Exercice 1(Reconnaître des suites. Pour chacune des suites suivantes :).
1. Dire si elle est arithmétique ou géométrique et préciser sa raison 2. Donner sa forme expilcite. 3. Donner son premier terme et une définition par récurrence. 4. Exprimeru0+· · ·+un en fonction den∈N. (certaines de ces infos sont contenues dans l’énoncé. . .)
1. (an)n∈N tqan = (−1)n pour n∈N.
2. (bn)n∈N tqb0=−1etbn+1= 3bn pourn∈N. 3. (cn)n∈N tqcn =n+13 pourn∈N.
4. (dn)n∈Ntqd0=−1etdn+1=dn+ 2pourn∈N.
5. (en)n∈Narithmétique tqe3= 5et e8= 20.
6. (fn)n∈Ngéométrique de raison 2 tqf3= 128.
7. (gn)n∈Nconstante égale à4.
8. (hn)n∈N géométrique tqh10= 10eth12= 20.
Exercice 2(Démonstration par récurrence).
1. Calculer les premiers termes de la suite :
u0 = 3 un+1 = p
1 +u2n puis conjecturer une formule explicite et la démontrer par récurrence.
2. On définit la suite(un)par
u0 = 0
un+1 = un+ 2n−11, pour toutn∈N
Montrer que, pour tout n∈N,un=an2+bn+c, où a,b etc sont trois nombres réels à préciser.
Exercice 3(Expression explicite d’une suite arithmetico-géométrique).
Soit (un)n∈Nla suite définie paru0= 14etun+1= 6−12un. 1. Calculeru1,u2 etu3.
2. Représenter les droites d’équationy=xety= 6−0,5x, puis conjecturer lim
n→+∞un et les variations de la suite.
3. Donner une expression explicite deun pourn∈N, calculer lim
n→+∞un, puis Xn k=0
uk. Exercice 4(Suites couplées).
On définit(an)n∈Net(bn)n∈N para0= 0etb0= 12, puis pourn∈N:an+1=2an+bn
3 etbn+1=an+ 3bn
4 1. On considère la suite(un)définie, pour n∈N, parun=bn−an.
(a) Montrer que la suite (un)est une suite géométrique de raison 5
12 et de premier terme à préciser.
(b) En déduire l’expression deun en fonction de l’entier naturel n.
2. On considère la suite(vn)définie, pour tout entier natureln, parvn= 4bn+ 3an.
(a) Montrer que la suite (vn)est constante. (b) Préciser quelle est la valeur constante devn. 3. A l’aide des questions 1(b) et 2(b) , calculer les expressions dean etbn pour tout entier natureln.
4. CalculerSn=b0+b1+...+bn en fonction de n.
Exercice 5(Ecriture rationnelle vs écriture périodique).
Soit (un) la suite géométrique de premier termeu0= 0,27et de raison 1001 etSn = Xn k=0
uk, pourn∈N. A l’aide de ces outils, donner l’écriture rationnelle de 0,272727.... Adapter la méthode pour démontrer que 0,999....= 1
Exercice 6(Une suite homographique).
La suite (un)est définie par u0= 14 etun+1= 3un
2un−1 pourn∈N. Pour toutn∈N, on posevn=u1
n −12. On admet que les termesun etvn sont définis pour toutn∈N.
1. Montrer que(vn)est une suite géométrique 2. Pour tout n∈N, exprimervn puisun en fonction de n.
Exercice 7(Changement de suites divers).
1. Soit ula suite définie par :u1= 2et ∀n∈N∗,un+1= 2(n+ 1)2 n(n+ 2)un
(a) Montrer que la suite v définie par : pour tout entiern>1vn= n+ 1
n un est géométrique. (b) En déduire la valeur deun en fonction den.
2. Soit ula suite définie paru0= 3 et pour tout entiern, un+1=√
un−1 + 1.
(a) Montrer que pour tout entiern, un est défini et un>1.
(b) Montrer que la suitev définie parvn= ln (un−1)est définie et est géométrique.
(c) En déduire la valeur de un en fonction de n.
