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Chapitre IX : INTÉGRATION
I - Intégrale d’une fonction continue et positive
1) Définition et notations
Définition 1 : Soit une fonction continue et positive sur un intervalle [; ] et la courbe représentative de dans un repère orthonormé (; , ). On appelle intégrale de sur [; ], et on note ()d , l’aire (), en unités d’aires, de la partie du plan délimitée par la courbe et l’axe des abscisses d’une part, les droites verticales d’équations = et = d’autre part.
Remarques :
1) Dans la notation ()d :
• et sont appelées les bornes de l’intégrale
• la variable est dite « muette », autrement dit, elle n’intervient pas dans le résultat : ()d
= ()d
= ()d
= ⋯
2) Si = , on convient que ()d = 0. Exemples :
1) Calculer ()d où est la fonction définie sur [1; 4] par () = 2.
2) Calculer ()d$% où est la fonction définie sur [−2; 4] par () =% + 1. 2) Une fonction ayant pour dérivée
Théorème 1 : Soit une fonction continue et positive sur un intervalle [; ].
La fonction ( définie sur [; ] par (() = ()d) est dérivable sur [; ] et a pour dérivée . Exemple :
Reprenons la fonction définie sur [−2; 4] par () =% + 1 et calculons (() = ()d$%) où est un réel appartenant à l’intervalle [−2; 4].
II - Primitives d’une fonction continue
1) Définition et premières propriétés
Définition 2 : Soit une fonction continue sur un intervalle *. On appelle primitive de toute fonction ( dérivable sur * telle que (’ = .
Exemple : Soit la fonction définie sur ℝ par () = 2 + 1.
La fonction ( définie sur ℝ par (() = ……….. est une primitive de sur ℝ. La fonction - définie sur ℝ par -() = ……….. en est une également.
Remarque : On dit « la » dérivée de mais « une » primitive de .
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Propriété 1 : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Remarque : La fonction ( définie dans le théorème 1 est la primitive de qui s’annule en . Propriété 2 : Soit une fonction continue sur un intervalle * et ( une primitive de sur *.
Toute fonction - définie sur * par -() = (() + . où . est une constante réelle est également une primitive de sur *.
On énonce la réciproque de la propriété 2 :
Propriété 3 : Soit une fonction continue sur un intervalle *.
Si ( et - sont deux primitives de sur *, alors il existe un réel . tel que, pour tout réel appartenant à *, (() = -() + ..
Autrement dit : Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
Conséquence : Soit une fonction continue sur un intervalle * et ( une primitive de sur *. L’ensemble de toutes les primitives de sur * est l’ensemble des fonctions de la forme ( + . où . est une constante réelle.
Exemple : Soit la fonction définie sur ℝ par () = 3%− 2 + 4.
Une primitive de est la fonction ( définie sur ℝ par (() =………..
Les primitives de sur ℝ sont les fonctions de la forme : -() =………
2) Primitives des fonctions usuelles
Fonction Une primitive ( Domaine de validité
↦ . (où . ∈ ℝ) ↦
↦ 2 ( 3 ∈ ℤ, 3 ≠ −1) ↦ ↦ 1
2√ ↦
↦1
↦
↦ e) ↦
↦ sin ↦
↦ cos ↦
3 3) Primitives de fonctions composées
On déduit le tableau suivant des règles de dérivation des fonctions composées.
Dans toute la suite, désigne une fonction dérivable sur un intervalle *, de dérivée ’ supposée continue sur *.
Fonction Une primitive ( Hypothèses
′ × 2 ( 3 ∈ ℕ)
@A
@B ( 3 ∈ ℕ, 3 ≥ 2)
′
√
′
′e@
′ sin
′ cos
Remarque : Les deux cas de la quatrième fonction peuvent se résumer de la manière suivante : Si est une fonction continue qui ne s’annule pas sur *, une primitive de @D
@ est la fonction ln||. Exemples :
1) Déterminer une primitive sur ℝ de la fonction : ↦ 3%(H − 1) 2) Déterminer une primitive sur ]0; 1[ de la fonction : ↦)I)$
4) Calcul d’intégrales
Propriété 4 : Soit une fonction continue et positive sur un intervalle [; ]. Si ( est une primitive de sur [; ], alors on a l’égalité :
()d
= (() − (()
Notation : On écrit fréquemment :
d
= ( = ( − ( Exemple : Calculer l’intégrale eJH )+ %− 1d
4 III - Calcul de l’intégrale d’une fonction continue
L’intégrale d’une fonction continue et positive a déjà été définie. Nous nous intéressons maintenant aux fonctions continues de signe quelconque.
