Devoir surveillé 5
Exercice 1 (non spécialistes seulement BAC 2001) Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;~u; ~v):
On appellef l’application qui, à tout pointMd’a¢xez (z6=¡1)associe le pointM0d’a¢xez0 telle que z0 =¡iz¡2
z+ 1
Soient A; B etC les points d’a¢xes respectivesa=¡1; b= 2ietc=¡i
1. SoitC0 l’image du point C parf: Donner l’a¢xe c0 du point C0 sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
2. Calculer l’a¢xeddu pointDayant pour image parf le pointD0 d’a¢xed0= 1 2
3. Pour tout nombre complexezdi¤érent de¡1;on note½le module dez+ 1(c’est à direjz+ 1j=½) et½0 le module dez0+i(c’est à direjz0+ij=½0).
(a) Démontrer que, pour tout nombre complexez di¤érent de¡1;on a½½0 =p 5:
(b) Si le pointMappartient au cercle(¡)de centreAet de rayon2;montrer qu’alorsM0 =f(M) appartient à un cercle(¡0)dont on précisera le centre et le rayon.
4. Pour tout nombre complexez di¤érent de¡1;on considère le nombre complexe!= z¡2i z+ 1 (a) Interpréter géométriquement l’argument du nombre complexe!:
(b) Montrer que z0 =¡i!:
(c) Déterminer l’ensemble(F)des pointsM d’a¢xez telle quez0 soit un réel non nul.
(d) Véri…er que pointDappartient aux ensembles(¡)et(F):
5. Représenter les ensembles(¡);(F)et(¡0)en prenant4cm pour unité graphique.
Exercice 2 (spécialistes seulement BAC 2000) Dans le plan orienté, on considère un triangle direct OAB rectangle et isocèle en O:On a donc³¡!OA;¡!OB´
= ¼ 2[2¼]:
On note RA etRB les rotations de centres respectifsA etB et de même angle ¼
2;etSO la symétrie de centre O:
On place un point C;non situé sur la droite (AB); on trace les carrésBEDC etACF G directs. On a donc³¡!BE;¡!BC´
=¼
2[2¼]et³¡!AC;¡!AG´
= ¼ 2[2¼]: 1.
(a) DéterminerS(AO)±S(AB) composée de ré‡exions d’axes(AB)et(AO):
(b) En écrivantRBsous la forme d’une composée de deux ré‡exions, démontrer queRA±RB=SO: 2.
(a) Déterminer l’image deE parRA±RB:
(b) En déduire queOest le milieu du segment[EG]:
Devoir surveillé 5 2
(c) On noteRF etRD les rotations de centres respectifsF etDet de même angle ¼ 2: Etudier l’image deC par la transformationRF ±SO±RD:
Déterminer la transformationRF±SO±RD: (d) Placer Hle symétrique deDpar rapport àO:
Démontrer queRF(H) =D:
Démontrer que le triangleF ODest rectangle et isocèle enO:
Exercice 3 (BAC 2001) Dans tout l’exercice, C désigne la courbe d’équation y = lnxdans le plan rapporté à un repère orthonormal d’origine Oet d’unité graphique4cm.
Question préliminaire : tracer avec soin mais sans étude de la fonction, la courbeC et la droiteD d’équationy=x:
Partie A 1.
(a) Déterminer une équation de la tangente¢àC au pointId’abscisse 1:
(b) Etudier les variations de la fonctionf dé…nie sur ]0; +1[ parf(x) =x¡1¡lnx (c) En déduire la position deCpar rapport à¢:
2.
(a) Déduire de la question précédente la valeur minimale prise parx¡lnxsur]0; +1[: (b) M etN sont les points de même abscissexdes courbesC etDrespectivement.
Déterminer la plus petite valeur (exprimée en cm) prise par la distanceMN lorsque xdécrit ]0; +1[:
Partie B
1. SoitM le point d’abscissexde la courbeC:Exprimer la distanceOMde l’origine àMen fonction dex:
2. Etude de la fonction auxiliaireudé…nie sur]0; +1[paru(x) =x2+ lnx:
(a) Justi…er les limites deu(x)en0et en+1ainsi que le sens de variation deu:
(b) Montrer qu’il existe un réel®et un seul tel queu(®) = 0:
Justi…er que®est compris entre0;5et1puis donner une encadrement de®d’amplitude10¡2: (c) Déterminer le signe deu(x)suivant la valeur dex.
3. Etude de la fonctiong dé…nie sur]0; +1[parg(x) =x2+ (lnx)2: Calculerg0(x)et véri…er queg0(x) = 2
xu(x) En déduire le tableau de variation deg:
4. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de la plus courte distance de l’origine aux points de la courbeC et en donner une valeur approchée (exprimée en cm) en utilisant pour®la valeur centrale de l’encadrement trouvé à la question2b.
5. Aétant le point d’abscisse®deC; démontrer que la tangente enAest perpendiculaire à la droite (OA):
