Université Hassan II -Casablanca- OUIA AZIZ Faculté des Sciences Juridiques Economiques 2019/2020 Et sociales -Mohammedia-
Probabilité : S2
Partie III : Lois de probabilité d'une variable aléatoire discrète.
Quand le nombre d’expériences augmente d’une manière très élevée alors, les fréquences observées pour la variable étudiée tendent vers des probabilités et les distributions observées vers les distributions de probabilité ou loi de probabilité.
Dans ces conditions, on peut associer à une variable aléatoire une probabilité et définir ainsi une loi de probabilité.
La détermination de la loi de probabilité1 suivie par une variable aléatoire donnée est d’une grande importance car, elle conditionne le choix des méthodes employées pour répondre à une question donnée.
Une loi discrète prend soit un nombre fini de valeurs soit un nombre infini dénombrable de valeurs. Après la loi uniforme (constante) qui représente l'équi-répartition, le modèle le plus simple est celui avec deux valeurs (loi binaire ou encore loi de Bernoulli). Vient ensuite le modèle binomial, somme de lois Bernoulliennes). Enfin, le modèle poissonnien, avec une infinité de valeurs.
I. Loi uniforme
On dira qu’une variable aléatoire X définie sur un espace probabilisé (Ω , P) est distribuée selon une loi uniforme, si elle ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs. Chaque valeur a la même probabilité. Autrement dit, si l’ensemble des valeurs que peut prendre X est SX = {s1, ..., sp}, P(X = si) = 1/p, pour tout 1 ≤ i ≤ p.
(Si s1=1, s2=2,.. sn=n alors :
1 La détermination d’une loi de probabilité est très développée dans les ouvrages d’inférence statistique. Pour plus de détail, voir
« Exercice et problèmes statistiques » et « principes de statistiques mathématique » du même auteur OUIA AZIZ
Exemple : On suppose que la variable aléatoire X distribuée selon une loi uniforme sur l’ensemble X(Ω) = {−3,−2,1,4}.
1) Donner la loi de X.
2) Calculer E(X) et V (X).
On définit la variable aléatoire Y = 2X + 1.
3) Donner la variable aléatoire Y : Y(Ω).
4) Calculer E(Y).
Selon l’énoncé de l’exercice, la loi de X est uniforme et la probabilité d’avoir X = x pour tout élément x de X(Ω) est donc constante. De ce fait, cette probabilité est égale à . La loi de X est donc résumée par le tableau suivant :
x -3 -2 1 4
P(X=x)
L’espérance de X est donnée par :
E(X) = = = 0.
Pour calculer la variance, on utilise la formule V(X) = E(X²)−(E(X))²
V(X)= E(X²)−(E(X))² =
= ((−3)² + (−2)² + 1² + 4²) = 7.
Soit Y = 2*X + 1. Le tableau suivant donne la valeur de Y pour toutes les valeurs possibles de X :
x -3 -2 1 4
Y=2*X+1 -5 -3 3 9
On a donc Y (Ω) = {-5, -3, 3, 9}. Y est également une variable discrète, Pour calculer E(Y), on peut appliquer différentes méthodes. On va utiliser une propriété de l’espérance mathématique.
Pour tout réel a et b, et toute variable aléatoire X, E(a*X + b) = a*E(X) + b. Dans notre cas, on a donc E(Y ) = 2*E(X) + 1 =2*0+ 1=1.
II. La loi de Bernoulli.
Considérons l’exemple suivant, qui résume en fait de nombreuses situations pratiques comme nous le verrons ultérieurement : Une pièce de monnaie a deux faces (pile et face). Désignons par X la variable aléatoire
suivante : résultat du ième lancement avec Xi = 1 (si le lacement donne Pile)
; 0 sinon (si le lancement donne Face).
Xi à valeurs 1 ou 0, avec une probabilité p ou (1-p) respectivement, est appelée variable de Bernoulli.
Si nous supposons que le tirage est effectué d’une manière aléatoire, chaque résultat (Pile ou face) a une même probabilité. La probabilité du résultat [Pile] est égale à la somme des probabilités d’avoir après chaque lancement un résultat Pile, soit :
p = P[ résultat = Pile] =P/(P+F)
En outre, les variables Xi sont indépendantes (le tirage i n'est pas influencé par les tirages antérieurs) et de même loi.
La moyenne de la loi de Bernoulli
P(Xi=1) = p ; P(Xi=0) = 1-p = q
E(Xi) = 1*p + 0*(1-p) = p
La variance de la loi de Bernoulli
Var(Xi) = 1²*p+ 0²*(1-p) - E(Xi)² = p- p² = p*(1-p) = p*q Remarque :
On appelle processus de Bernoulli toute modélisation par une suite X1, X2, X3, . . ., Xn de variables aléatoires (indépendantes et identiquement distribuées), chacune distribuée selon une loi de Bernoulli B(p). Plusieurs exemples de lois peuvent être donnés comme étant des comptages, menant à des lois différentes :
✓ Loi Binomiale : comptage avec répétition des succès ;
✓ Loi Géométrique : comptage des échecs avant d’atteindre le premier succès ;
✓ Loi BinomialeNégative : comptage des échecs avant d’atteindre le kième succès () ;
✓ Loi de poisson : comptage de nombre d’événements dans un intervalle de temps.
Exercice 1 : Soit une urne contenant des boules blanches en proportion p=0,8 et des boules rouges en proportion q=(1–p) et soit X la variable aléatoire qui consiste à tirer une boule blanche est un succès.
Quelle est la nature de la loi de probabilité de X ?
Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli car dans cette épreuve le tirage d’une boule blanche est un succès avec une probabilité p =80% avec (0 p 1) et le tirage d’une boule rouge est un échec avec la probabilité q = 1 – p=20%.