3. Soit (un)n∈N∗ la suite telle que u1= 1 et∀n∈N∗, un+1=√
4un et(vn)n∈N∗ de terme généralvn = lnun. (a) Montrer par récurrence la propriétéPn: «undéfini etun>0» (b) Montrer que :∀n>1, vn+1= ln 2+12vn. (c) Déduire les termes généraux de(vn)n∈N∗ puis(un)n∈N∗. Le vérifier en calculant de 2 manièresu1 et u2. (d) Étudier la limite de(vn)n∈N∗ et(un)n∈N∗
Exercice 8(Comparaison avec une suite géométrique).
1. Soit utelle queu0= 3et : ∀n∈N, un+1>2un Montrer par récurrence que :∀n∈N, un>3·2n Étudier la convergence.
2. Soitv positive telle quev0= 3 et :∀n∈N, vn+16 12vn Montrer par récurrence que :∀n∈N, vn 63·(12)n Étudier la convergence.
Exercice 9(Limite de suite (classique)).
Soit ude terme général n!
an.
1. Si 06a61 :. Déterminer la limite deu.
2. Si a>1 : (a) Montrer qu’à partir d’un certain rangn0 : uun+1
n
>2. (b) Déduire que si n>n0 alors : un>2n−n0un0.
(c) Déduire la limite de u.
Exercice 10 (Suite récurrente (classique)).
Soit udéfinie paru0= 1et∀n∈N, un+1=√
un+ 12.
1. Étudier le polynômeP(X) =X2−X−12(factorisation, signe, solutions deP(x) = 0) 2. Montrer pour toutn∈Nla propriété P(n): “un est défini et 0< un<4”
3. Montrer par récurrence queuest strictement croissante.
Variante astucieuse : combiner une quantité conjuguée avec la question 1.
4. (a) Déduire queuconverge vers une limitel∈R. (b) Déduire de la question 2 un encadrement de l.
(c) Montrer quel vérifieP(l) = 0. (d) Déduire des questions précédentes la valeur del.
Exercice 11 (Limites de suites).
1. Calculer la limites des suites suivantes, par la méthode de votre choix.
(a) lim
n→+∞
5
n−2 (b) lim
n→+∞
3n−2n3
n2+ 1 . (c) lim
n→+∞
n2+ 3(−1)n 2n
2. Dans ces questions, on veut démontrer "à la main" plusieurs résultats qui sont utilisés dans la pratique : (a) On suppose lim
n→+∞un= +∞et lim
n→+∞vn= +∞ i. Démontrer que lim
n→+∞un+vn= +∞ ii. Démontrer que lim
n→+∞unvn = +∞ (b) Soitl∈Retl′∈R. On suppose lim
n→+∞un=let lim
n→+∞vn=l′. Démontrer que lim
n→+∞un+vn =l+l′. Exercice 12 (Suite récurrente et conjecture graphique).
La suite(un)est définie paru0= 3
2 et pour toutn∈N, un+1=u2n−2un+ 2.f :x7→x2−2x+ 2est représentée ci-dessous
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Cf
1. Conjectures graphiques
(a) Construire les points M0(u0; 0), M1(u1; 0), M2(u2; 0), M3(u3; 0) et M4(u4; 0) sur le graphique ci-dessus (sans faire de calculs et en laissant apparents les traits de construction).
(b) Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation de la suite(un)n∈N et sur sa convergence ? 2. Démonstration des conjectures précédentes.
(a) Montrer par récurrence que pour toutn∈N, on a16un62.
(b) Donner une expression factorisée deun+1−un. En déduire le sens de variation de la suite.
(c) Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 13 (Suite et absurde).
Soit f définie par :f(x) = ln (x) +xpour tout x∈R.
1. (a) Etudier les variations def. (b) Déterminer le signe de f(x)−x.
2. Soitula suite définie paru0>1 et pour tout entier n, un+1=f(un)
(a) Montrer que pour tout entiern:un≥1 et en déduire que la suite est croissante.
(b) Montrer qu’elle n’est pas majorée est déterminer sa limite.
