, b[. On dit que l’intégrale

Z b a

f(t)dt converge si les deux intégrales Z c

a

f(t)dt et Z b

c

f(t)dt convergent. On pose alors :

Z b a

f(t)dt= Z c

a

f(t)dt+ Z b

c

f(t)dt.

Si l’une des deux intégrales Z c

a

f(t)dt ou Z b

c

f(t)dtdiverge, on dit que l’intégrale Z b

a

f(t)dt diverge.

Exemple 21. Déterminer la nature de l’intégrale Z 1

0

1

pt(1−t)dt.

4.4 Cas des fonctions prolongeables par continuité

Proposition 4.11 : Cas des fonctions prolongeables par continuité en a

Sif est continue (ou continue par morceaux) sur ]a, b], on suppose quef est prolongeable par continuité ena. Alors

Z b a

f(t)dt converge et

Z b a

f(t)dt= lim

x→a

Z b x

f(t)dt.

Remarque 4.12 : Intégrale classique

Sif est prolongeable par continuité ena, la fonctionf est donc continue sur [a, b]. L’intégrale Z b

a

f(t)dt n’est donc pas impropre ena: c’est l’intégrale classique d’une fonction continue sur un segment.

Remarque 4.13 : Cas des fonctions prolongeables par continuité enb, voire en a et enb

On adapte le résultat précédent pour des intégrales de fonctions prolongeables par continuité enb, voire à la fois enaet en b.

Exemple 22. Montrer que l’intégrale Z 1

0

tln(t)dt converge et calculer sa valeur.

5 Propriétés des intégrales impropres

Dans cette section, aetb sont tels quea≤bavec éventuellement a=−∞ou b= +∞.

Proposition 5.1 : Linéarité Si les intégrales

Z b a

f(t)dt et Z b

a

g(t)dt convergent, alors pour tout λ, µ∈R, Z b

a

(λf(t) +µg(t))dt converge.

De plus,

Z b a

(λf(t) +µg(t)) dt=λ Z b

a

f(t)dt+µ Z b

a

g(t)dt.

Exemple 23. Les intégrales Z +∞

1

1 t² dt et

Z +∞

1

e^−tdt convergent, alors Z +∞

1

3

t² −2e^−t

dt converge et

Z +∞

1

3

t² −2e^−t

dt= 3 Z +∞

1

1 t² dt−2

Z +∞

1

e^−tdt.

Proposition 5.2 : Relation de Chasles

Soitf une fonction continue sur ]a, b[, et c∈]a, b[. Si l’intégrale Z b

a

f(t)dt converge, alors Z b

a

f(t)dt= Z c

a

f(t)dt+ Z b

c

f(t)dt.

Exemple 24. L’intégrale Z +∞

1

1

t² dt converge et Z +∞

1

1 t² dt=

Z 2 1

1 t² dt+

Z +∞

2

1 t² dt.

Proposition 5.3 : Positivité

Soitf une fonction continue et positive sur ]a, b[ et si l’intégrale Z b

a

f(t)dt converge, alors Z b

a

f(t)dt≥0.

Proposition 5.4 : Croissance

Si pour toutt∈]a, b[, f(t)≥g(t), sif et gsont continues sur ]a, b[ et si les intégrales impropres Z _b

a

f(t)dt et

Z b a

g(t)dt convergent, alors

Z b a

f(t)dt≥ Z b

a

g(t)dt.

Exemple 25. Pour tout t≥1, e^−t t² ≤ 1

t², les intégrales Z +∞

1

e^−t t² dt et

Z +∞

1

1

t²dt convergent et on a Z +∞

1

e^−t t² dt≤

Z +∞

1

1 t²dt.

6 Calcul des intégrales impropres

6.1 Intégration par parties

Méthode 6.1 : Comment intégrer par parties dans une intégrale impropre ?

On ne procède pas à une intégration par parties directement dans une intégrale impropre. On se ramène à une intégrale définie sur un segment et on passe ensuite à la limite.

Exemple 26. Déterminer la nature de l’intégrale Z +∞

0

te^−tdt.

6.2 Changement de variable

Méthode 6.2 : Comment faire un changement de variable dans une intégrale impropre ?

On ne procède pas à un changement de variable directement dans une intégrale impropre. On se ramène à une intégrale définie sur un segment et on passe ensuite à la limite.

Exemple 27. Déterminer la nature de l’intégrale Z e

1

1

t(1−ln(t))²dt.

Remarque 6.3 : Changement de variable affine

Seuls les changements de variables affines pourront être utilisés directement sur des intégrales sur un intervalle quelconque.

Exemple 28. Montrer que l’intégrale Z +∞

−∞

e^−t2dt converge et calculer sa valeur.

6.3 Convergence absolue

Définition 6.4 : Convergence absolue L’intégrale

Z b a

f(t)dt est absolument convergente si Z b

a

|f(t)|dt converge.

Proposition 6.5 : Convergence absolue implique convergence Toute intégrale absolument convergente est convergente.

Exemple 29. Comme Z +∞

1

(−1)^btc t²

dt= Z +∞

1

1

t² dtconverge, on en conclut que Z +∞

1

(−1)^btc

t² dt converge.

Remarque 6.6 : Attention !

Cependant, la réciproque est fausse. Par exemple, Z +∞

1

(−1)^btc

t dt converge mais Z +∞

1

1

t dt diverge.

Proposition 6.7 : Inégalité triangulaire Si l’intégrale

Z b a

f(t)dt est absolument convergente, et sia≤b, alors :

Z b a

f(t)dt

≤ Z b

a

|f(t)|dt.