G112 Trois réponses à départager[*** à la main]
Solution de Daniel Collignon
C’est le fameux « problème des cordes sur un cercle » plus connu sous le nom de « paradoxe de Bertrand ».
Les différents résultats proviennent de l’application de la formule bien connue : « Probabilité
= nombre de cas favorables / nombre de résultats possibles »
Sachant qu’ici nous raisonnons dans un cas continu et qu’il est question de rapport d’aires (intégrales) et que la clef réside dans la manière de définir ce que signifie « tracer une corde au hasard » (densité).
En fait selon la manière de définir la distribution des cordes, on peut aboutir à tout nombre dans ]0 ;1[.
Exemple par le tirage du milieu de la corde :
Tout d’abord le cas où l’on tire 1 point au hasard à l’intérieur du cercle, on montre que la probabilité vaut 1/4, le cas favorable étant celui où le point se trouve dans un cercle de rayon 1/2.
Ensuite imaginons une extension de ce tirage :
D’abord on réalise un premier tirage équiprobable de n>=1 points à l'intérieur du cercle.
Ensuite on en choisit un selon un second tirage non nécessairement équiprobable.
Un cas particulier intéressant est celui où l’on classe les points par distance au centre
croissante, et on sélectionne le plus proche (ou un parmi les plus proches en cas d’égalité) ou le plus éloigné. On montre que la probabilité vaut 1-(3/4)^n si l’on sélectionne le plus proche, et (1/4)^n si on sélectionne le plus éloigné.
La littérature sur le sujet est abondante sur Internet, par exemple :
http://perso.wanadoo.fr/therese.eveilleau/pages/paradoxe/textes/bertrand.htm http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/pdf/proba/corde.pdf
http://www-ensps.u-strasbg.fr/enseignants/harthong/Hist/BERTRAND.HTM
Le dernier lien semble donner des arguments assez solides en faveur d’une probabilité à 1/2.