Dans ce cas, La loi suivie par le nombre de succès dans cette épreuve de Bernoulli est une loi de Bernoulli.
Quelle est l'espérance de X ?
On peut associer au tirage d’une boule blanche « succès » la valeur 1 et celui du tirage d’une boule rouge « échec » la valeur 0 on obtient alors :
E(X) = 1*p + 0*(1-p) = p=0,8 V(X) = p*q=0,8*0,2==0,16
III. La loi Binomiale.
On considère maintenant n épreuves de Bernoulli (avec n > 1), indépendantes, chacune pouvant conduire à un succès avec la probabilité p (0 p 1) ou à un échec avec la probabilité q = 1 – p. On désigne par X le nombre de succès obtenu à ces n épreuves de Bernoulli. On note B(n , p), La loi binomiale qui est considérée comme la somme de ces n lois binaires (Bernoulliennes) indépendantes de même paramètres p.
La probabilité d'obtenir exactement k succès (0 k n) : P(X = k) =Cknpk (1-p)n-k. Avec :
: Est le nombre de manières de choisir k épreuves avec succès parmi n sans tenir compte de l'ordre ;
Pk : Est la probabilité pour que les k épreuves choisies conduisent à k succès ;
: Est la probabilité pour que les n – k autres épreuves conduisent à n – k échecs.
X : Est la somme de n variables qui suivent la loi de Bernoulli de paramètre p.
Chacune des variables de Bernoulli a pour espérance p.
L’espérance étant additive, E(X) = n*p.
Ces n variables sont indépendants. La variance de leur somme est la somme de leurs variances : V(X)=n*p*q
Donc, La moyenne d’une loi binomiale est n*p (la somme de n espérances mathématiques de lois bernoulliennes identiques) et sa variance n*p*(1-P) (c’est également la somme de n variance de lois bernoulliennes identiques). La loi binomiale correspond à un nombre de fois où un évènement est réalisé, comme par exemple le nombre de "pile" obtenus pour le lancer de n pièces, le nombre de garçons dans une population humaine, le nombre de fautes détectées dans un manuel, le nombre de fois où on a réussi une expérience, ...etc. C'est aussi la loi de comptage d'un caractère binaire dans un tirage avec remise.
Exemple 1 : Dans une société qui fabrique des mêmes pièces de rechange, un contrôle de la qualité a trouvé que la probabilité pour qu’une pièce soit défectueuse est p=5%. Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de pièces défectueuses trouvées lors d’un contrôle de n=1000 pièces Déterminer la loi de X ainsi que son espérance et son écart-type.
On a X une variable de Bernoulli répétée 1000 fois. Donc, il s’agit d’une loi binomiale B(n=1000 , p=5%) de probabilité p.
E(X)=n*p=1000*5%=50
σ(X)= =6.892
Exemple 2 : Considérons deux variables aléatoires indépendantes X1 et
X2, distribuées respectivement aux lois binomiales B (n1,p) et B (n2,p) (avec une même probabilité p).
La variable aléatoire Z définie comme étant la somme X1 + X2 est le nombre de succès après n1+n2 épreuves de Bernoulli identiques, indépendantes, de même probabilité de succès p. La variable aléatoire Z est également une variable de Bernoulli distribuée selon une loi binomiale B (n1+n2 , p).
Exemple 3 : Un candidat se présente à un concours où, cette fois, les 20 questions sont données sous forme de QCM. A chaque question, sont proposées 4 réponses, une seule réponse étant exacte. L’examinateur fait le compte des réponses exactes données par les candidats. Certains candidats répondent au hasard à chaque question ; Donner une variable aléatoire associée à ce problème et donner sa loi de probabilité, son espérance et sa variance. Il s’agit d’une loi binomiale de paramètres n=20 et p=1/4.
E(X) = n*p = 5 et V(X) = n*p*(1-p)=20*1/4*3/4=15/4
Exemple 4 : On lance 8 fois un dé numéroté de 1 à 6. Soit la variable aléatoire X représentant le nombre de 5 apparus. La probabilité d’obtenir exactement 3 fois le résultat 5 est donc égale à :
P(X=3)= =
Exercice 1 : Dans une société, 95% des pièces produites sont supposées non défectueuses. Par commodité les pièces sont rangées par paquets de 2.
Un paquet est dit parfait si les 2 pièces le sont.
1) Quelle est la probabilité d’avoir un paquet parfait ?
2) X = nombre de paquets parfaits sur un lot de 10. Quelle est la loi de X ? 3) Un lot de 10 est accepté par l’acheteur si 9 au moins des paquets sont parfaits. Quelle est la probabilité qu’un lot soit accepté ?
1) p = 0,95 * 0,95 = 0,9025 (les deux pièces sont indépendantes) 2) X → B (10 ; 0,9025)
3) P(X≥9) = P(X=9) + P(X=10) (les deux paquets sont indépendantes) = 0, 7361
Exercice 2 : 6% des individus d’une population présentent une certaine maladie. Les responsables de la santé publique réalisent 4 tirages :
➢ Le premier tirage d’un échantillon de taille n=1.
Donnez la loi de probabilité réelle et ses paramètres.
➢ Le deuxième tirage d’un échantillon de taille n=8.
Donnez la loi de probabilité réelle et ses paramètres.
Calculer la probabilité d’avoir une personne malade.
Calculer la probabilité d’avoir au moins 3 personnes malades.
Calculer la probabilité d’avoir au plus 2 personnes malades.
Exercice 3 : Un mini-bus peut accueillir 20 personnes ; des statistiques montrent que 25% clients ayant réservé ne viennent pas.
Soit X la variable aléatoire : « nombre de clients qui viennent après réservation ».
1- Quelle est la loi de la variable aléatoire X ?
2- Calculer son espérance mathématique et son écart-type ?
