Unpeudeg ´e om ´e trie...(partie2)

Activit´e de math´ematiques

Un peu de g´eom´etrie... (partie 2)

barycentre de deux points

D´efinition 1. Dans le Plan muni d’un rep`ere orthonormal, on d´efinit le barycentre de deux points pond´er´es (A;α) et (B;β) avec α+β 6= 0 comme le point Gdont les coordonn´ees sont les moyennes des coordonn´ees des points A et B avec les coefficients respectifs α et β :

xG = αxA+βxB

α+β ; yG= αyA+βyB

α+β

barycentre de trois points

D´efinition 2. Dans le Plan muni d’un rep`ere ortho- normal, on d´efinit le barycentrede trois points pond´e- r´es (A;α), (B;β) et (C;γ) avecα+β+γ 6= 0 comme le point Gdont les coordonn´ees sont les moyennes des coordonn´ees des points A, B et C avec les coefficients respectifs α, β etγ :

xG= αxA+βxB+γxC

α+β+γ ; yG= αyA+βyB+γyC

α+β+γ

Exercice 1

Dans le Plan muni d’un rep`ere orthonormal d’unit´e 1cm, on consid`ere les pointsA(−2; 1), B(7; 4) etC(2;−3).

1. (a) Tracer la droite (AB).

(b) On consid`ere le pointG1 =bar{(A; 1),(B; 1)}.

Calculer les coordonn´ees du point G1 puis le placer sur la figure.

(c) On consid`ere le pointG2 =bar{(A; 2),(B; 1)}.

Calculer les coordonn´ees du point G2 puis le placer sur la figure.

(d) On consid`ere le pointG3(4; 3).

Montrer que le pointG3 est un barycentre deA etB avec des coefficients que l’on d´eterminera.

2. On consid`ere le pointG4 =bar{(A; 1),(B; 2),(C; 3)}.

Calculer les coordonn´ees du point G4 puis le placer sur la figure.

Exercice 2

Placer les barycentres suivants sur la figure ci-dessous :

G1 = bar{(A; 2),(B; 3)}

G2 = bar{(A; 3),(B;−1)}

G3 = bar{(A;1

3),(B;−7 6)}

A B

Exercice 3

Exprimer les points G1, G2 et G3 de la figure ci-dessous comme barycentres des points A et B avec les pond´erations ad´equates.

A B

G1

G2 G3

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Exercice 4

On pose :

Gt=bar{(A; (1−t)²),(B; 2t(1−t)),(C;t²)} avec t∈[0; 1]

On consid`ere la figure suivante :

A

B

C

1. Calculer les pond´erations des pointsG0,G1,G¹

2,G¹

3,G²

3,G¹

4 etG³

4. 2. Placer ces points sur la figure pr´ec´edente.

3. Dessiner la courbe constitu´ee des pointsGt pour t∈[0; 1].

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