2
nde: AP (15 mai)
I
Soit ABCD un rectangle. Le point E appartient au segment [AB] tel que AE=2
3AB et le point F appartient au segment [BC] tel que BF=1 3BC.
A B
C D
E F
Méthode 1 : solution analytique 1. Dans le repère (A;−→
AB ;−→
AD), quelles sont les coordonnées des points A, B, C, D, E, F ?
2. Démontrer que les vecteurs−→
AC et−→
EF sont colinéaires. Que peut-on en déduire ?
Méthode 2 : solution vectorielle
Démontrer (à l’aide de la relation de Chasles) que−→ EF=1
3
−→AC. Que peut-on en déduire pour les droites (EF) et (AC) ?
Méthode 3 : utilisant les configurations
En utilisant la réciproque du théorème de Thalès, démontrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles.
II Autour d’un mot caché
Construire les 18 pointsC,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,P,Q,R,S,T etUdéfinis respectivement par les égalités vectorielles ci-dessous : Tous les vecteurs seront construits au crayon à papier et les 18 points seront marqués au stylo. Gommer ensuite tous les vecteurs qui ont servi à la construction des points, ainsi qu’éventuellement tous les points inutiles, pour ne garder que les points O, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, P, Q, R, S, T et U. Tracer alors au stylo les segments [FG], [FC], [DE], [BI], [BJ], [OA], [IH], [MN], [LK], [RQ], [RS], [SU], [QR] et [PT].
Vous découvrez alors le mot caché ! Égalités vectorielles :
−−→ OC= −
5 2
−−→ O A−−−→
OB ; −−→
C D=−−→
OB ; −→
C E=−−→ O A+−−→
OB ; −−→
DF=−−→
OB ; −−→
DG=2−−→ O A+−−→
OB
−−→OH=2−−→ O A−−−→
OB ; −→
H I= −2−−→
O A ; −→ B J=2−−→
O A ; −−→
H K=3 2
−−→
O A ; −→
K L=2−−→ OB
−−→LM= −−−→
O A ; −−→
AN=7 2
−−→ O A+−−→
OB ; −→
AP=4−−→
O A ; −−→ PQ=2−−→
O A+−−→
OB ; −−→
QR= −2−−→ O A
−→RS= −2−−→
OB ; −→
ST=−−→ O A+−−→
OB ; −−→
T U=−−→ O A−−−→
OB
.
b b
b
O A
B
III
Soit³ O;→−
i ;−→ j´
un repère orthonormé du plan.
Soient les points A( -4 ; -3), B(2 ; 0) et C( -1 ; 5).
1. Faire une figure.
2. Déterminer les coordonnées des points l et J, milieux res- pectifs de [AB] et [BC] et placer les points sur la figure.
3. Déterminer les coordonnées du point G tel que−→
GA+−→
GB+
−→GC=→−
0 et placer le point G sur la figure.
4. Les vecteurs−→
CG et−→
CI sont-ils colinéaires ? 5. Les points G, J, A sont-ils alignés ? 6. Que représente G pour le triangle ABC ?
I
Première méthode :
1. A(O ; 0), B(1 ; 0), C(1 ; 1), D(0 ; 1), E µ2
3; 0
¶ et F
µ 1 ; 1
3
¶ .
2. −→
AC µ1
1
¶
;−→
E F µ1
3; 1 3
¶
. Il est clair que−→
E F=1 3
−→ACdonc que les deux vecteurs sont colinéaires.
Deuxième méthode
−→E F=1 3
−→AB+1 3
−→BC=1 3
³−→
AB+−→
BC
´
=1 3
−→AC
Troisième méthode
B, E et A sont alignés ; B, F et C sont alignés dans le même ordre.
BE B A=1
3etBF BC =1
3donc BE B A=BF
BC.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites [RF] et (AC sont parallèles.
II
b
O
b
A
b
B
b
C
b
D
b
E
b
F
b
G
b
H
b
I
b
J
b
K
b
L
b
M
b
N
b
P
b
b
R
b
S
b
T
b
