Université Hassan II Mr OUIA AZIZ Faculté des Sciences Juridiques 2019/2020 Economiques et Sociale
Mohammedia
Probabilité S2
Partie II : Variables aléatoires, lois de probabilité et fonction de répartition
Chapitre II : Variable aléatoire à deux dimensions.
Jusqu’à présent nous nous sommes intéressés qu’aux distributions à une seule variable aléatoire. Or, il y a également des cas où on est en face d’un événement composite de deux ou plus de variables aléatoires.
Exemple :
Dans une entreprise, on peut considérer, dans le cas d’une machine, à la fois le nombre X de pannes et le nombre Y de pièces rechangées par semaine.
Lois conjointe :
La loi conjointe des variables aléatoires X et Y s’obtient à partir d’un tableau à double entrées appelé tableau croisé ou tableau de contingence :
ƒ(xi ; yj) = P(X=xi ; Y=yj) =Pij. (Probabilité des unités statistiques de la ième ligne et la jème colonne)
Lois marginales :
Soit la variable aléatoire (X ; Y) à deux dimensions admettant comme loi conjointe ƒ(xi ; yj). Les lois marginales de X et Y sont définies respectivement par : ƒ(xi) = P(X=xi)=
= m
j 1
ƒ(xi ; yj) avec i=1, 2, …..=n. (n lignes) ƒ(yj) = P(Y=yj)=
= n
i1
ƒ(xi ; yj) avec j=1, 2, …..=m. (m colonnes) Loi conjointe de la variable aléatoire (X ; Y)
y1 y2 y3 … yj … ym Marge x1 P11 P12 P13 … P1j … P1m P1.
x2 P21 P22 P23 … P2j … P2m P2.
x3 P31 P32 P33 … P3j … P3m P3.
x4 P41 P42 P43 … P4j … P4m P4.
… … … …
xi Pi1 Pi2 Pi3 … Pij … Pim Pi.
… … … …
xn Pn1 Pn2 Pn3 … Pnj … Pnm Pn.
Marge P.1 P.2 P.3 … P.j … P.m P..
Loi marginale de X X Marge x1 P1.
x2 P2.
x3 P3.
x4 P4.
… …
xi Pi.
… …
xn Pn.
Total P..
Loi marginale de Y Marge y1 P.1
y2 P.2
y3 P.3
… ..
yj P.j
…
ym P.m
Total P..
Distribution conditionnelle
Soit la variable aléatoire (X ; Y) à deux dimension admettant comme loi de probabilité conjointe ƒ(xi ; yj) et comme lois marginales ƒ(xi) et ƒ(yj).
Si P(Y=yj)0 alors :
ƒ(xi/yj)= P(X=xi /Y=yj)= P(X=xi et Y=yj)/ P(Y=yj) Si P(X=xj)0 alors :
ƒ(yj/xi)= P(Y=yj /X=xi)= P(Y=yj et X=xi)/ P(X=xi)
Lorsque X et Y prennent respectivement n et m valeurs (modalités) alors, il y aura (n+m) variables aléatoires conditionnelles.
Exemple : Soit la distribution conjointe de X et Y suivante : y1=1 y2=2 y3=3 Marge
x1=0 0,16 0,10 0,04 0,30 x2=1 0,03 0,20 0,12 0,35 x3=2 0,03 0,14 0,18 0,35 Marge 0,22 0,44 0,34 1
1. Donner les lois marginales de X et Y
2. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant que Y=2.
3. Sachant que X est égal à 0, quelle est la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2 ?
1.
Loi marginale de X Marge x1=0 0,30 x2=1 0,35 x3=2 0,35 Loi marginale de Y
Marge Y1=1 0,22 Y2=2 0,44 Y3=3 0,34 2.
P(X=xi /Y=2)= P(X=xi et Y=2)/ P(Y=2) On obtient les probabilités suivantes :
P(X=0 /Y=2)= P(X=0 et Y=2)/ P(Y=2)=0,10/0,44=0,23 P(X=1 /Y=2)= P(X=1 et Y=2)/ P(Y=2)=0,20/0,44=0,45 P(X=2 /Y=2)= P(X=2 et Y=2)/ P(Y=2)=0,14/0,44=0,32
P(X=xi /Y=2) x1=0 0,23 x2=1 0,45 x3=2 0,32 3.