3- Calculer la probabilité pour que le nombre des clients qui viennent après réservation soit égale à 15 ?
Exercice 4 : Une machine fabrique des boites de conserves. On sait que la probabilité d’obtenir une boite défectueuse est égale à 5 %.
Soit X la variable aléatoire représentant « le nombre de boites défectueuses dans chaque lot contrôlé ». On a contrôlé un lot de 200 boites.
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire correspondante ainsi que ses paramètres.
Exercice 5 — Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives B(6 , 80%) et B(4 , 80%).
Quelle est la loi de la somme (X + Y) ? Calculer E(X+Y) et V(X+Y) IV. Loi géométrique
On considère une succession possiblement infinie d'épreuves de Bernoulli identiques, indépendantes, de probabilités de succès p (0 < p 1) et d'échec q = 1 – p.
On désigne par X le numéro de la première épreuve conduisant à un succès. Cette variable aléatoire peut se définir comme le nombre d'essais jusqu'au premier succès pour des épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p. la loi associée à cette variable aléatoire discrète porte le nom de la loi géométrique ou loi de Pascale de paramètre P, tel que : P(X=k)=P(1-P)k-1 avec k IN*
Espérance : E(X)=1/P Variance : V(X)=(1-P)/P²
Remarque :
On définit quelquefois la variable Géométrique comme le nombre d'échecs avant le premier succès. Dans ce cas, elle prend ses valeurs dans IN*. Dans ce cas :
Espérance : E(X)=1/P -1 Variance : V(X)=(1-P)/P²
Exemple : on considère la variable aléatoire X « nombre de naissance de garçons avant l’obtention d’une fille » avec P=1/2. La loi suivie par X est une loi géométrique :
X = 1 si {X= F} avec P(X = 1) = p
X = 2 si {X= G∩F} avec P(X = 2) = q*p X = 3 si {X= G∩G∩F} avec P(X = 3) = q²*p
D’où X = k si {X=G∩G∩…∩.G∩F} avec {k-1 pour X=G} et donc : P(X = k) = pqk-1
Exercice 1 : Une urne contient 10 boules blanches et 10 boules rouges. On les tire une à une avec remise jusqu’à ce que l’on obtienne une boule blanche. Soit X la variable aléatoire "rang de la première boule blanche".
Déterminer la loi de X et son espérance.
X est distribuée selon une loi géométrique de paramètre p=10/20=1/2.
On a : P(X=n)=(1−p)n−1*p=
On sait que : E(X)=1/p=2 et V(X)=(1-P)/P²=2
Exercice 2 : On suppose que le temps d’attente (en minutes) d’un métro suit une loi géométrique. Durant les heures de pointes du matin, le temps d’attente moyen d’un métro pour la ligne 2 est de 3 minutes tandis qu’il est de 2 min pour la ligne 3.
a) Quels sont les paramètres des lois géométriques pour les lignes n° 1 et n° 3 ?
b) Quelle est la probabilité d’attendre entre 2 et 4 minutes un métro de la ligne 2 ? de la ligne 3 ?
c) Même question pour un temps d’attente de plus de 5 minutes.
Exercice 3 : On jette un dé ordinaire numéroté de 1 à 6 jusqu’à ce que le 1 apparaisse pour la première fois et on appelle X la variable aléatoire égale au nombre de coups nécessaires pour obtenir ce 1.
Déterminer la loi de probabilité de X.
Calculer E(X) et V(X)
Exercice 4 : Un couple décide d’avoir des enfants jusqu’à ce qu’il ait au moins un enfant de chaque sexe.
a) Quelle est la probabilité qu’il ait 4 enfants ?
b) Quelles sont l’espérance et la variance du nombre d’enfants qu’il aura ?
V. La loi binomiale négative
On considère une succession potentiellement infinie d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilités de succès p (0 < p
1) et d'échec q = 1 – p.
La loi binomiale négative est une généralisation de la loi géométrique où l’on considère X « nombre d’échecs avant de parvenir au kème succès ».
On désigne par X le numéro de l’épreuve conduisant au succès numéro égal à k (avec k un entier naturel non nul).
Une variable aléatoire X distribuée selon une loi binomiale négative de paramètres k et p notée ℬn(k, p) si elle prend ses valeurs dans {k, k+1, k+2, ...} avec les probabilités ainsi définies : (i{k, k+1, k+2, ...}). La probabilité que ce numéro soit i (k i) est P(X = i) = Ci
k
−− 1
1pkqi-k
X est la somme de k variables géométriques, indépendantes, de même paramètre p. Donc, E(X) = k
p et V(X)= kq
p2 .
Soient p et q deux réels de somme 1 tels que : 0 < p 1. Soit k un entier strictement positif.
Exercice 1 : On lance un dé jusqu’à ce que la face « 6 » soit obtenue pour la 10ème fois. Soit X le nombre de lancers effectués au moment du 10ème «6».
a) Déterminer la probabilité suivante : P(X = 30);
b) Déterminer l’espérance mathématique et la variance du nombre de lancers requis.
Exercice 2 : Afin de constituer un échantillon aléatoire de 20 ménages francophones, on tire au hasard des numéros de téléphones dans une population dans laquelle 60 % des ménages sont francophones. Soit X le nombre de ménages qu'il faudra tirer pour atteindre cette cible.
a) Déterminer la probabilité suivante : P(X = 30) ;
b) Déterminer l’espérance mathématique et la variance du nombre d'appels effectués.
VI. La loi hypergéométrique
On procède à des prélèvements équiprobables exhaustifs (sans remises) de « n » individus ou objets à partir d’une population-mère de taille N (avec N>n). On cherche à étudier un seul type d’éléments de cette population qui est représentée avec un certain pourcentage « p ».
