Chapitre 7

Chapitre 7

Extensions de corps et théorie de Galois

Version corrigée du 30 novembre 2004

Dans les chapitres précédents, les corps sont apparus comme des anneaux très simples (pas d’idéaux propres non nuls, modules se réduisant aux espaces vectoriels, qui sont classifiés par leur dimension, etc.) et on ne s’est pas intéressé à eux. Dans ce chapitre et les suivants, on va étudier les extensions de corps, c.-à-d., la donnée d’une paire de corps k ⊂ K. Essentiellement, ceci revient à étudier K non seulement comme corps, mais aussi comme k-algèbre. Ceci donne lieu à une théorie très riche.

Bien sûr, on pourrait étudier de même, de façon plus générale, les ex- tensions d’anneaux A ⊂ B, mais ceci est en général trop compliqué et in- abordable. On verra toutefois que l’étude des extensions de corps permet d’obtenir des informations importantes sur certaines extensions d’anneaux.

7.1 Sous-corps premier et caractéristique

7.1.1 Les corps fondamentaux Q et F_p

Il y a deux exemples fondamentaux de corps. D’une part, le corps des rationnelsQ, qui est le corps des fractions deZ. D’autre part, les corps finis F_p, où p∈Z est un nombre premier≥2. Ils sont construits comme suit.

Définition 7.1.1 Soit p≥2un nombre premier. On note F_p l’anneau quo- tientZ/pZ. C’est un corps car l’idéalpZest maximal, puisqueZest principal etp irréductible.

Remarque 7.1.1 De façon équivalente, mais plus concrète, le fait queZ/(p) soit un corps résulte du théorème de Bezout. En effet, soita∈Znon divisible parp. Comme l’idéal engendré par a et p est Z, il existe α, β ∈ Z tels que αa+βb = 1. Alors, les classes de α et a modulo p sont inverses l’une de l’autre.

En pratique, on peut trouver explicitement les “coefficients de Bezout"

α et β (et donc l’inverse α de a modulo p), par la méthode des divisions successives.

Exemple 7.1.1 1) Prenonsp= 37eta= 7. Alors

½ 37 = 5×7 + 2

3×2 + 1 = 7, d’où

½ 3·37 = 15×7 + 3×2 3×2 + 1 = 7,

et16·7−3·37 = 1. Donc l’inverse de 7 mod.37 est16.

2) Prenons p= 167 eta= 17. Alors









167 = 9×17 + 14 14 + 3 = 17

14 = 4×3 + 2 1 + 2 = 3,

d’où





14 + 1 = 5×3, 6×14 + 1 = 5×17,

6×167 + 1 = (6·9 + 5)×17.

Donc1 = 59·17−6·167et59 est l’inverse de17 modulo167.

7.1.2 Sous-corps premier et caractéristique

Remarque 7.1.2 Soit K un corps et (K_i)_i∈I une famille quelconque de sous-corps de K, où I est un ensemble non-vide. On voit facilement que l’intersection desK_i est un sous-corps de K.

Définition 7.1.2 SoitK un corps et soitSune partie non-vide deK. L’en- semble des sous-corps deK contenantS est non-vide (car il contientK) et donc l’intersection de tous ces sous-corps est un sous-corps deK, qui est le plus petit sous-corps contenantS. On l’appelle le sous-corps engendré parS.

Définition 7.1.3 Le sous-corps deKengendré par l’élément unité1_K s’ap- pelle le sous-corps premier deK. Il est contenu dans tout sous-corps deK.

Remarque 7.1.3 (Facile mais importante) SoientK etK⁰ deux corps.

Tout morphisme d’anneaux φ : K → K⁰ est un morphisme de corps, car l’égalité

1 =φ(1) =φ(xx⁻¹) =φ(x)φ(x⁻¹)

entraîne queφ(x⁻¹) =φ(x)⁻¹ pour toutx∈K\ {0}. De plus, φest injectif carkerφ, étant un idéal propre deK (carφ(1) = 1), est nécessairement égal à (0).

Proposition 7.1.1 (Sous-corps premier et caractéristique)

Soit K un corps arbitraire. Le sous-corps de K engendré par 1 est iso- morphe soit à Q, soit à F_p, pour un nombre premier p ≥ 2 uniquement déterminé. On dit que la caractéristique de K est 0 dans le premier cas, et p dans le second cas. De façon plus précise, la caractéristique de K est le générateur ≥0 du noyau du morphisme Z→K, n7→n·1_K.

Démonstration. Comme K est un groupe abélien, c’est un Z-module, pour l’action définie, pour tout n≥0 et x ∈K, par n·x =x+· · ·+x (n fois), et(−n)·x=n·(−x). De plus, le morphisme de Z-modulesφ:Z→K, n 7→ n·1_K est un morphisme d’anneaux, puisque la distributivité de la multiplication dans K entraîne :

(m·1_K)(n·1_K) = (1 +· · ·+ 1)(1 +· · ·+ 1) = (mn)·1_K.

Observons aussi que kerφ est un idéal premier de Z, puisque Z/kerφ est isomorphe à un sous-anneau de K, donc intègre. Par conséquent, de deux choses l’une.

1) Si kerφ = (0), on peut identifier Z à son image Z1_K. Comme tout élément de φ(Z\ {0}) est inversible dansK, alors φse prolonge en un mor- phisme d’anneaux ψ : Q → K, nécessairement injectif puisque Q est un corps. De plus, tout sous-corps deK contient1_K, les élémentsn·1_K et leurs inverses. Ceci montre que le sous-corps premier deK estψ(Q), isomorphe à Q. Dans ce cas, on identifieraQà son image dans K :

Q={x∈K | ∃n, m∈Z, n6= 0, tels quenx=m1_K}.

2) Si kerφ6= (0), alors kerφ= (p), où p est un nombre premier ≥ 2. Dans ce cas, φ induit un isomorphisme de F_p sur son image, qui est formée des éléments n1_K pour 0 ≤n < p. Ceci montre que, dans ce cas, le sous-corps premier deK est formé des élémentsn1_K pour0≤n < p; on l’identifiera à F_p. La proposition est démontrée. ¤

NotationLa caractéristique de K est notée car(K).