P(Y2 /X=0) = [P(Y=2 et X=0) +P(Y=3 et X=0)]/ P(X=0) = (0,10+0,04)/0,30
= 0,47
Variables aléatoires indépendantes
Soit la variable aléatoire (X ; Y) à deux dimension admettant comme loi de probabilité conjointe ƒ(xi ; yj) et comme lois marginales ƒ(xi) et ƒ(yj). Les variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes lorsqu’on a pour toutes les valeurs (xi ; yj) :
ƒ(xi ,yj) = ƒ(xi) *ƒ(yj) ou
P(X=xi /Y=yj)= P(X=xi )
P(Y=yi /X=xj)= P(Y=yj)
Exemple : Soit la distribution conjointe de X et Y suivante : y1=1 y2=2 y3=3 Marge
x1=0 0,16 0,10 0,04 0,30 x2=1 0,03 0,20 0,12 0,35 x3=2 0,03 0,14 0,18 0,35 Marge 0,22 0,44 0,34 1 Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
Pour que les variables aléatoires X et Y ne soient pas indépendantes il suffit de trouver un contre-exemple c’est-à-dire, il suffit de trouver une valeur de (X ; Y) pour laquelle la relation ƒ(xi ,yj) = ƒ(xi) *ƒ(yj) n’est pas vérifié.
ƒ(xi =1 , yj =2) = 0,20
ƒ(xi =1) =0,35 et ƒ(yj =2) =0,44
ƒ(xi =1) *ƒ(yj =2) = 0,35 *0,44 = 0,154
On remarque que : ƒ(xi =1 , yj =2) ƒ(xi =1) ƒ(yj =2) Donc, X et Y ne sont pas indépendants.
L’espérance mathématique
E(X)=∑𝑖=𝑛𝑖=1𝑋𝑖 ∗ 𝑃𝑖. (dans le cas de n modalités lignes) E(Y)=∑𝑗=𝑚𝑗=1 𝑌𝑗 ∗ 𝑃.𝑗 (dans le cas de n modalités colonnes) Variance :
V(X)=E(X²)-[E(X)]²= ∑𝑖=𝑛𝑖=1𝑃²𝑖.∗ 𝑋𝑖 – (∑𝑖=𝑛𝑖=1𝑃𝑖.∗ 𝑋𝑖)² V(Y)=E(Y²)-[E(Y)]²= ∑𝑗=𝑚𝑗=1 𝑃².𝑗 ∗ 𝑌𝑗 – (∑𝑗=𝑚𝑗=1 𝑃².𝑗 ∗ 𝑌𝑗)² Propriétés de l’espérance mathématique et d la variance E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(X - Y) = E(X) - E(Y) E(X*Y) = E(X)*E(Y)
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + Cov(X ; Y) V(X - Y) = V(X) + E(Y) - Cov(X ; Y)
V(X*Y) = [E(X)]²*(Y)+[E(Y)]²*(X)+V(X)*(Y) Cov(X ; Y) = E[(X-E(X))*(Y-E(Y))]
= E(X*Y) - E(X)*(Y)=Pij*xi*yj-E(X)*E(Y)
Lorsqu’on a deux variables aléatoires X et Y, de covariance cov(X ; Y) et d’écart-type respectif σ(X) et σ(Y) on définit leur coefficient de corrélation ρ(X ; Y) par :
= Cov(X ; Y)/[(X)*(Y)]
Exemple : Soit la distribution conjointe de X et Y suivante :
y1=1 y2=2 y3=3
x1=0 0,16 0,10 0,04 0,30 x2=1 0,03 0,20 0,12 0,35 x3=2 0,03 0,14 0,18 0,35
0,22 0,44 0,34 1 1. Calculer E(X), E(X²), V(X) et (X).