Soit X : le nombre d’éléments du type étudié présents dans l’échantillon de taille n. X est dite distribuée selon une loi hyper géométrique de paramètre N, n, p et sa loi de probabilité est notée ℋ(N,n,p), si et seulement si : P(X=k) = avec k un entier naturel Remarque : La loi hypergéométrique correspond au tirage d'un échantillon sans remise (par contre la loi binomiale correspond au tirage d'un échantillon avec remise).
Exemple : On suppose qu'une urne contient N boules identiques au toucher dont certaines sont blanches et les autres sont noires. On désigne par p la proportion des boules blanches et par q celle des boules noires.
p et q sont compris entre 0 et 1 et ont pour somme 1.
On effectue dans cette urne un tirage aléatoire de n boules (0 n N).
On désigne par : X le nombre de boules blanches obtenues.
N*p= le nombre de boules blanches N*q= le nombre de boules noires
La probabilité d'obtenir k boules blanches (0 k N*p ; n – N*q k n) est : P(X = k) =
Est le nombre de façons de choisir i boules blanches parmi N*p sans tenir compte de l'ordre ;
Est le nombre de façons de choisir n-k boules noires parmi N*q sans tenir compte de l'ordre ;
Est le nombre de façons de choisir n boules parmi N sans tenir compte de l'ordre.
Si X distribuée selon une loi hypergéométrique de paramètres N, n, p. Alors, l’espérance mathématique de X est n*p et sa variance est n*p*q*( . ( est appelé facteur d’exhaustivité.
Remarque : Une variable aléatoire X distribuée selon une loi
hypergéométrique H (N, n, p) si elle peut prendre les valeurs entières k telles que
0 k N*p ; n – N*q k n
Exercice 1 : Dans un contrôle de la qualité de la production d’une machine, un technicien contrôle 3 pièces tirées sans remise d’une manière indépendantes d’un échantillon de 15 pièces. Parmi
Les pièces de l’échantillon, 5 pièces sont défectueuses. Soi X, la variable tiré une pièce défectueuse est un succès.
Donner la loi de X et calculer E(X) et V(X).
a) Calculer la probabilité de ne trouver aucune pièce défectueuse ;
b) Calculer la probabilité de trouver exactement une pièce défectueuse ; c) Calculer la probabilité de trouver au moins une pièce défectueuse ; Exercice 2 : Dans une fête à laquelle participent 20 personnes, dont 12 femmes, on tire au hasard (sans remise) les noms de 7 personnes qui se voient offrir un cadeau.
a) Quelle est la probabilité qu’exactement deux des gagnants soient des femmes ?
b) Quelle est la probabilité qu'il y ait au plus 3 femmes parmi les gagnants ?
VII. La loi de Poisson.
On dira qu’une variable aléatoire X définie sur un espace probabilisé (Ω,P) est distribuée selon une loi de Poisson de paramètre λ > 0 si elle ne prend que des valeurs entières positives ou nulles. On note P() cette loi. La loi de Poisson convient à la description des événements dont les chances de réalisation sont faibles.
La loi de Poisson intervient dans le même contexte général que celui de la loi binomiale : celle d’un comptage du nombre de succès enregistrés au cours d’une succession indépendante d’expériences ayant chacune la même probabilité de succès, mais où le nombre de répétitions est très grand, la probabilité de succès étant elle-même très petite. C’est pourquoi, on considère que l'approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson est acceptable, quelle que soit la valeur de n, lorsque p < 10%.
La loi de Poisson (et aussi les tables de la loi de Poisson) est plus simple que la loi binomiale (et les tables de la loi binomiale).
La variable aléatoire de Poisson X est une variable discrète qui prend des valeurs entières (X= 0, 1, 2, 3 ….) : La probabilité d'obtenir la valeur k est :
(e-*k)/k!
Sa moyenne est égale à , sa variance est aussi égale à : E(X) = V(X) =
Remarque :
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi de Poisson :
Si X distribuée selon une loi de Poisson ℘(λ1) de paramètre λ1 (λ1 ≥ 0) et Si Y distribuée selon une loi de Poisson ℘(λ2) de paramètre λ2 (λ2 ≥ 0).
Alors la variable aléatoire Z=X+Y.
la variable aléatoire Z est distribuée selon une loi de Poisson de paramètre λ1+λ2.
Exemple 1 : On considère des évènements se produisant en moyenne 0,5 fois par minute. Pour étudier le nombre d'évènements se produisant dans un intervalle de temps de 4 minutes, on utilise comme modèle une loi de Poisson de paramètre λ =0,5×4=2.
Exemple 2 : Dans une banque, il arrive en moyenne 2 clients par minute aux guichets automatiques entre 10 et 12 h. Soi X : le nombre de personnes observées par minute à l’entrée de la banque. Sachant que X est distribuée selon une loi de poisson de paramètre «λ=2», déterminer les probabilités suivantes :
a) En 1mn il arrive 2 clients b) 4 clients au plus
c) 3 clients au moins.
a) P(X = 2) = 0,2707 b) P(X 4) = 0,9473
c) P(X 3) =1-P(X≤2)=1- 0,6767=0,3233
Exemple 3 : Dans une banque, il arrive en moyenne 1,25 clients à la minute aux guichets automatiques entre 9 et 12 h. X : nombre de personnes observées à la minute à l’entrée de la banque. Sachant que X est distribuée selon une loi de poisson de paramètre « λ=1,25 », déterminer les probabilités suivantes :
a) En 1mn il arrive 2 clients b) 4 clients au plus c) 3 clients au moins.
a) P(X = 2) = 0, 2238 b) P(X 4) = 0, 9909
c) P(X3) =1-P(X≤2) =1-0,8685=0,1315
Exemple 4 : Un magasin spécialisé reçoit en moyenne 4 clients par jour, le nombre de clients étant distribué selon une loi de Poisson. Calculer la probabilité que le magasin soit visité un jour par :
1. Aucun client ; 2. 5 clients ;
3. Au moins 6 clients.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de clients reçus par jour dans le magasin. Selon l’énoncé de l’exercice, X est distribuée selon une loi de Poisson de paramètre λ et telle que E(X) = 4. Or, on sait que si X est distribuée selon une loi de Poisson P(λ), E(X) =V(X)= λ, donc λ = 4.
