G 462. Partage du gros lot.
Zig, Puce et Alfred le pingouin ont gagné à la loterie une somme S qui est un nombre entier impair d’euros. Ils constatent qu’il y a au maximum 2011 façons de répartir S en trois montants entiers d’euros de sorte que chacun ne reçoit jamais deux fois ou plus le même montant, éventuellement nul.
Déterminer S.
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Solution proposée par Michel Lafond
Supposons qu’on puisse trouver n triplets (ai, bi, ci) d’entiers naturels [i = 1, 2 --- n] de même somme S, et tels que les ai (les bi, les ci) soient tous distincts.
La somme des ai est au minimum égale à 0 + 1 + --- + (n – 1) = (n – 1) n / 2. Donc la somme cumulée des ai des bi et des ci est au minimum égale à 3 (n – 1) n / 2.
Mais cette somme vaut par hypothèse 3 S. Donc on a : 3 (n – 1) n / 2 n S d’où on tire : n 2/3 S + 1.
Si S = 3014 il y a au plus 2010 triplets possibles ; Si S = 3015 il y a au plus 2011 triplets possibles ; Si S = 3016 il y a au plus 2011 triplets possibles ; Si S = 3017 il y a au plus 2012 triplets possibles etc.
On ne s’intéresse qu’aux S impairs, donc si on montre que pour S = 3015 il y a effectivement 2011 triplets possibles et que pour S = 3017 il y a effectivement 2012 triplets possibles, la seule réponse sera S = 3015.
Le tableau ci-dessous montre que pour S = 3015 il y a effectivement 2011 triplets possibles :
La vérification est quasi immédiate, car si on examine dans la colonne bi (ou la colonne ci ) les termes de rang pair et les termes de rang impair, on constate que cette colonne contient une fois et une seule les entiers de 0 à 2010..
Le tableau ci-dessous montre que pour S = 3017 il y a effectivement 2012 triplets possibles : Le triplet numéroté 0 n’obéit pas à la règle générale suivie par les 2011 autres triplets.
Là aussi, la vérification est quasi immédiate,
i ai bi ci somme
1 0 1005 2010 3015
2 1 2010 1004 3015
3 2 1004 2009 3015
4 3 2009 1003 3015
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2 i 2 i 1 2011 – i 1005 – i 1 i 1005
2 i + 1 2 i 1005 – i 2010 – i 0 i 1005
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2007 2006 2 1007 3015
2008 2007 1007 1 3015
2009 2008 1 1006 3015
2010 2009 1006 0 3015
2011 2010 0 1005 3015
Le nombre maximum de triplets (2011) n’est atteint, pour S impair, que pour S = 3015.
Remarque : Pour S pair, S = 3016 convient.
i ai bi ci Somme
0 0 0 3017 3017
1 1 1006 2010 3017
2 2 2011 1004 3017
3 3 1005 2009 3017
4 4 2010 1003 3017
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2 i 2 i 2012 – i 1005 – i 1 i 1005
2 i + 1 2 i + 1 1006 – i 2010 – i 0 i 1005
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2007 2007 3 1007 3017
2008 2008 1008 1 3017
2009 2009 2 1006 3017
2010 2010 1007 0 3017
2011 2011 1 1005 3017
