Td corrigé EXERCICES SUR LES INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES pdf

Intégrales généralisées

Objectifs

- Comprendre la définition de la convergence d'une intégrale généralisée, et l'utiliser pour en calculer la valeur.

- Savoir étudier la convergence (absolue) d'une intégrale généralisée, à l'aide de comparaisons, et/ou des critères de Riemann.

- Savoir effectuer un changement de variable dans une intégrale généralisée.

- Savoir effectuer une IPP dans les intégrales généralisées.

- Voir quelques exemples d'intégrales semi-convergentes.

Exercice 1 En utilisant la définition d'une intégrale généralisée, étudier la convergence des intégrales généralisées suivantes, et, lorsqu'elles convergent, calculer leur valeur.

I1= ^at

0^{ }e dt



^I2=



^0_{1 t²}^{dt I3=}



^{12 dx}_{x 1}

I4= ₁ dt t ln(t)



 ^I5= 0

dx 1 x²





 ^I6=



^0

_

_{t 1 t² 1}

_{ }

^t _

_

Exercice 2 Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes : 1- 0 ³

2

sin(x) dx x



 9- ₁^e 1

ln(x)dx



^17- 0^e^{x ²1} 1 dx

  

 



2-



0^sin ²(x)dx ^10-



^013ln(x)_{1 x} ^{dx 18-} 0¹

^

2

^

sh(x) x dx





3-



0^sin(x²)dx ^11-



^02_{sin (2x)}^{sin (3x)32 dx 19-} ₀²cos(x)ln(tan(x))dx





4-



0^



x 1 x² dx



^12-



0^ln(x)e dx^{2x 20-}



^1₂^{1x dx}

5- ^{x ²}

0^{ }e dx



^13- 0 ³

sin(x)

cos(x) dx

x

  

 

 



^21-



^2_{x ln(x)}

_

^dx

_

^

6- ₀¹ln(x) x dx



^14-



^{0sin(x)}_sh(x) ^{dx 22-}



⁰¹²_{x ln(x)}^{dx }

7- 0

arctan(x) x dx



 ^15- 0 ^x

e dx ch(x)





8- ₁

arctan(x) x 2 dx



 

 

 

 

 



^16-

^{ }   ^{ }

1 0 5

ln 1 sin(x) sh ln(1 x) th x dx

  



Exercice 3

1- Montrer que l'intégrale I = ₀ dt₄ 1 t





 est convergente. Pour la suite, on admet que I

= 2 4

 .

2 - On considère l'intégrale J = ^{0 t 1 t²}



^dt







 ^.

a- Montrer que J est convergente.

b- Utiliser, après l'avoir justifié, le changement de variable u = t pour calculer la valeur de J.

3 - Pour  > 0, on considère l'intégrale K() = ₀ arctan(t) t dt





 ^.

a- Pour quelles valeurs de  l'intégrale K() est-elle convergente ? b- Calculer K 3

2

  

 . Exercice 4

A l'aide d'une intégration par parties, montrer que



₁^{sin x² dx}

 

est convergente.

Exercice 5

1- Soit f une fonction de classe

C

¹, décroissante sur [a;+^[ telle que

Lim f

+ soit nulle. En intégrant par parties, montrer que ⁺

a^f(x).sin(x) dx et a^f(x).cos(x) dx

 

convergent.

2- Montrer que ⁺

2

sin²(x) x dx





 est divergente.

Indication : exprimer sin²x en fonction de cos(2x).

3- Montrer que ₀^{+ +}

2

sin(x) cos(x)

dx et dx

x x

 

 

 sont convergentes. Sont-elles

absolument convergentes ?

4- Soit a un réel strictement positif. Etudier la convergence de sin(x)

x dx et sin(x)

x . 1 + sin(x) x dx

a +

a

 +

 

^_^{ }_^ . Commenter.

Exercice 6

On définit la fonction f par f (x) =

1 x 0

t dt 1 t²



^.

1- Quel est le domaine de définition de f ? 2 - Calculer f (0) et f (1).

3-a- Montrer que : x > 1, f (x) = x 1 x

 f (x - 2).

(On pourra partir de f (x - 2) - f (x) et effectuer une intégration par parties) b- En déduire la valeur de f (2) et de f (3).

4 - Montrer que la fonction f est positive et décroissante sur Df.

5 - Prouver que : f

x D , f(x) 1

   x+1. En déduire la valeur de ^{Lim f (x)}_{x 1} . Exercice 7

1 - Pourquoi l'intégrale J = ₀¹ t 1 ln(t)dt



 peut-elle être considérée comme une intégrale ordinaire ?

2-a- Montrer que pour tout x ^ ]0,1[, ₀^x t ₀^{x ²} 1

dt du

ln(t)  ln(u)

 

^.

b- En déduire que J = _{x ²}^x

x 1

Lim 1 dt

ln(t)





 ^.

3 - Soit t^]0,1[. Déterminer un encadrement de - ln(t) en intégrant les inégalités

2

1 1

1 u u pour tout u^[t, 1]..

4 - En déduire un encadrement de _{x ²}^x 1 ln(t)dt



 puis la valeur de J.

Exercice 8

1-a- Montrer que l'intégrale I = ¹

0

ln(x) 1 x² dx



^converge.

b- A l'aide d'un changement de variable, montrer que I = ₁ ln(x) 1 x²dx

 



 ^.

2 - En déduire la valeur de J =

0

ln(x) a² x²dx





 , où a est un réel strictement positif.

Exercice 9

Pour n^, on définit In= ₂

 

0

sin (2n 1)x sin(x) dx

 



^{et Jn=} 0²

^{ }

sin (2n 1)x x dx

 



^.

1- Justifier l'existence de ces intégrales.

2 - Montrer que pour tout n^*, on a In – In-1= 0. En déduire la valeur de In pour tout n.

3-a- On définit la fonction f sur [0,1] par f(x) = 1 1

sin(x) x si x 0, 2

 

   et f (0) = 0.

Montrer que f est de classe C^l sur [0,1].

b- Donner la valeur de _n^{Lim I}_ ^{n Jn} à l'aide d'une intégration par parties, puis celle de

n n

Lim J

 .

4- En déduire, à l'aide d'un changement de variable dans Jn, la valeur de

0

sin(x) x dx



 ^.

Exercice 10

1 - Montrer la convergence de I = ^{t ²}

0^{ }e dt



^.

2 - Soit f la fonction définie sur  par f (x) = ^{ }

x 1 t ² 1 0

e dt

1 t²

 



 ^.

a- Montrer que _x^{Lim f (x)}_ = 0.

b- Montrer que f est dérivable sur  et que ^{1 x 1 t ² }

f '(x)



0e^{ } dtf(x) (on pourra appliquer le théorème de la moyenne à un taux d'accroissement de f).

3 - Pour x^, on définit F(x) = f (x²) +

 ^

^{0xe dtt ²}



^2.

Montrer que F est constante. En déduire la valeur de I.