7.2 Extensions, éléments algébriques ou transcen- dants, degré

7.2.1 Généralités sur les extensions

Soitk⊂Kune extension de corps. (On dira aussi queK est un surcorps dek.) AlorsKest unek-algèbre et donc, en particulier, unk-espace vectoriel.

Définition 7.2.1 (Sous-corps engendré surk) Soit S une partie de K.

L’ensemble des sous-corps deK contenantketSest non-vide (car il contient K) et donc l’intersection de tous ces sous-corps est un sous-corps de K, qui est le plus petit sous-corps contenant k et S. On l’appelle le sous- corps engendré parS sur k et on le note k(S), ou k(x₁, . . . , x_n) si S = {x₁, . . . , x_n}.

Remarque 7.2.1 Dans la définition précédente, on peut bien entendu sup- poser queS⊆K\k.

Lemme 7.2.1 Soit K un surcorps de k et I, J deux parties de K. Alors k(I)(J) =k(I∪J).

Démonstration.k(I)(J)contientI∪J et donck(I∪J). Réciproquement, k(I∪J) contientk(I) etJ, donc k(I)(J). Ceci prouve le lemme. ¤

Définition 7.2.2 On dit que k⊂K est une extension de type fini siK est engendré comme surcorps de k par un nombre fini d’éléments, c.-à-d., s’il existex₁, . . . , x_n∈K tels que K=k(x₁, . . . , x_n).

Remarque 7.2.2 Il résulte du lemme précédent que

k(x₁, . . . , x_n) =k(x₁)(x₂, . . . , x_n) =k(x₁, . . . , x_n−1)(x_n).

Dans la suite, on aura besoin de la notion suivante.

Définition 7.2.3 Soient K et K⁰ deux extensions de k. On dira que K et K⁰ sont k-isomorphes s’il existe un isomorphismeφ:K →^∼ K⁰ (de corps ou d’anneaux ; on a vu que c’était la même chose) tel queφ(λ) = λ pour tout λ∈k. Ceci équivaut à dire que φest un isomorphisme dek-algèbres.

7.2.2 Éléments algébriques ou bien transcendants Soitk⊂K une extension de corps.

Notation Pour α ∈ K, on introduit les notations suivantes. Soit k[α] la sous-k-algèbre deK engendrée parα, soitφ_α :k[X]→K le morphisme dek- algèbres défini parφ_α(X) =α, et soitI_α = kerφ_α. On aφ_α(P) =P(α)∈K pour tout P ∈k[X], et l’image deφ_α estk[α].

Définition 7.2.4 (Éléments algébriques ou transcendants)

1) On dit que α est algébrique sur k s’il existe Q ∈ k[X]\ {0} tel que Q(α) = 0, c.-à-d., siI_α 6= (0). Dans ce cas,I_α = (P), oùP est l’unique poly- nôme unitaire de degré minimal dansI_α; ce polynôme est appelépolynôme minimal deαsurk. On le notera parfoisIrr_k(x). Son degré s’appelledegré de x sur ket se notedeg_k(x).

2) Dans le cas contraire, c.-à-d., siI_α = (0), on dit queαest transcendant sur k.

Remarque 7.2.3 Bien sûr, si α ∈ k il est algébrique sur k, de polynôme minimalX−α. Dans la suite, on supposera toujours que les éléments deK que l’on considère ne sont pas dans k.

Théorème 7.2.2 (Le sous-corps k(x), pour x algébrique ou bien transcendant)

1) Supposonsx algébrique sur k. Alors Irr_k(x) est irréductible et l’on a (∗) k[X]/(Irr_k(x))→^∼ k[x] =k(x).

Par conséquent, les éléments 1, x, . . . , x^d−1, où d = deg_k(x), forment une base de k(x) sur k. En particulier, dim_kk(x) =d.

2) Siα est transcendant surk, alors l’injection φ_α :k[X]→K induit un k-isomorphisme k(X)→^∼ k(α). En particulier, dim_kk(α) = +∞.

Démonstration. 1) k[X]/I_x est intègre car isomorphe à k[x], la sous-k- algèbre de K engendrée par x. Ainsi, I_x = (Irr_k(x)) est premier. D’après le lemme 5.3.4 et la proposition 5.3.5, Irr_k(x) est irréductible et engendre un idéal maximal de k[X]. Donc, A := k[X]/(Irr_k(x)) est un corps. Par conséquent, son image parφ_x, qui est k[x], égale le corpsk(x)engendré par x. Ceci prouve (∗). Comme les images de 1, . . . , X^d−1 forment une base de A surk, la dernière assertion de 1) en découle.

2) Supposonsαtranscendant, c.-à-d.,φ_α :k[X]→K injectif. Alors, tout élément de φ(k[X]\ {0}) est inversible dansK, et doncφse prolonge en un

morphisme d’anneaux ψ:k(X)→K, nécessairement injectif puisque k(X) est un corps. L’image deψ est formée des fractions

½P(α)

Q(α) |P, Q∈k[X], Q6= 0

¾

;

c’est le sous-corpsk(α), qui est donc isomorphe àk(X).¤

Remarque 7.2.4 Écrivons Irr_k(x) = x^d+a₁x^d−1+· · ·+a_d et observons quea_d6= 0 puisque Irr_k(x) est irréductible. Alors l’inverse de xest égal à

(x^d+a₁x^d−2+· · ·+a_d−1)a⁻¹_d .

D’autre part, le fait que, dans ce cas, k[x] coïncide avec k(x) est un cas particulier du lemme suivant.

Lemme 7.2.3 SoitAune k-algèbre commutative intègre de dimension finie sur k. Alors A est un corps.

Démonstration.Soitx∈A\{0}. La multiplication parxest un endomor- phismek-linéaire injectif de A, donc surjectif (puisque dim_kA < ∞). Donc il existe x⁰ ∈A tel que xx⁰ = 1, et x⁰ est l’inverse de x. Ceci montre queA est un corps.¤

7.2.3 Degré d’une extension

On a vu plus haut que si K =k(x), où x est un élément algébrique sur k, alorsdim_kK = deg_k(x). Ceci explique la terminologie introduite dans la définition suivante.