Comme X est distribuée selon une loi de Poisson : P(X=0)= 0,0183
P(X=5)= 0,156
P(C ≥ 6) = 1−P(X<6)=1-P(X≤5)=1-0,7851=0,2149
Exercice 1 : (Bombardement de Londres). Durant la seconde guerre mondiale, le sud de Londres a été bombardé continuellement pour un total de 537 impacts de bombes. On divise cette partie de Londres en 576 zones de 25 hectares chacune et on note N la variable aléatoire telle que X = k est l’événement « une zone a été touchée par k impacts ». On suppose que X suit une loi de Poisson.
a) Quel est le paramètre de la loi de Poisson ?
b) Calculer le nombre de zones ayant reçu 1, 2, 3, 4 et plus de 5 impacts.
Les bombardements étaient-ils ciblés sur des zones spécifiques ou étaient- ils fait à l’aveugle ?
Exercice 2 : On admet que le nombre d’accidents survenant sur une autoroute quotidiennement est une va qui suit la loi de Poisson de paramètre λ = 4.
1) Calculer P(X = k) pour k = 0, ..., 5.
2) Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins 2 accidents lors d’un jour donné ?
Exercice 3 : Le nombre de tremblements de terre par semaine sur la côte ouest américaine suit une loi de Poisson de moyenne 2. Quelle est la probabilité qu'il y ait 6 secousses pendant le prochain mois ?
Rappel : dans un mois il y a 4 semaines donc, pour un mois on a λ=4*2=8 P(X=6)= 0,12212,2%
VIII. Approximation d’une loi discrète
Convergence de la loi hypergéométrique vers la loi binomiale.
H(N ; n ; p) converge vers B(n ; p) quand N est grand
On utilisera l’approximation de la loi hypergéométrique par la loi binomiale lorsque N>10*n.
Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson
B(n ; p) converge vers P
( )
avec = n*p quand n est grandOn utilisera l’approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson lorsque les 3 conditions ci-après sont simultanément vérifiées :
15 30
1 , 0
np n
p
Exercice 1 : Soit X une variable de loi binomiale de paramètres n = 8 et p
= 0,06. Déterminer la distribution complète (c'est-à-dire, les probabilités P(X = x) pour x = 0, 1,…,10). Comparer les résultats avec ceux que vous auriez obtenus en utilisant la loi de Poisson
Exercice 2 : On tire au hasard un échantillon de 5 personnes d'une classe de 12 personnes dont 4 sont des fumeurs. Soit X le nombre de fumeurs observés dans l'échantillon. Déterminer la distribution complète (c'est-à- dire, les probabilités P(X = x) pour x = 0, 1 ,…, 4). Comparer les résultats avec l'approximation par la loi binomiale.
Exercice 3 : Dans une chaîne de fabrication, 5% des pièces sont défectueuses ; on prélève une pièce, on examine si elle est défectueuse et on la replace parmi les autres. On répète 120 fois cette expérience. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 120 pièces associe le nombre des pièces défectueuses.
a) Donner la loi de probabilité de X ;
b) Donner une loi d’approximation de cette loi trouvée à la première question ;
Loi de poisson P(X=k) =
! k e−k
Probabilités individuelles
k 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066 1 0,0905 0,1637 0,2222 0,2681 0,3033 0,3293 0,3476 0,3595 0,3659 2 0,0045 0,0164 0,0333 0,0536 0,0758 0,0988 0,1217 0,1438 0,1647 3 0,0002 0,0011 0,0033 0,0072 0,0126 0,0198 0,0284 0,0383 0,0494 4 0,0001 0,0003 0,0007 0,0016 0,003 0,005 0,0077 0,0111 5 0,0001 0,0002 0,0004 0,0007 0,0012 0,002
6 0,0001 0,0002 0,0003
Probabilités cumulées
k 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066 1 0,9953 0,9825 0,9631 0,9384 0,9098 0,8781 0,8442 0,8088 0,7725 2 0,9998 0,9989 0,9964 0,9921 0,9856 0,9769 0,9659 0,9526 0,9371 3 1 0,9999 0,9997 0,9992 0,9982 0,9966 0,9942 0,9909 0,9865 4 1 1 0,9999 0,9998 0,9996 0,9992 0,9986 0,9977
5 1 1 1 0,9999 0,9998 0,9997
6 1 1 1
Loi de Poisson TABLE 2 (suite) Probabilités individuelles
