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Conclure que, pour tout k ∈N∗, 10k ≡4 [6]

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Academic year: 2022

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TS3&4 – spécialité mathématiques octobre 2016 Devoir à la maison n2 – À rendre le vendredi 4 novembre 2016

Exercice 1

1. Vérifier que106 ≡1 [7].

2. a. Démontrer que, pour tout entier k >1,4k−1 ≡1 [3].

b. En déduire que, pour tout k ∈N,4k ≡4 [6].

c. Conclure que, pour tout k ∈N, 10k ≡4 [6].

3. Déduire des questions précédentes que 7divise

2 016

X

k=1

10(10k).

Exercice 2

1. a. Soit n ∈Z. Déterminer les restes possibles dans la division euclidienne de n3 par 9.

b. Soitk ∈Z. Démontrer que le nombre 9k+ 4ne peut pas s’écrire comme la somme de 3 cubes d’entiers.

2. a. Soit n ∈Z. Déterminer les restes possibles dans la division euclidienne de n4 par 16.

b. Soita ∈Net r le reste de a modulo16. Démontrer que si le nombre a peut s’écrire comme la somme de m puissances quatrièmes d’entiers alors m>r.

Exercice 3 (facultatif ). — Résoudre dans N2 l’équation2x−3y = 1 d’inconnue (x;y).

TS3&4 – spécialité mathématiques octobre 2016

Devoir à la maison n2 – À rendre le vendredi 4 novembre 2016 Exercice 1

1. Vérifier que106 ≡1 [7].

2. a. Démontrer que, pour tout entier k >1,4k−1 ≡1 [3].

b. En déduire que, pour tout k ∈N,4k ≡4 [6].

c. Conclure que, pour tout k ∈N, 10k ≡4 [6].

3. Déduire des questions précédentes que 7divise

2 016

X

k=1

10(10k).

Exercice 2

1. a. Soit n ∈Z. Déterminer les restes possibles dans la division euclidienne de n3 par 9.

b. Soitk ∈Z. Démontrer que le nombre 9k+ 4ne peut pas s’écrire comme la somme de 3 cubes d’entiers.

2. a. Soit n ∈Z. Déterminer les restes possibles dans la division euclidienne de n4 par 16.

b. Soita ∈Net r le reste de a modulo16. Démontrer que si le nombre a peut s’écrire comme la somme de m puissances quatrièmes d’entiers alors m>r.

Exercice 3 (facultatif ). — Résoudre dans N2 l’équation2x−3y = 1 d’inconnue (x;y).

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