Définition 7.2.5 Soit k ⊂ K une extension de corps ; dim_kK s’appelle degré deK sur k et se note[K:k]. C’est un élément deN∪ {+∞}.

Proposition 7.2.4 (Multiplicativité des degrés)

Soient k⊂K ⊂L des extensions de corps. On a[L:k] = [L:K][K :k].

Démonstration.Si l’un de[L:K]ou[K :k]égale+∞, il en est de même de [L : k]. On peut donc supposer [L : K] = m et [K : k] = n. Soient (`<sub>1</sub>, . . . , `_m) une base deLsurK et(x₁, . . . , x_n) une base deK surk. Alors tout élément de`∈L s’écrit de façon unique

`=k<sub>1</sub>`₁+· · ·+k_m`_m

avec les k_i dansK, et chaquek_i s’écrit de façon unique k_i =a_i,1x₁+· · ·+a_i,nx_n,

avec les a_i,j ∈k. Il en résulte que`s’écrit de façon unique

`= X

1≤i≤m 1≤j≤n

a_i,jx_j`_i.

Ceci montre que les produitsx_j`_iforment une base deLsurk, d’oùdim_kL= mn.¤

Définition 7.2.6 Soitk⊂K une extension de corps. On dit quek⊂K est une extension algébrique si tout élément de K est algébrique sur k.

Proposition 7.2.5 Soit k⊂K une extension de corps.

1) Si [K :k]< +∞, alors K est une extension algébrique de k de type fini.

2) Si K est engendré sur k par des éléments x₁, . . . , x_n, chacun étant algébrique de degré d_i, alors [K:k]≤d₁· · ·d_n.

Démonstration.1)est facile. En effet, supposons[K:k]<∞. Alors, tout élément deK est algébrique sur k, d’après le point 2) du théorème 7.2.2. De plus, toute base de K sur k est un système fini de générateurs deK sur k.

Ceci prouve 1).

2) SupposonsKengendré surkpar des élémentsx₁, . . . , x_n, où chaquex_i est de degréd_i. Soitφ:k[X₁, . . . , X_n]→Kle morphisme dek-algèbres défini parφ(X_i) =x_i, pouri= 1, . . . , n; on aφ(P) =P(x₁, . . . , x_n)∈Kpour tout P ∈k[X₁, . . . , X_n]. L’image deφ estA:=k[x₁, . . . , x_n], la sous-kalgèbre de K engendré par lesx_i. Comme chaque monômexⁿ_i est combinaisonk-linéaire des monômes x^r_i, avec 0 ≤ r < d_i, on en déduit que A est engendrée sur k par les monômes

x^r₁¹· · ·x^r_nⁿ,

où r_i < d_i pour tout i. Par conséquent, A est une k-algèbre de dimension finie ≤ d₁· · ·d_n. De plus, A est intègre, puisque contenue dans K. D’après le lemme 7.2.3, Aest un corps. Donc Aest le sous-corpsk(x₁, . . . , x_n) deK engendré par les x_i; par hypothèse, c’est K lui-même. Donc K =A est de dimension≤d₁· · ·d_n surk. La proposition est démontrée. ¤

Corollaire 7.2.6 Une extension de corps k ⊂ K est de degré fini ssi elle est algébrique et de type fini.

Dans toute la suite, on ne s’intéressera qu’aux extensions de degré fini.

7.3 Corps de rupture et corps de décomposition

7.3.1 Corps de rupture d’un polynôme

Théorème 7.3.1 (Corps de rupture d’un polynôme irréductible) Soientkun corps et P ∈k[X]un polynôme unitaire irréductible de degré

≥2. Alors K := k[X]/(P) est un surcorps de k dans lequel P a au moins une racine, à savoir l’imagex deX. On l’appelle le corps de rupture de P sur k.

Le couple (K, x) vérifie la propriété universelle suivante : pour toute ex- tensionk⊂L telle que P admette dans L une racine α, il existe un unique k-morphismeψ:K →L tel que ψ(x) =α; son image est le sous-corps k[α]

deL. En particulier, ψ est un isomorphisme si L=k[α].

Démonstration.On a déjà vu que (P) est un idéal maximal, doncK est un corps. Notantxl’image de X dansK, on aP(x) = 0et doncx∈K est bien une racine deP.

Soitk⊂Lune extension telle queP admette dansLune racineα. Alors Irr_k(α)diviseP, donc lui est égal puisqueP est irréductible et unitaire. Par conséquent, le morphisme de k-algèbres φ:k[X]→ L défini par φ(X) =α induit un isomorphismeψ:K→Ltel queψ(x) =α. De plus, ce morphisme est unique, puisque K = k[x] est engendré comme k-algèbre par x. Ceci prouve le théorème.¤

Exemple 7.3.1 R[X]/(X²+ 1)∼=C. Plus généralement, montrer que pour tout binômeP =X²+bX+ctel que∆ :=b²−4csoit<0, le corpsR[X]/(P) est isomorphe àC.

Remarque 7.3.1 L’exercice ci-dessus montre que des polynômes différents peuvent avoir des corps de rupture isomorphes.

Définition 7.3.1 SoitP ∈k[X]irréductible. Il est commode de dire qu’une extensionK de kest un corps de rupture deP sur ksi K∼=k[X]/(P).

Proposition 7.3.2 Soit k⊂K une extension telle que K =k(α), où α est une racine deP. Alors K est un corps de rupture de P sur k.

Démonstration.D’après le théorème, il existe un (unique) isomorphisme de k[X]/(P) sur le sous-corps de K engendré par α, envoyant x sur α. La proposition en résulte.¤

Exemple 7.3.2 Soientk =Qet P =X³−2. Alors P est irréductible sur Q, car il n’a pas de racine dans Q. Notons √³

2 la racine cubique réelle de 2 et j= exp(2iπ/3),j² = exp(4iπ/3) les racines primitives de l’unité d’ordre 3 dans C. Les racines de P dans C sont √³

2, j√³

2 et j²√³

2 et chacun des sous-corps suivants de C:

Q[√³

2], Q[j√³

2], Q[j²√³ 2]

est un corps de rupture de P. Bien que Q-isomorphes, ces trois sous-corps de Csont deux à deux distincts. En effet, Q[√³

2] est contenu dans R, donc distinct des deux autres. Si l’on avait Q[j√³

2] = Q[j²√³

2], alors ce corps, disons K, contiendraitj et donc √³

2, donc contiendrait Q[√³

2]. Comme ces deux corps sont de même dimensiondegP = 3surQ, on auraitQ[√³

2] =K, ce qui n’est pas le cas.