k 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
0 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 0,0111 0,0067 1 0,3679 0,3347 0,2707 0,2052 0,1494 0,1057 0,0733 0,05 0,0337 2 0,1839 0,251 0,2707 0,2565 0,224 0,185 0,1465 0,1125 0,0842 3 0,0613 0,1255 0,1804 0,2138 0,224 0,2158 0,1954 0,1687 0,1404 4 0,0153 0,0471 0,0902 0,1336 0,168 0,1888 0,1954 0,1898 0,1755 5 0,0031 0,0141 0,0361 0,0668 0,1008 0,1322 0,1563 0,1708 0,1755 6 0,0005 0,0035 0,012 0,0278 0,0504 0,0771 0,1042 0,1281 0,1462 7 0,0001 0,0008 0,0034 0,0099 0,0216 0,0385 0,0595 0,0824 0,1044 8 0,0001 0,0009 0,0031 0,0081 0,0169 0,0298 0,0463 0,0653 9 0,0002 0,0009 0,0027 0,0066 0,0132 0,0232 0,0363 10 0,0002 0,0008 0,0023 0,0053 0,0104 0,0181
11 0,0002 0,0007 0,0019 0,0043 0,0082
12 0,0001 0,0002 0,0006 0,0016 0,0034
13 0,0001 0,0002 0,0006 0,0013
14 0,0001 0,0002 0,0005
15 0,0001 0,0002
16 0,00005
Probabilités cumulées
k 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
0 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 0,0111 0,0067 1 0,7358 0,5578 0,406 0,2873 0,1991 0,1359 0,0916 0,0611 0,0404 2 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208 0,2381 0,1736 0,1247 3 0,981 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,5366 0,4335 0,3423 0,265 4 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,7254 0,6288 0,5321 0,4405 5 0,9994 0,9955 0,9834 0,958 0,9161 0,8576 0,7851 0,7029 0,616 6 0,9999 0,9991 0,9955 0,9858 0,9665 0,9347 0,8893 0,8311 0,7622 7 1 0,9998 0,9989 0,9958 0,9881 0,9733 0,9489 0,9134 0,8666 8 1 0,9998 0,9989 0,9962 0,9901 0,9786 0,9597 0,9319 9 1 0,9997 0,9989 0,9967 0,9919 0,9829 0,9682
10 0,9999 0,9997 0,999 0,9972 0,9933 0,9863
11 1 0,9999 0,9997 0,9991 0,9976 0,9945
12 1 0,9999 0,9997 0,9992 0,998
13 1 0,9999 0,9997 0,9993
14 1 0,9999 0,9998
15 1 0,9999
16 1
Loi de poisson probabilités individuelles
k 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5
0 0,0041 0,0025 0,0015 0,0009 0,0006 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 1 0,0225 0,0149 0,0098 0,0064 0,0041 0,0027 0,0017 0,0011 0,0007 2 0,0618 0,0446 0,0318 0,0223 0,0156 0,0107 0,0074 0,005 0,0034 3 0,1133 0,0892 0,0688 0,0521 0,0389 0,0286 0,0208 0,015 0,0107 4 0,1558 0,1339 0,1118 0,0912 0,0729 0,0573 0,0443 0,0337 0,0254 5 0,1714 0,1606 0,1454 0,1277 0,1094 0,0916 0,0752 0,0607 0,0483 6 0,1571 0,1606 0,1575 0,149 0,1367 0,1221 0,1066 0,0911 0,0764 7 0,1234 0,1377 0,1462 0,149 0,1465 0,1396 0,1294 0,1171 0,1037 8 0,0849 0,1033 0,1188 0,1304 0,1373 0,1396 0,1375 0,1318 0,1232 9 0,0519 0,0688 0,0858 0,1014 0,1144 0,1241 0,1299 0,1318 0,13 10 0,0285 0,0413 0,0558 0,071 0,0858 0,0993 0,1104 0,1186 0,1235 11 0,0143 0,0225 0,033 0,0452 0,0585 0,0722 0,0853 0,097 0,1067 12 0,0065 0,0113 0,0179 0,0263 0,0366 0,0481 0,0604 0,0728 0,0844 13 0,0028 0,0052 0,0089 0,0142 0,0211 0,0296 0,0395 0,0504 0,0617 14 0,0011 0,0022 0,0041 0,0071 0,0113 0,0169 0,024 0,0324 0,0419 15 0,0004 0,0009 0,0018 0,0033 0,0057 0,009 0,0136 0,0194 0,0265 16 0,0001 0,0003 0,0007 0,0014 0,0026 0,0045 0,0072 0,0109 0,0157 17 0,0001 0,0003 0,0006 0,0012 0,0021 0,0036 0,0058 0,0088 18 0,0001 0,0002 0,0005 0,0009 0,0017 0,0029 0,0046
19 0,0001 0,0002 0,0004 0,0008 0,0014 0,0023
20 0,0001 0,0002 0,0003 0,0006 0,0011
21 0,0001 0,0001 0,0003 0,0005
22 0,0001 0,0001 0,0002
23 0,0001
Loi de Poisson Probabilités cumulées
k 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5
