Intégration
Soitf une fonction dé finie, continue et positive sur un intervalle[a;b]etCf sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal . L’intégrale def entreaetbest l’aire, en unité s d’aire, du domaineDfcompris entre la courbeCf, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=b.
Ce nombre est noté : Z b
a
f(x)dx
Intégrale de f
0 x
y
~i
~j
I J
Z b a
f(x)dx
a b
Cf 1 u.a
Première partie
Juste une approximation
Exercice 1.
1. On cherche ici à calculer une approximation de l’aire comprise sous la courbe de la fonction logarithmef dé finie sur R∗+parf(x) = lnx, au dessus de l’axe des abscisses, et entre les droites verticales d’équationx= 2etx= 6.
Donner un encadrement de cette aire que l’on noteraA.
· · ·6A6· · · A compléter sur cette feuille
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5
0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
C
fZ
6 2ln(x)dx
2. Une première approximation.
On découpe le segment [2 ; 6] en 4 parties é gales afin de construire 4 rectangles sous la courbes. Chaque rectangle sera donc de basebase= 6−2
4 = 1et de hauteurf(2),f(3),f(4)etf(5).
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5
0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
bB1
bB2
bB3
bB4 b
B5
bA1
bC2
bA2
bC3
bA3
bC4
bA4
bC5
bA5
C
fR (2 ; 1) R (3 ; 1) R (4 ; 1) R (5 ; 1)
On noteR(x; 1)l’aire du rectangle dont le sommet infé rieur gauche est le pointAde l’axe(Ox)d’abscissexet de basebase= 1. Par exemple iciR(2 ; 1)est l’aire du rectangleA1B1C2A2Calculer les valeurs exactes puis approché es au centième des aires des trois rectangle. En dé duire une première valeur approché e de l’aireA.
R(2; 1) =· · · ≈ · · · · R(3; 1) =· · · ≈ · · · · R(4; 1) =· · · ≈ · · · · R(5; 1) =· · · ≈ · · · ·
=⇒ A≈ · · · · A compléter sur cette feuille
Vous pouvez visualiser les rectangles sur geogebra : https://www.geogebra.org/classic/ugs4x27e
Remarque
3. Programmation.
Définir la fonctionf puis une fonction nommée rectangle(x , L)qui renvoie l’aire du rectangle dont le sommet infé rieur gauche est le pointAde l’axe(Ox)d’abscissexet de baseL.
Vérifier votre programme avec les calculs de la question pré cédente.
# Dans l'éditeur Python import math
# dans le module math, le logarithme népérien de x se nomme log(x) def f(x):
'''In : x un flottant
Out : l'image de x par f''' return math.log(x)
# Aire du rectangle de côtés f(x) et L def rectangle(x,L):
4. Méthode générale.
On veut calculer une approchée de l’aire sous la courbe d’une fonction continue et positive sur l’intervalle[a; b].
On va choisir une subdivision régulière l’intervalle[a; b]. On le dé compose ennsubdivisions, et donc on calculera la somme denrectangles.
Le pashde la subdivision correspond à la largeur desnrectangles : h= b−a
n ; xi =a+i×h
Compléter les fonctions proposées. On noteraaetbles bornes du segment [a; b]d’intégration etnle nombre de rectangles.
# Dans l'éditeur Python def integ1(f,a,b,n):
'''In : f fonction, a et b flottant les bornes et n entier nb de rectangles Out : somme des aires des n rectangles '''
...
5. Vérification.
5. a. Tester votre fonction afin de retrouver le résultat obtenu lors de la question 2.
5. b. Montrer que la fonctionFdéfinie surR∗+parF(x) =xlnx−xest une primitive def. 5. c. Calculer alors la valeur exacte de
Z 6 2
lnxdxpuis une valeur approchée au centième.
5. d. Vérifier alors votre approximation obtenue lors de la question précédente.
Deuxième partie
ROC : encadrement d’une intégrale
Voici l’attendu du programme : « Pour une fonction monotone positive, mettre en œuvre un algorithme pour déterminer un encadrement d’une intégrale. »
ROC 1 : Exigible
Exercice 2. Encadrement avec f strictement croissante sur [a ; b]
1. Un exemple.
On va établir un encadrement de l’intégrale Z b
a
f(x)dxdans le cas où la fonction est strictement croissante sur[a; b].
On considère la fonctionf définie surR∗+parf(x) = lnx.
1. a. Un exemple avecn= 4rectangles.
Puisque la fonctionf est ici strictement croissante sur[a; b], l’aire située sous la courbe entre les droites d’équationsx= 2etx= 6est comprise entre la somme des aires des rectangles rouges et des rectangles bleus.
Par exemple ici avecn= 4rectangle on a : 1×ln 2 + 1×ln 3 + 1×ln 4 + 1×ln 5
| {z }
Somme des aires des 4 rectangles rouges
6 Z 6
2
lnxdx61×ln 3 + 1×ln 4 + 1×ln 5 + 1×ln 6
| {z }
Somme des aires des 4 rectangles bleus
Exemple
1. b. Illustration animée.
Pour illustrer la méthode, visualiser l’animation réalisée sous geogebra : https://www.geogebra.org/m/heuy3sbh
2. Généralisation avecfstrictement croissante.
Pourf fonction croissante sur[a; b], on peut donc facilement montrer que, pour toutnentier strictement positif correspondant au nombre de rectangles, avec un découpage ennrectangles de baseh= b−a
n on a : h×f(a) +h×f(a+h) +· · ·+h×f(a+ (n−1)h)
| {z }
Somme des aires desnrectangles rouges
6 Z b
a
f(x)dx6h×f(a+h) +· · ·+h×f(a+nh)
| {z }
Somme des aires desnrectangles bleus
Soit
un=h×
n−1
X
k=0
f(a+kh)
| {z }
Somme des aires desnrectangles rouges
6 Z b
a
f(x)dx6 vn=h× Xn
k=1
f(a+kh)
| {z }
Somme des aires desnrectangles bleus
Propriété 1(Encadrement avecf strictement croissante)
Écrire maintenant une fonctionS(f, a, b, n)qui renvoie les deux bornes de l’encadrement avec une fonction stricte- ment croissante sur[a; b].