2. Calculer E(Y), E(Y²), V(Y) et (Y).
3. Déterminer la loi de probabilité de Z=(X+Y) 4. Déterminer la loi de probabilité de V=(X*Y)
5. Calculer la covariance de X et Y ainsi que le coefficient de corrélation.
6. Les variables X et Y sont-elles-indépendantes ? 1.
Xi Pi. 𝑃𝑖. ∗ 𝑋𝑖 𝑃𝑖.2∗ 𝑋𝑖
x1=0 0,3 0 0
x2=1 0,35 0,35 0,35
x3=2 0,35 0,7 1,4
1 1,05 1,75
E(X)=∑𝑖=3𝑖=1𝑃𝑖.∗ 𝑋𝑖=1,05 E(X²)=∑𝑖=3𝑖=1𝑃²𝑖.∗ 𝑋𝑖=1,75
V(X)=E(X²)-[E(X)]²=1,75-1,05²=0.6475
(X)=√𝑉(𝑋)=0,805 2.
𝒀𝒋 𝑷.𝒋 𝑷.𝒋 ∗ 𝒀𝒋 𝑷².𝒋∗ 𝒀𝒋
y1=1 0,22 0,22 0,22
y2=2 0,44 0,88 1,76
y3=3 0,34 1,02 3,06
1 2,12 5,04
E(Y)=∑𝑗=3𝑗=1𝑃.𝑗 ∗ 𝑌𝑗=2,12 E(Y²)= ∑𝑗=3𝑗=1𝑃².𝑗 ∗ 𝑌𝑗=5,04
V(Y)=E(Y²)-[E(Y)]²=5,04-2,12²=0.5456
(Y)= √𝑉(𝑌)=0,739 3.
X+Y y1=1 y2=2 y3=3
x1=0 1 2 3
x2=1 2 3 4
x3=2 3 4 5
Loi de probabilité de Z
Z=X+Y P
1 1/9
2 2/9
3 3/9
4 2/9
5 1/9
4.
Z=X*Y y1=1 y2=2 y3=3
x1=0 0 0 0
x2=1 1 2 3
x3=2 2 4 6
Loi de probabilité de V V=X*Y P
0 3/9 1 1/9 2 2/9 3 1/9 4 1/9 6 1/9 5.
Cov(X ; Y) = E[(X-E(X))*(Y-E(Y))]
= E(X*Y) - E(X)*(Y)=Pij*xi*yj-E(X)*E(Y) Pij*xi*yj y1=1 y2=2 y3=3
x1=0 0 0 0
x2=1 0,03 0,4 0,36 x3=2 0,06 0,56 1,08
Cov(X ; Y) = E(X*Y) - E(X)*(Y)= Pij*xi*yj-E(X)*E(Y)=2,49-1,05*2,12=0,264
= Cov(X ; Y)/[(X)*(Y)]=0,,264/(0,805*0,769)=0,513=51,3%
Il s’agit d’une relation moyenne entre X et Y
Exercice 1 : Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes et de même loi, donnée par P(X = 1) = P(X = −1) =1/4 et P(X = 0) =1/2.
1. Déterminer la loi du couple (X+Y ; X*Y), ses lois marginales, E(X + Y) et E(XY).
2. Calculer Cov(X ; X + Y). Les variables aléatoires X et X+Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 2 : Soit (X ; Y ) un couple de variables aléatoires dont la loi est donnée par le tableau suivant :
X\Y -1 0 1
-1 P/4 q/4 P/4
0 q/8 ? q/8
1 P/4 q/4 P/4
Avec p ∈]0;1[ et q = 1−p. 1.
1. Calculer P(X = 0 ;Y = 0) et les lois marginales de X et de Y.
2. Calculer Cov(X ; Y ). Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 3 : Soit (X ;Y ) un couple de variables aléatoires dont la loi est donnée par le tableau suivant :
X\Y 1 2 3
-1 0,1 0,3 0,1
1 0,2 ? 0,2
1. Déterminer les lois marginales et calculer E(X), E(Y ), V(X) et V(Y) .
2. Calculer la covariance de X et Y. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
3. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant Y = 1.