0 0,0041 0,0025 0,0015 0,0009 0,0006 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 1 0,0266 0,0174 0,0113 0,0073 0,0047 0,003 0,0019 0,0012 0,0008 2 0,0884 0,062 0,043 0,0296 0,0203 0,0138 0,0093 0,0062 0,0042 3 0,2017 0,1512 0,1118 0,0818 0,0591 0,0424 0,0301 0,0212 0,0149 4 0,3575 0,2851 0,2237 0,173 0,1321 0,0996 0,0744 0,055 0,0403 5 0,5289 0,4457 0,369 0,3007 0,2414 0,1912 0,1496 0,1157 0,0885 6 0,686 0,6063 0,5265 0,4497 0,3782 0,3134 0,2562 0,2068 0,1649 7 0,8095 0,744 0,6728 0,5987 0,5246 0,453 0,3856 0,3239 0,2687 8 0,8944 0,8472 0,7916 0,7291 0,662 0,5925 0,5231 0,4557 0,3918 9 0,9462 0,9161 0,8774 0,8305 0,7764 0,7166 0,653 0,5874 0,5218 10 0,9747 0,9574 0,9332 0,9015 0,8622 0,8159 0,7634 0,706 0,6453 11 0,989 0,9799 0,9661 0,9467 0,9208 0,8881 0,8487 0,803 0,752 12 0,9955 0,9912 0,984 0,973 0,9573 0,9362 0,9091 0,8758 0,8364 13 0,9983 0,9964 0,9929 0,9872 0,9784 0,9658 0,9486 0,9261 0,8981 14 0,9994 0,9986 0,997 0,9943 0,9897 0,9827 0,9726 0,9585 0,94 15 0,9998 0,9995 0,9988 0,9976 0,9954 0,9918 0,9862 0,978 0,9665 16 0,9999 0,9998 0,9996 0,999 0,998 0,9963 0,9934 0,9889 0,9823 17 1 0,9999 0,9998 0,9996 0,9992 0,9984 0,997 0,9947 0,9911 18 1 0,9999 0,9999 0,9997 0,9993 0,9987 0,9976 0,9957
19 1 1 0,9999 0,9997 0,9995 0,9989 0,998
20 1 0,9999 0,9998 0,9996 0,9991
21 1 0,9999 0,9998 0,9996
22 1 0,9999 0,9999
23 1 0,9999
Loi de poisson Probabilités individuelles
10 11 12 13 14 15 16 17 18
0
1 0,0005 0,0002 0,0001
2 0,0023 0,001 0,0004 0,0002 0,0001
3 0,0076 0,0037 0,0018 0,0008 0,0004 0,0002 0,0001
4 0,0189 0,0102 0,0053 0,0027 0,0013 0,0006 0,0003 0,0001 0,0001 5 0,0378 0,0224 0,0127 0,007 0,0037 0,0019 0,001 0,0005 0,0002 6 0,0631 0,0411 0,0255 0,0152 0,0087 0,0048 0,0026 0,0014 0,0007 7 0,0901 0,0646 0,0437 0,0281 0,0174 0,0104 0,006 0,0034 0,0019 8 0,1126 0,0888 0,0655 0,0457 0,0304 0,0194 0,012 0,0072 0,0042 9 0,1251 0,1085 0,0874 0,0661 0,0473 0,0324 0,0213 0,0135 0,0083 10 0,1251 0,1194 0,1048 0,0859 0,0663 0,0486 0,0341 0,023 0,015 11 0,1137 0,1194 0,1144 0,1015 0,0844 0,0663 0,0496 0,0355 0,0245 12 0,0948 0,1094 0,1144 0,1099 0,0984 0,0829 0,0661 0,0504 0,0368 13 0,0729 0,0926 0,1056 0,1099 0,106 0,0956 0,0814 0,0658 0,0509 14 0,0521 0,0728 0,0905 0,1021 0,106 0,1024 0,093 0,08 0,0655 15 0,0347 0,0534 0,0724 0,0885 0,0989 0,1024 0,0992 0,0906 0,0786 16 0,0217 0,0367 0,0543 0,0719 0,0866 0,096 0,0992 0,0963 0,0884 17 0,0128 0,0237 0,0383 0,055 0,0713 0,0847 0,0934 0,0963 0,0936 18 0,0071 0,0145 0,0255 0,0397 0,0554 0,0706 0,083 0,0909 0,0936 19 0,0037 0,0084 0,0161 0,0272 0,0409 0,0557 0,0699 0,0814 0,0887 20 0,0019 0,0046 0,0097 0,0177 0,0286 0,0418 0,0559 0,0692 0,0798 21 0,0009 0,0024 0,0055 0,0109 0,0191 0,0299 0,0426 0,056 0,0684
Loi de poisson
Probabilités individuelles
k 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5
0 0,0041 0,0025 0,0015 0,0009 0,0006 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 1 0,0225 0,0149 0,0098 0,0064 0,0041 0,0027 0,0017 0,0011 0,0007 2 0,0618 0,0446 0,0318 0,0223 0,0156 0,0107 0,0074 0,005 0,0034 3 0,1133 0,0892 0,0688 0,0521 0,0389 0,0286 0,0208 0,015 0,0107 4 0,1558 0,1339 0,1118 0,0912 0,0729 0,0573 0,0443 0,0337 0,0254 5 0,1714 0,1606 0,1454 0,1277 0,1094 0,0916 0,0752 0,0607 0,0483 6 0,1571 0,1606 0,1575 0,149 0,1367 0,1221 0,1066 0,0911 0,0764 7 0,1234 0,1377 0,1462 0,149 0,1465 0,1396 0,1294 0,1171 0,1037 8 0,0849 0,1033 0,1188 0,1304 0,1373 0,1396 0,1375 0,1318 0,1232 9 0,0519 0,0688 0,0858 0,1014 0,1144 0,1241 0,1299 0,1318 0,13 10 0,0285 0,0413 0,0558 0,071 0,0858 0,0993 0,1104 0,1186 0,1235 11 0,0143 0,0225 0,033 0,0452 0,0585 0,0722 0,0853 0,097 0,1067 12 0,0065 0,0113 0,0179 0,0263 0,0366 0,0481 0,0604 0,0728 0,0844 13 0,0028 0,0052 0,0089 0,0142 0,0211 0,0296 0,0395 0,0504 0,0617 14 0,0011 0,0022 0,0041 0,0071 0,0113 0,0169 0,024 0,0324 0,0419 15 0,0004 0,0009 0,0018 0,0033 0,0057 0,009 0,0136 0,0194 0,0265 16 0,0001 0,0003 0,0007 0,0014 0,0026 0,0045 0,0072 0,0109 0,0157 17 0,0001 0,0003 0,0006 0,0012 0,0021 0,0036 0,0058 0,0088 18 0,0001 0,0002 0,0005 0,0009 0,0017 0,0029 0,0046
