E6901 − Inégalités triangulaires

E6901 − Inégalités triangulaires Problème proposé par Pierre Jullien

Soit un triangle ABC dont les dimensions des côtés AB = c, AC = b et BC = a sont classées dans l'ordre croissant : c ≤ b ≤ a avec a < b + c.

L'indice d'inégalité I de ce triangle est le plus petit des deux rapports b/c et a/b : I = min{b/c, a/b}.

Plus I est petit et proche de 1, plus le triangle se rapproche d'un triangle isocèle avec au moins deux côtés de dimensions très proches. À l'inverse, plus I est grand, plus le triangle peut être considéré comme "inégal", en d'autres termes le "moins isocèle possible".

Q₁ Déterminer la valeur plafond de I.

Q₂ Construire le triangle le plus inégal possible tel que le plus grand côté BC est égal à 10 cm et la hauteur issue de A est égale à 1 cm.

Solution par Patrick Gordon Q₁

On peut, sans restreindre la généralité, prendre c comme unité.

Il faut alors que : 1 ≤ b ≤ a < b + 1 soit encore :

1 ≤ a/b < 1 + 1/b

 si b  1 + 1/b, c’est-à-dire si b   ("phi, nombre d'or" = (1+5)/2) I = min{b, a/b}= a/b et le maximum de I = a/b est 1 + 1/ = .

 si b < 1 + 1/b, c’est-à-dire si b <  b et a/b sont tous deux < 1 + 1/b.

Si le plus petit est a/b, on est dans le cas précédent.

Si le plus petit est b, on a : 1 ≤ b ≤ a/b < 1 + 1/b Donc en particulier :

1 ≤ b < 1 + 1/b

Donc b <  et, comme dans ce cas I = b, le maximum de I est  Q2

Soit H le pied sur BC de la hauteur issue de A.

Partons de a/b = k arbitraire et itérons sur k jusqu'à ce que I = min{b/c, a/b} soit le plus grand possible.

On fera le calcul comme suit :

a = BC = 10 b = AC = 10/k CH = ( AC² – AH²) BH = 10 – CH c = AB = (BH² + 1) D'où c, d'où b/c, à comparer à a/b.

Avec a/b = k = , on trouve b/c = 1,53463854 donc I = min{b/c, a/b}= 1,53463854.

En itérant sur k, on trouve la plus grande valeur possible de I = min{b/c, a/b}; elle est obtenue pour l'égalité de ces deux ratios et vaut :

I = a/b = b/c = 1,5939851.

Le triangle :

BC 10

AC 6,2735845 AB 3,9357862 BH 3,8066275 CH 6,1933725

est "le plus inégal" possible avec BC = 10 et AH = 1.

On remarque que I =  ne peut pas être atteint avec ces données. Le calcul indique qu'il peut l'être avec AH inchangé = 1 et BC = 10,2102…