A50232. Ecart de puissances
De combien de façons peut-on représenter, comme différence d’une puissance de 2 et d’une puissance de 3,
a/ le nombre 7 ? b/ le nombre 5 ? Solution
a/ Si 7 = 2n−3m, les restes modulo 3 montrent quendoit être pair ; comme n = 0 ne convient pas, n ≥ 2, et les restes modulo 4 montrent que m est pair aussi. Alors 7 se factorise en (2n/2+ 3m/2)(2n/2−3m/2). Comme 7 est premier, les deux facteurs sont 7 et 1,n= 4, m= 2.
Si 7 = 3m−2n, on voit de même que ndoit être impair. n= 1, m= 2 est une solution ; sin >1, les restes modulo 4 montrent quemest impair. Mais, avec m impair, le reste modulo 7 de 3m est 3, 5 ou 6, alors que 2n a pour reste 1, 2 ou 4 : il n’y a pas de solution avecn >1.
En conclusion, 7 = 24−32= 32−21 sont les seules solutions.
b/ Si 5 = 3m−2n, les restes modulo 3 montrent quendoit être pair ; comme n = 0 ne convient pas, n ≥ 2, et les restes modulo 4 montrent que m est pair aussi. Alors 5 se factorise en (3m/2+ 2n/2)(3m/2−2n/2). Comme 5 est premier, les deux facteurs sont 5 et 1,n=m= 2, 5 = 32−22.
Si 5 = 2n−3m, les restes modulo 3 montrent quendoit être impair ; comme n > 2, les restes modulo 4 montrent que m est impair aussi. On voit faci- lement les solutions 5 = 23−31 = 25−33, mais y en a-t-il d’autres ? C’est toute la difficulté, il faudra slalomer un peu plus entre les modules pour montrer que la puissance de 2 n’est pas plus de 32.
On va s’aider des modules 17 et 64 qui divisent tous deux 316−1, alors que 17 divise 28−1.
D’abord, modulo 3, 5 = 2n−3m exige nimpair. Ainsi, modulo 8,n a pour reste 1, 3, 5 ou 7. Modulo 17, 2n a pour reste 2, 8, 15 ou 9. Modulo 17, 3m a donc pour reste 14, 3, 10 ou 4.
Cela fournit les restes possibles demmodulo 16 : 9, 1, 3 ou 12. Il en découle les restes possibles de 3m modulo 64 : 35, 3, 27 ou 49, puis les restes possibles de 2n modulo 64 : 40, 8, 32 ou 54.
Pas de valeur 0 dans cette dernière liste, donc pas de solution avec n ≥6.
Les puissances de 2 qui y apparaissent sont 8 et 32, et donnent les deux seules solutions.