7.3.2 Corps de décomposition d’un polynôme

Définition 7.3.2 SoitP ∈k[X]un polynôme de degrén≥1. On dit qu’une extensionK dekest uncorps de décomposition deP sur ksi elle vérifie les deux conditions suivantes :

1) P a toutes ses racines dansK, c.-à-d., si P se décompose dansK[X]

comme un produit de facteurs linéaires : P =a

Yd

i=1

(X−α_n),

où a est le coefficient dominant deP, etα₁, . . . , α_n ∈K sont les racines de P, comptées avec leur multiplicité (c.-à-d., non nécessairement distinctes),

2) K est engendré sur k parα₁, . . . , α_n, c.-à-d., K =k(α₁, . . . , α_n). En particulier, K est de degré fini sur k, d’après la proposition 7.2.5.

Théorème 7.3.3 (Corps de décomposition d’un polynôme)

Pour chaque corps k, tout P ∈k[X] de degré n≥ 1 admet un corps de décomposition sur k, est unique à k-isomorphisme près.

Démonstration. On va démontrer l’existence par récurrence sur n = degP. Si n = 1, alors P = aX +b = a(X −b/a) et k est un corps de décomposition de P. Supposonsn≥2 et le théorème établi pour tout corps et tout polynôme de degré < n, et soit P ∈k[X]de degrén.

SoitSun facteur irréductible deP et soitk₁ =k(α)un corps de rupture deP. Alors, dansk₁[X], on aP = (X−α)Q, avecQ∈k₁[X]de degrén−1.

Par hypothèse de récurrence, il existe une extensionk₁ ⊂K dans laquelle Q a des racinesα₂, . . . , α_net telle queK=k₁(α₂, . . . , α_n). Alors,α, α₂, . . . , α_n sont les racines deP dansK, etK est engendré surkpar ces élements. Ceci termine la récurrence et montre l’existence d’un corps de décomposition.¤ Pour démontrerl’unicité, on aura besoin d’établir le théorème plus géné- ral, et très important, qui va suivre. Commençons par le lemme ci-dessous.

Lemme 7.3.4 Soit τ :K →^∼ K⁰ un isomorphisme de corps. Alors τ induit un isomorphisme d’anneaux

φ_τ :K[X]→^∼ K⁰[X], X

i

a_iXⁱ 7→X

i

τ(a_i)Xⁱ, (∗) qu’on notera encore τ. De plus, pour tout P ∈ K[X], τ induit un isomor- phisme d’anneaux

K[X]/(P)→^∼ K⁰[X]/(τ(P)).

Démonstration. L’isomorphisme τ : K →^∼ K⁰ munit K⁰, et donc aussi K⁰[X], d’une structure de K-algèbre. D’après la propriété universelle de K[X], il existe un unique morphisme deK-algèbres φ_τ :K[X]→K⁰[X]tel queφ_τ(X) =X. On vérifie facilement queφ_τ est donné explicitement par la formule(∗)ci-dessus. On obtient de même que l’isomorphismeτ⁻¹ :K^{0 ∼}→K induit un morphisme

φ_τ−1 :K⁰[X]→^∼ K[X], X

i

a_iXⁱ7→X

i

τ⁻¹(a_i)Xⁱ,

et il est alors clair que φ_τ etφ_τ⁻¹ sont inverses l’un de l’autre. Ceci prouve la 1ère assertion.

Enfin, pour toutP ∈K[X], il est clair queφ_τ etφ_τ−1 induisent des bijec- tions réciproques entre les idéaux (P) et (τ(P)), et donc entre les anneaux quotientsK[X]/(P) etK⁰[X]/(τ(P)). Ceci prouve le lemme. ¤

Théorème 7.3.5 (1er théorème fondamental)

Soient τ :K →^∼ K⁰ un isomorphisme de corps,P ∈K[X]de degré n≥1 et L, resp. L⁰, un corps de décomposition de P, resp. de τ(P). Il existe un isomorphisme σ:L→^∼ L⁰ tel que σ|_K =τ.

Avant de démontrer ce théorème, observons que le cas particulier K = K⁰=ketτ =id_K, fournit l’unicité du corps de décomposition :

Corollaire 7.3.6 Soit P ∈ k[X] de degré ≥ 1. Le corps de décomposition deP sur k est unique, àk-isomorphisme près.

Démonstration.Démontrons maintenant le théorème 7.3.5 par récurrence sur le nombre m de racines de P qui sont dans L mais pas dans K.

Sans perte de généralité, on peut supposerP unitaire. Sim= 0, alors P = (X−λ₁)· · ·(X−λ_n),

avec les λ_i dansK. Dans ce cas,L=K et

τ(P) = (X−τ(λ₁))· · ·(X−τ(λ_n)), avec τ(λ_i)∈K⁰, doncL⁰=K⁰ et l’on peut prendre σ =τ.

Supposonsm >0et le théorème établi pour toutm⁰ < m. SoitP ∈K[X]

ayant exactement mracines dans L\K, et soit

P =P₁· · ·P_r (1)

sa décomposition en facteurs irréductibles dans K[X]. Comme m >0, l’un au moins de ces facteurs, disons P₁, est de degré ≥ 2 et n’a pas de racines dansK.

Par hypothèse, P se scinde dans L[X]comme produit de facteurs (irré- ductibles !) de degré1. CommeL[X]est factoriel, l’unicité d’une telle décom- position entraîne que chaque P_i est un produit de certains de ces facteurs linéaires. En particulier, P₁ a toutes ses racines dansL. Soit α l’une d’elles.