On suppose à présent queu0=e
(c) Montrer que, pourt tout entiern: un+1 ≥un+ 1,en déduire que un ≥n+eet retrouveer la limite de la suite.
3. Soitv définie par v0∈]0,1[et pour tout entier n, vn+1=f(vn)
Montrer qu’il existe un entier npour lequelvn<0et en déduire qu’elle n’est plus défnie à partir den+ 1.
Exercice 14 (Suite définie par une somme).
Pourn∈N∗, on posewn = Xn k=1
n n2+k.
1. Quels sont les plus petit et plus grand terme de la somme ? En déduire que∀n ∈N∗, on a : n2 n2+n 6 wn6 n2
n2+ 1
2. A l’aide de la question précédente, calculer lim
n→+∞wn. Exercice 15 (Différentes méthodes).
Soient(an)et(bn)deux suites définies para0= 2,b0= 0et les relations suivantes.
∀n∈N, an+1= 2an+bn
∀n∈N, bn+1=an+ 2bn
Les questions 2, 3 et 4 permettent de déterminer le terme général de ces suites de 3 manières indépendantes.
1. Calculera1,b1,a2 et b2
2. Méthode 1 :
(a) Posons pour tout n∈N :sn =an+bn. Montrer que (sn)est géométrique et déterminer son terme général.
(b) Posons pour tout n∈ N : dn = an−bn. Montrer que (dn) est constante et déterminer son terme général.
(c) Déduire en résolvant un système les termes généraux de(an)et(bn).
3. Méthode 2 :
(a) En combinant les relations (1) et (2) montrer que :∀n∈N, an+2−4an+1+ 3an= 0 (b) Déterminer le terme général de(an).
(c) Déduire celui de(bn)à l’aide de la relation de récurrence (1) 4. Méthode 3 :
(a) Soit Xn la matrice colonne an
bn
et A la matrice 2 1
1 2
. Montrer par récurrence que : ∀n ∈ N, Xn=AnX0
(b) On définit la suite (αn) par α0 = 0 et ∀n ∈ N, αn+1 = 3αn+ 1. Montrer que : ∀n ∈ N, An = αn+ 1 αn
αn αn+ 1
(c) Déterminer le terme général de(αn) (d) Déduire les termes généraux de (an)et(bn) Exercice 16 (Suite et puissance de matrice).
Soit udéfinie paru0= 2,u1= 1,u2=−1 et∀n∈N, un+3= 2un+2+un+1−2un. On poseA=
2 1 −2 1 0 0 0 1 0
etP =
1 1 4 1 −1 2
1 1 1
.
1. Montrer queP est inversible et calculer P−1. 2. SoitD=P−1AP. DéterminerDn pour toutn∈N.
3. Montrer que pour toutn∈N,Dn=P−1AnP et déduire une expression deAn. 4. SoitXn=
un+2
un+1
un
. Vérifier que pour toutn∈N, Xn+1=AXn
5. Déduire une expression deXn en fonction de An etX0. Puis déduire le terme général de u.
Exercice 17 (Puissance de matrice et récurrence - EML 2003).
On note M3(R)l’ensemble des matrices carrées réelles d’ordre trois et on considère les matrices suivantes de M3(R):
I =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
A =
1 1 1 1 0 0 1 0 0
1. CalculerA2 etA3, puis vérifier :A3=A2+ 2A.
2. Montrer que, pour tout entiernsupérieur ou égal à1, il existe un couple(an, bn)de nombres réels tel que : An=anA+bnA2, et exprimeran+1 et bn+1 en fonction de an etbn.
3. (a) Montrer, pour tout entiernsupérieur ou égal à 1 :an+2=an+1+ 2an. (b) En déduirean etbn en fonction de n, pour tout entier nsupérieur ou égal à1.
(c) Donner l’expression deAn en fonction deA,A2 etn, pour tout entiern supérieur ou égal à1.
Exercice 18 (Suites et matrices).
On considère la matrice suivante :A=
1 0 0 6 −5 6 3 −3 4
1. Démontrer qu’il existe une suite(un)n∈N telle que :∀n∈N, An=
1 0 0 2un 1−2un 2un
un −un 1 +un
.