# Dans l'éditeur Python
# Encadrement par la méthode des rectangles def S(f,a,b,n):
'''In : f fonction croissante sur [a;b] et n entier nb de rectangles avec a, b flottant tels que a<b
Out : Un, Vn tel que Un<= integrale <= Vn ''' ...
return ...
3. Tester votre fonctionS(f, a, b, n)avec la fonctionf définie parf(x) = lnxsur[a; b].
4. Vérification.
Tester votre fonction afin de retrouver le résultat obtenu lors de l’exercice 1.
5. Valeur approchée avec précision choisie.
5. a. Montrer que pourn >0entier on a :
vn−un =hf(b)−hf(a) = b−a
n (f(b)−f(a))
5. b. En prenant pourfla fonction logarithme et[a; b] = [2 ; 6], montrer en détaillant les calculs que : vn−un<10−3 ⇐⇒ n>4000 ln 3≈4394,449
5. c. Écrire une fonctionA(f, a, b, m)qui donne une valeur approchée de l’intégrale Z b
a
f(x)dxà10−mprès.
# Dans l'éditeur Python
# Approximation donnée par la méthode des rectangles def A(f,a,b,m):
'''In : f fonction, a et b flottant les bornes et m entier positif avec f strictement croissante sur [a , b]
Out : un, vn , n tel que un<= integrale <= un et vn-un<10**(-m) et n le nombre de rectangles '''
...
while ....:
...
return un,vn, n
6. Vérifier le résultat obtenu lors de la question5. b. en affichant le nombre de rectangles obtenus pour obtenir l’approxi- mation souhaitée.
# On obtient dans la console
>>>a=2
>>>b=6
>>>m=3
>>>n=1000
>>>print("S= ",S(f,a,b,n))
>>>print("A= ",A(f,a,b,m))
S= (5.362064785226743, 5.3664592343814155) A= (5.363762493906605, 5.36476236857206, 4395)
Exercice 3. Encadrement avec f strictement décroissante sur [ a ; b ]
1. Un exemple.
On va établir un encadrement de l’intégrale Z b
a
f(x)dxdans le cas où la fonction est strictement décroissante sur [a; b].
On considère la fonctionf définie surR∗+parf(x) = 1 x.
1. a. Un exemple avecn= 3rectangles.
Puisque la fonctionf est ici strictement décroissante sur[a; b], l’aire située sous la courbe entre les droites d’équationsx= 0,5etx= 3,5est comprise entre la somme des aires des rectangles rouges et des rectangles bleus.
Par exemple ici avecn= 3rectangle on a : 1× 1
1,5 + 1× 1
2,5 + 1× 1 3,5
| {z }
Somme des aires des 3 rectangles rouges
6 Z 3,5
0,5
1
xdx61× 1
0,5+ 1× 1
1,5+ 1× 1 2,5
| {z }
Somme des aires des 3 rectangles bleus
Exemple
1. b. Écrire l’encadrement de Z 3,5
0,5
1
xdxavec 4 rectangles et donner une valeur approchée des bornes au millième.
2. Généralisation avecfstrictement décroissante.
Pourf fonction décroissante sur[a; b], on peut donc facilement montrer que, pour toutnentier strictement positif correspondant au nombre de rectangles, avec un découpage ennrectangles de baseh= b−a
n on a : h×f(a+h) +· · ·+h×f(a+nh)
| {z }
Somme des aires desnrectangles rouges
6 Z b
a
f(x)dx6h×f(a) +· · ·+h×f(a+ (n−1)h)
| {z }
Somme des aires desnrectangles bleus
Soit
un=h× Xn
k=1
f(a+kh)
| {z }
Somme des aires desnrectangles rouges
6 Z b
a
f(x)dx6 vn =h×
n−1
X
k=0
f(a+kh)
| {z }
Somme des aires desnrectangles bleus
Propriété 2(Encadrement avecf strictement décroissante)
Écrire maintenant une fonctionS2(f, a, b, n)qui renvoie les deux bornes de l’encadrement avec une fonction stricte- ment décroissante sur[a; b].
# Dans l'éditeur Python
# Encadrement par la méthode des rectangles def S2(f,a,b,n):
'''In : f fonction décroissante sur [a;b] et n entier nb de rectangles avec a, b flottant tels que a<b
Out : Un, Vn tel que Un<= integrale <= Vn ''' ...
return ...
3. Tester votre fonctionS2(f, a, b, n)avec la fonctionf définie parf(x) = 1
xsur[a; b].
4. Vérification.
5. Valeur approchée.
Comment on peut choisirnpour avoirvn−un<10−3? 6. Valeur approchée et algorithme.
Écrire une fonctionA2(f, a, b, m)qui donne une valeur approchée de l’intégrale Z b
a
f(x)dxà10−mprès.
Troisième partie
Complément
Exercice 4. Avec f monotone
Écrire une fonction qui donne un encadrement de Z b
a
f(x)dxavecf supposée monotone sur[a; b].
Exercice 5. Avec f monotone et précision donnée
Écrire une fonction qui donne un encadrement d’une précision donnée de Z b
a
f(x)dxavecfsupposée monotone sur[a; b].