D’après la proposition 7.3.2, on a un K-isomorphisme

ψ:K[X]/(P₁)→^∼ K[α]. (2) D’autre part,

τ(P) =τ(P₁)· · ·τ(P_r), (1⁰) et, par le même argument que précédemment, chaque τ(P_i) a toutes ses racines dans L⁰. Soit β une racine de τ(P₁) dansL⁰. D’après la proposition 7.3.2, à nouveau, on a un K⁰-isomorphisme

ψ⁰ :K⁰[X]/(τ(P₁))→^∼ K⁰[β]. (2⁰) De plus, d’après le lemme précédent, on a un isomorphisme

φ_τ :K[X]/(P₁)→^∼ K⁰[X]/(τ(P₁))

qui prolonge τ :K →^∼ K⁰. Posons K₁ = K[α] et K₁⁰ = K⁰[β]. Alors, τ₁ :=

ψ⁰◦φ_τ ◦ψ⁻¹ est un isomorphisme K₁ →^∼ K₁⁰ qui prolonge τ. On a donc le diagramme suivant :

K ⊂ K₁ ⊂ L

τ



y∼= τ₁

 y∼=

K⁰ ⊂ K₁⁰ ⊂ L⁰.

Maintenant, L (resp. L⁰) est un corps de décomposition sur K₁ (resp. sur K₁⁰) de notre polynômeP (resp. deτ(P)), et le nombre de racines deP dans L\K₁est< m. Donc, par hypothèse de récurrence, il existe un isomorphisme σ:L→^∼ L⁰ tel queσ|_K1 =τ₁. Par conséquent, σ|_K =τ₁|_K =τ. Ceci achève la preuve du théorème.¤

Définition 7.3.3 On dit que l’extension k ⊂ K est quasi-galoisienne, ou normale, si elle est algébrique et vérifie la propriété suivante : pour tout α∈K, le polynôme minimal Irr_k(α) a toutes ses racines dansK.

Proposition 7.3.7 Soit P ∈k[X]de degré n≥1 et K un corps de décom- position deP sur k. L’extensionk⊂K est quasi-galoisienne.

Démonstration. Soit α ∈ K et soit S = Irr_k(α) son polynôme minimal surk. Soit Lun corps de décomposition sur K deS. AlorsP S a toutes ses racines dansLet celles-ci engendrentLsurk. Par conséquent,Lest un corps de décomposition deP S sur k.

Soit β une racine de S dans L. D’après le théorème 7.3.1, il existe un (unique)k-isomorphismeτ :k[α]→^∼ k[β]tel queτ(α) =β. De plus, d’après le premier théorème fondamental (7.3.5),τ se prolonge en unk-automorphisme σ de L.

Soientx₁, . . . , x_mles racines distinctes deP dansK; alorsK, resp.σ(K), est le sous-corps deLengendré par lesx_i, resp. lesσ(x_i). Or, pour chaquei, σ(x_i) est une racine de σ(P) = P. On en déduit que σ induit une bijection f de {1, . . . , m} telle que σ(x_i) =x_f(i), pouri= 1, . . . , m. Il en résulte que σ(K) = K. Comme σ(α) = τ(α) = β, on obtient ainsi que β ∈ K. Ceci montre queS a toutes ses racines dansK (et donc L=K). La proposition est démontrée.¤

7.4 L’arrivée des groupes

7.4.1 Le groupe des k-automorphismes d’une extension Définition 7.4.1 1) Soitk⊂Kune extension algébrique. On noteAut_k(K) le groupe desk-automorphismes deK.

2) Posons G =Aut_k(K) et soit α ∈ K. L’ensemble {g(α) |g ∈ G} des transformés deα par les éléments deG s’appellel’orbitedeα sous l’action deG, ou simplement laG-orbite deα, et se noteGα. D’autre part, l’ensemble

G_α:={g∈G|g(α) =α}

est un sous-groupe deG, on l’appelle le stabilisateur deα. Il est parfois aussi notéStab_G(α).

Proposition 7.4.1 Soit k⊂K une extension algébrique et soit α∈K.

1) Pour tout σ ∈Aut_k(K), σ(α) est racine de Irr_k(α).

2) Posons G = Aut_k(K). L’orbite Gα est un ensemble fini de cardinal

≤deg_k(α), et Irr_k(α) est divisible par le polynôme Y

β∈Gα

(X−β).

Démonstration.1) Posons P =Irr_k(α) et écrivons P =X^d+a₁X^d−1+

· · ·+a_d, où d= deg_k(α). Soitσ ∈Aut_k(K). Alors

0 =σ(P(α)) =σ(α)^d+a₁(σ(α))^d−1+· · ·+a_d=P(σ(α)).

Ceci montre queσ(α) est racine deP.

Par conséquent, X−g(α) divise P, pour tout g ∈ G = Aut_k(K). Or, d’après l’unicité de la décomposition en facteurs irréductibles, P a au plus d diviseurs irréductibles distincts. Il en résulte que l’orbiteGα est finie, de cardinal ≤d, et que P est divisible par le produit desX−β, pourβ ∈Gα.

La proposition est démontrée. ¤

Une question Au vu de la proposition précédente, on est conduit à se demander si, pour tout α∈K, on a l’égalité

(∗) Irr_k(α) = Y

β∈Gα

(X−β) ?

En cas de réponse positive, on obtiendrait que la connaissance du groupe G (et de son action sur K) permet de déterminer, pour tout α ∈ K, le polynôme minimal Irr_k(α) et donc la structure du sous-corpsk[α]⊂K.

On va voir dans un instant qu’il faut imposer certaines hypothèses, assez naturelles, sur l’extension k⊂ K pour que (∗) soit vraie. On verra ensuite que, sous ces hypothèses, la structure du groupe G et des ses sous-groupes détermine complètement la structure de l’extension k⊂K et des sous-corps L tels quek⊂L⊂K (on dira qu’un telLest une extension intermédiaire).

Exemples 7.4.1 1) Une première obstruction, évidente, à (∗) est que K peut ne pas contenir suffisamment de racines de Irr_k(α). Par exemple, soient k=Q,P =X³−2etξ l’une quelconque des racines de P dansC. On a vu

dans l’exemple 7.3.2 queξ est la seule racine deP dansQ[ξ]. Doncg(ξ) =ξ, pour toutg∈G:=Aut_Q(Q[ξ]), et commeQ[ξ]est engendré surQparξ, on obtient en fait queG={1}.