2. Calculerun en fonction denpuis expliciterAn.
Exercice 19 (D’après ECRICOME T 2007).
On se propose de déterminer la suite de réels(un)n∈Nvérifiant la relation de récurrence :
un+2 = 5un+1−6un
u0 = 1 u1 = 1
sans utiliser les résultats du cours sur les suites récurrentes doubles. On définit la matrice A par : A = 5 −6
1 0
.
Calcul de la puissance n-ème de A
On considère les matrices à coefficients réels B etC définies par : B=
3 −6 1 −2
, C=
2 −6 1 −3
1. CalculerBC etCB et B2. Qu’en déduire pour Bn, n∈N∗?
2. Montrer, par récurrence, que pour tout entier natureln non nul :Cn= (−1)n−1C 3. Vérifier que l’on a : A2= 5A−6I, où I est la matrice carrée unité d’ordre2.
4. Etablir que la matriceA est-inversible et exprimerA−1 en fonction de A etI.
5. Montrer, par récurrence, que pour tout entier natureln :An= 3nB−2nC
6. La relation précédente est-elle encore vraie pourn=−1. C’est-à-dire a-t-on :A−1=13B−12C ? 7. Montrer que pour tout entier natureln: A−1n
=31nB−21nC Expression de un en fonction de n
1. Vérifier que pour tout entier natureln:
un+2
un+1
=A
un+1
un
2. Montrer par récurrence que pour tout entier natureln :
un+1
un
=An 1
1
3. Donner ainsi l’expression deun en fonction de n.
Exercice 20 (Suites et matrices).
Système linéaire de deux suites récurrentes: on noteA,P,Dles matrices suivantes :A=
5 1
−4 0
, P = 1 1
−1 −4
, D= 4 0
0 1
.
On définit les suites(xn)et(yn)par :
x0= 0, y0= 1
∀n∈N
xn+1= 5xn+yn
yn+1=−4xn
et on pose :∀n∈N, Un= xn
yn
1. Montrer queP est inversible et déterminerP−1. Vérifier que l’on aD=P−1AP. 2. Donner, sans démonstration, l’expression deDn pournentier naturel.
3. ExprimerAen fonction deP,P−1 etD, puis montrer que, pour tout entier natureln,An =P DnP−1 En déduire l’écriture matricielle de An en fonction de n.
4. Vérifier que, pour tout entier natureln,Un+1=AUn.
5. Montrer que, pour tout entier natureln,Un =AnU0. En déduire l’expression dexn etyn en fonction de n.
Puissance d’une matrice: SoientB et I3 les matrices suivantes :
B=
2 1 1 1 2 1 1 1 2
, I3=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1. Montrer queB2= 5B−4I3.
2. Pournentier naturel on définit la propriétéP(n): « il existe deux réelsanetbntels queBn=anB+bnI3».
(a) Montrer queP(0),P(1),P(2)sont vraies et déterminer les couples (a0, b0),(a1, b1), et(a2, b2).
(b) On suppose P(n) vraie pour n∈ N∗, montrer queP(n+ 1) est vraie et exprimer an+1 et bn+1 en fonction de an etbn.
(c) Utiliser la première partie de l’exercice pour exprimeran etbn en fonction de n.
(d) Conclure en donnant l’écriture matricielle deBn. Exercice 21 (Suites adjacentes).
Soit (un)n∈N∗ la suite de terme général :Pn k=1
(−1)k 2k−1. 1. (a) Montrer que pour toutn>1 : (−1)2n+1
2(2n+ 1)−1+ (−1)2n+2
2(2n+ 2)−1 = −2 (4n+ 1)(4n+ 3)
(b) Montrer que la suitev de terme généralvn =u2n est décroissante. On utilisera le cas particulier de Chasles :
2n+2X
k=1
= X2n k=1
+
2n+2X
k=2n+1
2. Montrer de même que la suitewde terme généralwn=u2n+1est croissante. On utilisera le cas particulier de Chasles :
2n+3X
k=1
=
2n+1X
k=1
+
2n+3X
k=2n+2
.