1) Calcul à l’aide d’une primitive
Théorème 2 : Soit une fonction continue sur un intervalle * et soient et deux réels de *. Pour toute primitive ( de , on a l’égalité :
()d
= (() − (()
Remarques :
1) Si = , ()d = (() − (() = 0
2) ()d = (() − (() = −K(() − (()L = − ()d
3) Soit - une autre primitive de sur *, alors, d’après la propriété 3, il existe un réel . tel que, pour tout ∈ *, -() = (() + ..
On en déduit que -() − -() = ((() + .) − ((() + .) = (() − (() : l’intégrale de ne dépend donc pas de la primitive choisie.
2) Relation de CHASLES
Propriété 5 : Soit une fonction continue sur un intervalle *. Pour tous réels , et M de * :
d
= dN
+ d
N
3) Calcul d’aires
• Cas d’une fonction positive
Si est une fonction continue et positive sur un intervalle ; , alors on a déjà vu que d est l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe de sur ; .
• Cas d’une fonction négative
Si est une fonction continue et négative sur un intervalle ; : On considère O = − et - = −( une de ses primitives, alors on a l’égalité :
d = ( − ( = −K- − -L = − Od Dans ce cas, d est l’opposé de l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe de sur ; .
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• Cas d’une fonction de signe quelconque
Si est une fonction continue sur un intervalle ; , l’intégrale d est la somme des aires algébriques des domaines sur lesquels est de signe constant.
Autrement dit, si P est la somme des aires entre et l’axe des abscisses sur les intervalles où est positive et P% la somme des aires entre et l’axe des abscisses sur les intervalles où est négative, alors : d
= P − P%.
Sur l’exemple ci-contre :
()d
= ()d)Q
+ ()d)I
)Q
+ ()d
)I
= R − R%+ RH = (R + RH) − R%
IV - Propriété de l’intégrale – Valeur moyenne
1) Linéarité, positivité et ordre
Propriété 6 : Soient et O deux fonctions continues sur un intervalle *, et deux réels de * et . un nombre réel quelconque.
Les propriétés de linéarité de l’intégrale s’énoncent de la façon suivante : 1) .()d
= . ()d
2) (() + O())d
= ()d
+ O()d
Exemple d’utilisation de la linéarité :
Notons * = cos ²() dJ%T et U = sin ²() dJ%T 1) Calculer * + U.
2) Calculer * − U.
3) En déduire les valeurs de * et U sans chercher de primitive des fonctions ↦ cos ²() et ↦ sin ²().
6 Propriété 7 :
Soient et O deux fonctions continues sur un intervalle *, et et deux réels de * tels que V ≤ X. 1) Si est positive sur [; ], alors ()d
≥ 0 2) Si () ≤ O() sur [; ], alors ()d
≤ O()d
3) Si ` et a sont deux réels tels que ` ≤ () ≤ a sur [; ], alors ∶ `( − ) ≤ ()d
≤ a( − )
Exemple d’application (recherche d’encadrement d’intégrale) :
Soit * = 1 1 + √d
f
1) Démontrer que pour tout ∈ [4; 5] :
1 + ≤1 1
1 + √≤1 3 2) En déduire un encadrement de l’intégrale *.
2) Valeur moyenne
Définition 3 : Soit une fonction continue sur un intervalle [; ] avec V ≠ X. On appelle valeur moyenne de sur [; ] le réel noté h défini par :
h = 1
− ()d
Remarque : Le point 3) de la propriété 7 permet de donner l’encadrement suivant : Si ` et a sont deux réels tels que ` ≤ () ≤ a sur [; ], alors
` ≤ 1
− ()d
≤ a ⇔ ` ≤ h ≤ a
Exemple :
En sciences physiques, la vitesse moyenne d’un mobile lors d’un mouvement uniformément accéléré entre les instants et % est donnée par la valeur moyenne de sa vitesse :
1
%− j()dkI
kQ