En fait, si(∗)est vérifiée, alors Irr_k(α)a toutes ses racines dansK. Donc, pour que(∗)soit vérifiée pour tout α∈K, il est nécessaire de supposer que l’extensionk⊂K soit quasi-galoisienne.

2) Une autre obstruction, plus subtile, est la suivante. Le terme de droite dans(∗)est un polynôme dont les racines sont deux à deux distinctes, c.-à-d., où chacune est de multiplicité1. Or, pour certains corpskde caractéristique p >0, il existe des extensionsk⊂Ketα∈K tels que Irr_k(α)ait des racines multiples. (Une telle situation ne peut se produire si car(k) = 0 ou si k est un corps fini.) Ceci conduit à introduire les définitions suivantes.

7.4.2 Polynômes et extensions séparables

Définition 7.4.2 Soit P ∈ k[X] un polynôme irréductible. On dit que P est séparable surk s’il vérifie la propriété suivante : ses racines α₁, . . . , α_n dans un corps de décompositionK de P sur k sont deux à deux distinctes, c.-à-d., chacune de multiplicité1.

Ceci ne dépend pas du corps de décomposition K. En effet, si K⁰ est un autre corps de décomposition, il existe, d’après le théorème 7.3.5, unk- isomorphismeσ:K →^∼ K⁰. On aσ(P) =P, puisqueP est à coefficients dans k. D’autre part, on a dansK[X],

P =a(X−α₁)· · ·(X−α_n),

oùa∈kest le coefficient dominant de P, et appliquantσ à cette égalité on obtient la décomposition

P =σ(P) =a(X−σ(α₁))· · ·(X−σ(α_n)).

Par conséquent, les racines de P dans K⁰ sont les σ(α_i), qui sont deux à deux distinctes.

Définition 7.4.3 Soit k⊂K une extension algébrique.

1) On dit queα∈Kest séparable surksi son polynôme minimalIrr_k(α) est séparable surk.

2) On dit que l’extensionk⊂K est séparable si toutα∈Kest séparable surk.

On a introduit plus haut la notion de séparabilité pour un polynôme P ∈k[X]irréductible. Pour la suite, il est commode d’étendre cette notion à un polynôme non constant quelconque, de la façon suivante.

Définition 7.4.4 Soit P ∈ k[X], non constant, et soit P = P₁· · ·P_r sa décomposition en facteurs irréductibles dansk[X]. On dit queP est séparable sur ksi chaque P_i l’est.

Lemme 7.4.2 Soit k⊂K une extension séparable et quasi-galoisienne, de degré fini. Alors K est le corps de décomposition sur k d’un polynôme sépa- rable.

Démonstration. Soient α₁, . . . , α_n des générateurs de K sur k. Posons P_i =Irr_k(α_i). Par hypothèse, chaque P_i a toutes ses racines dans K et est séparable. Alors le polynôme P =P₁· · ·P_r est séparable, et K est un corps de décomposition de P surk. Ceci prouve le lemme. ¤

7.4.3 Extensions galoisiennes

Définition 7.4.5 Soient k ⊂ K une extension algébrique et H un sous- groupe de G=Aut_k(K). On pose

K^H ={x∈K | ∀h∈H, h(x) =x}.

C’est un sous-corps deKcontenantk, appelé corps des invariants de Hdans K.

Remarque 7.4.1 L’exemple dek=Q⊂K=Q[√³

2](cf.7.4.1) montre que l’on peut avoir k6=K^G.

Définition 7.4.6 Une extension algébrique k⊂K est ditegaloisiennesi, posant G = Aut_k(K), l’on a K^G = k. Dans ce cas, on dit que G est le groupe de Galois de l’extension, et on le note Gal(K/k). De plus, pour toutα∈K, les élémentsg(α), pourg∈Gal(K/k), s’appellent les conjugués sur kde α (dansK).

Proposition 7.4.3 (Propriétés des extensions galoisiennes) Soient k⊂K une extension galoisienne et G=Aut_k(K).

1) Pour tout α∈K, on a

(∗) Irr_k(α) = Y

β∈Gα

(X−β);

en particulier, l’orbite Gα est formée d’exactementdeg_k(α) éléments.

2)L’extensionk⊂Kest quasi-galoisienne et séparable. En particulier, si [K :k]<∞,K est le corps de décomposition sur kd’un polynôme séparable.

Démonstration.1) PosonsQ=Q

β∈Gα(X−β); a priori, c’est un élément deK[X]. On va montrer queQ∈k[X]. ÉcrivonsQ=Xⁿ+b₁Xⁿ⁻¹+· · ·+b_n, oùn=|Gα|. Pour montrer queQ∈k[X], il suffit de montrer queQ=g(Q) pour tout g ∈ G, car alors chaque b_i appartiendra à K^G, qui égale k par hypothèse.

Soitg∈G. On a

g(Q) = Y

β∈Gα

(X−g(β)),

et donc l’égalitég(Q) =Qest claire, puisque l’applicationβ 7→g(β)est une bijection de l’orbiteGα, dont la bijjection inverse estγ 7→g⁻¹(γ).

On a donc Q∈k[X]. Par conséquent, Irr_k(α) divise Q, puisque Q(α) = 0. D’autre part, d’après la proposition 7.4.1, Q divise Irr_k(α). On a donc Irr_k(α) =Q, puisque tous deux sont unitaires. Ceci prouve le point 1).

2) De plus, l’égalité (∗) montre que les racines de Irr_k(α) sont toutes dansK, et deux à deux distinctes. Puisqueα∈K est arbitraire, ceci montre que l’extension k ⊂K est quasi-galoisienne et séparable. Enfin, la dernière assertion résulte du lemme 7.4.2. La proposition est démontrée.¤

Théorème 7.4.4 (Second théorème fondamental)

Soient k un corps et P ∈ k[X] un polynôme séparable de degré n ≥ 1.

Soit K un corps de décomposition de P sur k et soit G=Aut_k(K). Alors, K^G=k, c.-à-d., l’extension k⊂K estgaloisienne.