3. Calculer (pour toutn∈N∗)wn−vn puis donner la limite de cette suite.
4. Montrer quev etw convergent vers une même limitel.
Épilogue : Lorsque (u2n)n∈N∗ et(u2n+1)n∈N∗ convergent vers la même limitel, alors la suite (un)n∈N∗
converge versl aussi. Nous avons donc démontré dans cette exercice que (un)n∈N∗ est convergente.
Exercice 22 (Changement de suite (difficile) ECRICOME 1999).
Soit (xn) une suite numérique qui vérifie, pour tout entier natureln, la relation : xn+2=1
3xn+1+1 3xn. 1. Montrer que lim
n→+∞xn = 0(on donne : 1+√613 = 0,77et 1−√613 =−0,44à10−2 près).
2. Soienta>1 et b>1. On étudie la suite numérique(un)définie par : u0=a u1=b et pour tout entier naturel n :un+2 =√
un+√un+1 On admet que, pour tout entier natureln, un est bien défini et vérifie un>1
Montrer que la seule limite possible de la suite (un) est 4.
3. Soit(vn)définie, pour tout entier natureln, par : vn= 1 2
√un−1.
(a) Montrer que si lim
n→+∞vn= 0 alors lim
n→+∞un= 4.
(b) Vérifier, pour tout entier natureln:vn+2= vn+1+vn
2(2 +vn+2).En déduire que :|vn+2|61
3(|vn+1|+|vn|). (c) On note (xn) la suite définie par : x0 = |v0|, x1 = |v1| et, pour tout entier naturel n, xn+2 =
1
3xn+1+1 3xn.
Montrer que, pour tout entier naturel n, |vn| 6xn et conclure quant à la convergence de la suite (un).
Exercice 23 (Suites adjacentes (difficile)).
1. (a) Soit f la fonction définie par : pour toutx ∈ R, f(x) = 3x+1x et g la composée g = f of définie par g(x) =f(f(x)). Etudier les sens de variation sur R+ de f et deg.
(b) Résoudre sur R l’équation de f(x) = x, puis g(x) = x. (On montrera qu’elles ont les mêmes solutions solutions aetb avec b <0< a, queb=−1/a et queb= 3−a)
Soit ula suite définie par :u0>0 et pour tout entiern, un+1=f(un). 2. Montrer que,∀n,unest défini et un>0
3. On suppose dans cette question queu0= 1. On définit les suitesvetwpar :∀n,vn=u2netwn=u2n+1=f(vn).
(a) Montrer que pour tout entiern,vn+1=g(vn).
(b) Montrer que la suitev et croissante majorée par a. En déduire que v converge versa.
(c) En déduire que wconverge également versa.Conclure pour uen utilisant le résultat suivant, admis : si(u2n)et(u2n+1) convergent vers la même limite, alorsuconverge vers cette limite.
4. On pose pour tout entiern,zn =un−a
un−b. (les valeursaetb étant celles définies précédemment).
On ne suppose plus que u0= 1 mais seulement queu0>0.
(a) Montrer que, pour tout entiern, znest bien définie et quez est une suite géométrique.
(b) Déterminer la valeur deun en fonction de zn. Déterminer sa limite quand ntend vers l’infini.
Exercices faits au tableau Exercice 24 (Critère de d’Alembert).
Soit (un) une suite de termes strictement positifs etSn = Xn k=0
uk. Soita∈R .
1. On suppose quea∈]1 ;∞[ et qu’il existen0∈Ntel que pour toutn>n0, un+1
un
>a.
(a) Montrer queun >an−n0un0. (b) Montrer que lim
n→+∞un = +∞
(c) En déduire que la suite(Sn)divergente.
2. On suppose quea∈]0 ; 1[et qu’il existen0∈Ntel que pour tout n>n0, un+1
un
6a.
(a) Montrer queun 6an−n0un0. (b) Montrer que lim
n→+∞un = 0.
(c) On note pour toutn>n0, vn= Xn k=n0
uk
i. Montrer que la suite(vn)est majorée par 1
1−a, puis qu’elle converge.
ii. En déduire que la suite (Sn)est convergente.
