G112 Trois réponses à départager[*** à la main]
Solution de Jean Moreau de Saint Martin
On peut soutenir que les 3 réponses proposées sont fausses : le milieu d'une corde plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit est intérieur à un cercle de rayon moitié et d'aire 4 fois plus petite. Il y a bijection entre les cordes d'un cercle et leurs milieux. Si ceux-ci sont répartis dans l'intérieur du cercle donné avec une densité de probabilité constante, la bonne probabilité est 1/4.
Pour être un peu plus sérieux, on peut dire que chaque mode d'intervention du hasard peut justifier une réponse différente. Par exemple, on obtient la probabilité 1/2 si la distance du centre à la corde est prise entre 0 et 1 avec densité de probabilité constante.
Si chacune des extrémités de la corde est prise au hasard sur le cercle avec densité de probabilité constante, on obtient la probabilité 1/3. De même si la longueur de la corde est prise au hasard entre 0 et 2 avec densité de probabilité constante, on obtient
2 3