Démonstration. On va démontrer le théorème pour toute paire (k, P), en procédant par récurrence sur lenombre m de racines de P qui sont dans K mais pas dans k. Sans perte de généralité, on peut supposer P unitaire. Sim= 0, alors

P = (X−λ₁)· · ·(X−λ_n),

avec lesλ_i dansk. Dans ce cas,K =k,G={1} et il n’y a rien à montrer.

Supposonsm >0et le théorème établi pour toutm⁰ < m. SoitP ∈k[X]

ayant exactementn−mracines dansk, oùn= degP, et soitKun corps de décomposition deP surk. AlorsP a exactementmracines dansK\k. Soit

P =P₁· · ·P_r

sa décomposition en facteurs irréductibles dans k[X]. On peut supposer les P_i unitaires. Commem >0, l’un au moins de ces facteurs, disonsP₁, est de degré d≥2 et n’a pas de racines dansK. Par hypothèse,P se scinde dans K[X]comme produit de facteurs (irréductibles !) de degré1. Comme K[X]

est factoriel, on en déduit que la même propriété est vérifiée par chacun des P_i; en particulier parP₁. Donc, dans K[X],P₁ se factorise :

P₁ = (X−α₁)· · ·(X−α_d),

avec α₁ =α et les α_i ∈ K deux à deux distincts, puisqueP₁ est séparable par hypothèse.

Or,K est un corps de décomposition de P sur k(α), et P est séparable et a moins de mracines dans K\k(α). Donc, par hypothèse de récurrence, le sous-groupe

H=Aut_k(α)(K) ={g∈Aut_k(K)|g(x) =x,∀x∈k(α)}

vérifie K^H =k(α). D’autre part, d’après la proposition 7.3.2 et le théorème 7.3.5, il existe, pour i = 2, . . . , d, un k-automorphisme σ_i de K tel que σ_i(α) =α_i.

Soit maintenantz ∈ K^G. Alors z ∈K^H = k(α) et donc (puisque P₁ = Irr_k(α) etd= degP₁) il existea₀, . . . , a_d−1∈ktels que

z=a₀+a₁α+· · ·+a_d−1α^d−1.

Soit i∈ {2, . . . , d}. Appliquantσ_i∈Gà cette égalité, on obtient : z=a₀+a₁α_i+· · ·+a_d−1α^d−1_i .

Il en résulte que lesdéléments distinctsα=α₁, α₂, . . . , α_dsont tous racines du polynôme

Q(X) = (a₀−z) +a₁X+· · ·+a_d−1X^d−1.

Celui-ci étant de degré ≤ d−1, il est donc nul. Par conséquent, z = a₀ appartient à k. Ceci achève la preuve du théorème.¤

Définition 7.4.7 (Groupe de Galois d’un polynôme séparable) Soient P ∈ k[X] un polynôme séparable et K un corps de décomposition de P sur k. Le groupe Gal(K/k) est noté Gal(P/k) et appelé groupe de Galois de P surk. Ceci est licite, car ce groupe ne dépend, à isomorphisme près, que de P. En effet, si K⁰ est un autre corps de décomposition de P sur k, on a vu (théorème 7.3.5) qu’il existe unk-isomorphisme τ :K →^∼ K⁰. Alors, l’application g 7→ τ ◦g◦τ⁻¹ est un isomorphisme de Gal(K⁰/k) sur Gal(K/k).

Corollaire 7.4.5 Soit K un corps de décomposition sur k d’un polynôme séparable de degré ≥1 et soit G=Aut_k(K). Pour tout α∈K, on a

Irr_k(α) = Y

β∈Gα

(X−β).

Démonstration.Ceci découle du théorème précédent et de la proposition 7.4.3.¤

Corollaire 7.4.6 (Caractérisation des extensions galoisiennes finies) Soit k⊂K une extension de degré fini. Les conditions suivantes sont équi- valentes :

1) k⊂K est quasi-galoisienne et séparable ;

2) K est le corps de décomposition surk d’un polynôme séparable ; 3) k⊂K est galoisienne.

Démonstration. On a 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 1) d’après le lemme 7.4.2, la proposition 7.4.3, et le théorème 7.4.4, respectivement.¤

Le corollaire 7.4.5 apporte une réponse satisfaisante à la question 7.4.1(∗), qui nous avait servi de point de départ et motivation pour l’étude du groupe G:=Aut_k(K).

Dans la section suivante, on développera certains résultats sur les groupes, qui permettront d’établir que sik ⊂ K est une extension galoisienne finie, alors G = Aut_k(K) est un groupe fini de cardinal [K : k] et la correspon- dance H 7→ K^H établit une bijection entre l’ensemble des sous-groupes de Get les extensions intermédiairesk⊂L⊂K.

7.5 Sous-corps invariants et correspondance de Galois

7.5.1 Indépendance des caractères SoitK un corps.

Définition 7.5.1 Soit X un ensemble arbitraire. On note F(X, K) l’en- semble de toutes les applicationsX → K. Il est muni d’une structure d’es- pace vectoriel : pour φ, ψ ∈ F(X, K) et a ∈ K, on définit aφ +ψ par (aφ+ψ)(g) =aφ(x) +ψ(x), pour toutx∈X.

Soit maintenant G un groupe arbitraire. Parmi toutes les fonctions ψ : G→K, on distingue les suivantes.

Définition 7.5.2 On dit qu’une fonctionχ:G→K est un caractère deG à valeurs dansK si c’est un morphisme deGdans le groupe multiplicatif de K, c.-à-d., si elle vérifieχ(1_G) = 1etχ(gg⁰) =χ(g)χ(g⁰)pour toutg, g⁰∈G.

On note X_K(G) l’ensemble de ces caractères.

Théorème 7.5.1 (Théorème d’indépendance des caractères)

X_K(G) est une partie libre de F(G, K), c.-à-d., si χ₁, . . . , χ_n sont des ca- ractères distincts et si a₁, . . . , a_n∈ K sont tels que a₁χ₁+· · ·+a_nχ_n = 0, alors a_i = 0 pour tout i.

Démonstration. Supposons le théorème en défaut et soit n minimal tel qu’il existe une relation

(1) a₁χ₁+· · ·+a_nχ_n= 0,

avec les χ_i deux à deux distincts et chaque a_i 6= 0. Nécessairement, n≥ 2.