(d) Application :
Quelle est la nature des suites de termes général : un=
Xn k=0
ak
n! oùa∈]0 ; 1[. vn= Xn k=0
ak
n! oùa∈]1 ; +∞[.
Exercice 25.
Soient(un)et(un)les suites définie pour toutn∈N∗ parun=Pn k=1
1
k! vn =un+ 1
n!n.Montrer que ces deux suites ont adjacentes, puis qu’elles convergent.
Pour aller plus loin Exercice 26 (extrait HEC 2013).
Partie I. Prix d’équilibre
Sur le marché d’un certain bien, on noteD la fonction de demande globale (des consommateurs),Ola fonction d’offre globale (des entreprises) etple prix de vente du bien.
On suppose habituellement que la fonction D : p7→D(p)définie sur R+ à valeurs réelles est décroissante et que la fonctionO:p7→O(p)définie surR+ à valeurs réelles est croissante.
Si l’équationO(p) =D(P)admet ; une solutionp∗, on dit quep∗ est un prix d’équilibre du marché.
Avant d‘atteindre un niveau d’équilibre, le prix ppeut être soumis à des fluctuations provoquées par des excès d’offre (O(p))> D(p)) ou des excès de demande (D(p)> O(p))au cours du temps.
Afin de rendre compte de cette évolution, on note pour tout n∈N,pn la valeur du prix à l’instantn.
On suppose que la demande dépend de 1a valeur du prix selon la relationDn=D(pn)valable pour toutn∈N. Quant aux entreprises, elles adaptent à chaque instant n∈ N, la quantité offerte On à 1’instant n à un prix anticipé à l’instant (n−1), noté pbn, selon la relationOn =O(bpn), où pb0 peut être interprété comme un prix d’étude de marché.
On suppose qu’à chaque instant, l’offre est égale à 1a demande, c’est à dire : pour toutn∈N,On =Dn. Dans toute cette partie, on considère quatre paramètres réels .strictement positifsa,b,cetd, avec a > d, et on suppose que les fonctionsD etO sont définies surR+ par : D(p) =a−bpet O(p) =cp+d.
Par suite, on a pour toutn∈N,D(pn) =a−bpn etO(pbn) =cpbn+d.
1. Dans cette question uniquement, les réelsa,b,c et d ont les valeurs suivantes :a= 40,b= 8, c= 2 et d= 20.
On suppose quep0 et. p1 sont donnés et que pour tout entier n>2, on a : bpn= 2pn−1−pn−2
(a) Établir l’existence et l’unicité d’un prix d’équilibrep∗. Calculerp∗. (b) Montrer que pour toutn>2, on a : pn=−12pn−1+14pn−2+52.
(c) On pose pour toutn∈N:vn=pn−p∗. Montrer que(vn)n∈Nest une suite récurrente linéaire d’ordre 2.
(d) Calculer les solutions r1 etr2 de l’équation caractéristique de la suite (vn)n∈N. (e) Exprimer pour toutn∈N,pn en fonction de n,r1,r2,p0,p1 etp∗.
(f) Montrer que la suite (pn)n∈N est convergente. Quelle est sa limite ? Interpréter.
2. Soitβ un paramètre réel vérifiant0< β61. 0n suppose que le prixp0 est donné et que les anticipations de prix sont adaptatives, c’est-à dire que pour tout entiern>1, on a :pbn =pbn−1+β(pn−1−pbn−1).
(a) Exprimer pour tout n∈N, le prix courantpn en fonction du prix anticipé pbn.
(b) En déduire que pour toutn∈N∗, le prix pn vérifie 1’équation de récurrence suivante : pn=
1−βb+c b
pn−1+βa−d b
(c) Quel est le prix d’équilibrep∗? Déterminer l’expression depn en fonction de n,p0,p∗,b,cet β.
(d) En supposant que p0 6=p∗, montrer que la suite(pn)n∈N converge si et seulement si : cb < β2 −1.
Quelle est alors sa limite ?
(e) Étudier la convergence de 1a suite(pn)n∈N lorsquec < b.