Commeχ₁ 6=χ₂, il existeh∈Gtel queχ₁(h)6=χ₂(h). Soitg∈Garbitraire.

Appliquant (1)à hg, on obtient

(2) a₁χ₁(h)χ₁(g) +· · ·+a_nχ_n(h)χ_n(g) = 0.

D’autre part, en appliquant(1)àgpuis en multipliant parχ₁(h), on obtient : (3) a₁χ₁(h)χ₁(g) +· · ·+a_nχ₁(h)χ_n(g) = 0.

Soustrayant (3)de (2), on obtient que la fonction

a₂(χ₂(h)−χ₁(h))χ₂+· · ·+a_n(χ_n(h)−χ₁(h))χ_n

est identiquement nulle. Comme le coefficient de χ₂ est 6= 0, ceci est une relation linéaire non-triviale entreχ₂, . . . , χ_n, et ceci contredit la minimalité de n. Ceci démontre le théorème.¤

Corollaire 7.5.2 Soient LetK deux corps. L’ensemble des morphismes de corps L→K est une partie libre de F(L, K).

Démonstration.Soientφ₁, . . . , φ_n des morphismes de corpsL→K, deux à deux distincts, et soienta₁, . . . , a_n∈K. Supposons qu’on ait dansF(L, K) l’égalité

a₁φ₁+· · ·+a_nφ_n= 0.

Or, la restriction de chaqueφ_i àL^×=L\ {0}est un caractère deLà valeurs dans K. Donc, le théorème précédent entraîne quea_i = 0pour tout i. Ceci prouve le corollaire. ¤

Proposition 7.5.3 Soit K un corps et soient id_K = φ₁, . . . , φ_n des auto- morphismes deK, deux à deux distincts. Soit

L={x∈K | ∀i= 1, . . . , n, φ_i(x) =x}.

AlorsL est un sous-corps de K et dim_LK ≥n.

Démonstration.Il est immédiat queLest un sous-corps deK. Observons que chaque φ_i est un automorphisme L-linéaire de K, puisque φ_i(ab) = φ_i(a)φ_i(b) =aφ_i(b), pour tout a∈L,b∈K.

Posonsr = dim_LK et supposons quer < n. Soit(ε₁, . . . , ε_r)une base de K surL. Considérons le système linéaire suivant, d’inconnues x₁, . . . , x_n :











ε₁x₁+φ₂(ε₁)x₂+· · ·+φ_n(ε₁)x_n = 0 ε₂x₁+φ₂(ε₂)x₂+· · ·+φ_n(ε₂)x_n = 0 ...

ε_rx₁+φ₂(ε_r)x₂+· · ·+φ_n(ε_r)x_n = 0.

C’est un système à coefficients dansK, homogène, avecr < n équations. Il admet donc au moins une solution non triviale(a₁, . . . , a_n)∈Kⁿ\{0}. Alors le système ci-dessus montre que la fonctionL-linéaire

φ:=a₁φ₁+a₂φ₂+· · ·+a_nφ_n

s’annule sur laL-base(ε₁, . . . , ε_r)deK, donc est identiquement nulle. Comme (a₁, . . . , a_n) 6= 0, ceci contredit l’indépendance deφ₁, . . . , φ_n. Cette contra- diction montre quer≥n. La proposition est démontrée.¤

7.5.2 Invariants d’un groupe fini : théorème d’Artin

On peut maintenant démontrer le 3ème théorème fondamental, dû à Emil Artin.

Théorème 7.5.4 (Artin)

Soient K un corps, G un groupe fini d’automorphismes de K, et L = K^G son corps des invariants.

1) On a [K :L] =|G|.

2) Par conséquent, G = Aut_L(K) et L ⊂ K est une extension galoi- sienne, de groupe de GaloisGal(K/L) =G.

Démonstration. 1) Posons n = |G|. D’après la proposition 7.5.3, on a dim_LK ≥n. Supposons que dim_LK > n. Alors, posant r =n+ 1, il existe des éléments ε₁, . . . , ε_r ∈ L linéairement indépendants sur K. Choisissons une numérotation τ₁, . . . , τ_n des éléments deG telle que τ₁=id_K. Considé- rons, cette fois, le système :

(∗)











ε₁x₁ + · · · + ε_rx_r = 0 τ₂(ε₁)x₁ + · · · + τ₂(ε_r)x_r = 0

...

τ_n(ε₁)x₁ + · · · + τ_n(ε_r)x_r = 0.

C’est un système homogène, à coefficients dansK, denéquations àr =n+1 inconnues. Alors (∗) admet des solutions non nulles.

Soit a = (a₁, . . . , a_r) ∈ K^r une solution non nulle, ayant un nombre minimum sde coordonnéesa_i non-nulles. Quitte à changer la numérotation desε_i, on peut supposer que

a= (a₁, . . . , a_s,0, . . . ,0),

avec a_i 6= 0 pour i = 1, . . . , s. Divisant a par a_s, on se ramène au cas où a_s= 1. On a alors les égalités :

(1) τ(ε₁)a₁+· · ·+τ(ε_s) = 0, ∀τ ∈G.

Comme ε₁, . . . , ε_s sont indépendants sur L, cette égalité pour τ =id_K en- traîne que a₁, . . . , a_s−1 ne sont pas tous dans L. On peut donc supposer a₁ 6∈L. Alors, il existe σ∈Gtel que σ(a₁)6=a₁.

Appliquons σ aux égalités (1). Comme l’application τ 7→ τ σ est une bijection deG, on obtient les égalités

(2) τ(ε₁)σ(a₁) +· · ·+τ(ε_s) = 0, ∀τ ∈G.

Soustrayant (2)de (1), on obtient les égalités :

(3) τ(ε₁)(a₁−σ(a₁)) +· · ·+τ(ε_s−1)(a_s−1−σ(a_s−1)) = 0, ∀τ ∈G.

Ceci montre que le r-uplet

(a₁−σ(a₁), . . . , a_s−1−σ(a_s−1),0, . . . ,0)

est solution du système(∗). Il est non nul, cara₁ 6=σ(a₁), et a au pluss−1 coordonnées non nulles. Ceci contredit la minimalité des. Cette contradiction