19 0,0001 0,0002 0,0004 0,0008 0,0014 0,0023
20 0,0001 0,0002 0,0003 0,0006 0,0011
21 0,0001 0,0001 0,0003 0,0005
22 0,0001 0,0001 0,0002
23 0,0001
Loi de poisson
Probabilités individuelles
k 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0
1 0,0005 0,0002 0,0001
2 0,0023 0,001 0,0004 0,0002 0,0001 1 3 0,0076 0,0037 0,0018 0,0008 0,0004 0,0002 0,0001
4 0,0189 0,0102 0,0053 0,0027 0,0013 0,0006 0,0003 0,0001 0,0001 5 0,0378 0,0224 0,0127 0,007 0,0037 0,0019 0,001 0,0005 0,0002 6 0,0631 0,0411 0,0255 0,0152 0,0087 0,0048 0,0026 0,0014 0,0007 7 0,0901 0,0646 0,0437 0,0281 0,0174 0,0104 0,006 0,0034 0,0019 8 0,1126 0,0888 0,0655 0,0457 0,0304 0,0194 0,012 0,0072 0,0042 9 0,1251 0,1085 0,0874 0,0661 0,0473 0,0324 0,0213 0,0135 0,0083 10 0,1251 0,1194 0,1048 0,0859 0,0663 0,0486 0,0341 0,023 0,015 11 0,1137 0,1194 0,1144 0,1015 0,0844 0,0663 0,0496 0,0355 0,0245 12 0,0948 0,1094 0,1144 0,1099 0,0984 0,0829 0,0661 0,0504 0,0368 13 0,0729 0,0926 0,1056 0,1099 0,106 0,0956 0,0814 0,0658 0,0509 14 0,0521 0,0728 0,0905 0,1021 0,106 0,1024 0,093 0,08 0,0655 15 0,0347 0,0534 0,0724 0,0885 0,0989 0,1024 0,0992 0,0906 0,0786 16 0,0217 0,0367 0,0543 0,0719 0,0866 0,096 0,0992 0,0963 0,0884 17 0,0128 0,0237 0,0383 0,055 0,0713 0,0847 0,0934 0,0963 0,0936 18 0,0071 0,0145 0,0255 0,0397 0,0554 0,0706 0,083 0,0909 0,0936 19 0,0037 0,0084 0,0161 0,0272 0,0409 0,0557 0,0699 0,0814 0,0887 20 0,0019 0,0046 0,0097 0,0177 0,0286 0,0418 0,0559 0,0692 0,0798 21 0,0009 0,0024 0,0055 0,0109 0,0191 0,0299 0,0426 0,056 0,0684 22 0,0004 0,0012 0,003 0,0065 0,0121 0,0204 0,031 0,0433 0,056 23 0,0002 0,0006 0,0016 0,0037 0,0074 0,0133 0,0216 0,032 0,0438 24 0,0001 0,0003 0,0008 0,002 0,0043 0,0083 0,0144 0,0226 0,0328 25 0,0001 0,0004 0,001 0,0024 0,005 0,0092 0,0154 0,0237 26 0,0002 0,0005 0,0013 0,0029 0,0057 0,0101 0,0164 27 0,0001 0,0002 0,0007 0,0016 0,0034 0,0063 0,0109 28 0,0001 0,0003 0,0009 0,0019 0,0038 0,007 29 0,0001 0,0002 0,0004 0,0011 0,0023 0,0044
30 0,0001 0,0002 0,0006 0,0013 0,0026
31 0,0001 0,0003 0,0007 0,0015
32 0,0001 0,0001 0,0004 0,0009
33 0,0001 0,0002 0,0005
34 0,0001 0,0002
35 0,0001
36 0,0001
Loi de poisson
Probabilités cumulées
k 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0
1 0,0005 0,0002 0,0001
2 0,0028 0,0012 0,0005 0,0002 0,0001
3 0,0103 0,0049 0,0023 0,0011 0,0005 0,0002 0,0001
4 0,0293 0,0151 0,0076 0,0037 0,0018 0,0009 0,0004 0,0002 0,0001 5 0,0671 0,0375 0,0203 0,0107 0,0055 0,0028 0,0014 0,0007 0,0003 6 0,1301 0,0786 0,0458 0,0259 0,0142 0,0076 0,004 0,0021 0,001 7 0,2202 0,1432 0,0895 0,054 0,0316 0,018 0,01 0,0054 0,0029 8 0,3328 0,232 0,155 0,0998 0,0621 0,0374 0,022 0,0126 0,0071 9 0,4579 0,3405 0,2424 0,1658 0,1094 0,0699 0,0433 0,0261 0,0154 10 0,583 0,4599 0,3472 0,2517 0,1757 0,1185 0,0774 0,0491 0,0304 11 0,6968 0,5793 0,4616 0,3532 0,26 0,1848 0,127 0,0847 0,0549 12 0,7916 0,6887 0,576 0,4631 0,3585 0,2676 0,1931 0,135 0,0917 13 0,8645 0,7813 0,6815 0,573 0,4644 0,3632 0,2745 0,2009 0,1426 14 0,9165 0,854 0,772 0,6751 0,5704 0,4657 0,3675 0,2808 0,2081 15 0,9513 0,9074 0,8444 0,7636 0,6694 0,5681 0,4667 0,3715 0,2867 16 0,973 0,9441 0,8987 0,8355 0,7559 0,6641 0,566 0,4677 0,3751 17 0,9857 0,9678 0,937 0,8905 0,8272 0,7489 0,6593 0,564 0,4686 18 0,9928 0,9823 0,9626 0,9302 0,8826 0,8195 0,7423 0,655 0,5622 19 0,9965 0,9907 0,9787 0,9573 0,9235 0,8752 0,8122 0,7363 0,6509 20 0,9984 0,9953 0,9884 0,975 0,9521 0,917 0,8682 0,8055 0,7307 21 0,9993 0,9977 0,9939 0,9859 0,9712 0,9469 0,9108 0,8615 0,7991 22 0,9997 0,999 0,997 0,9924 0,9833 0,9673 0,9418 0,9047 0,8551 23 0,9999 0,9995 0,9985 0,996 0,9907 0,9805 0,9633 0,9367 0,8989 24 1 0,9998 0,9993 0,998 0,995 0,9888 0,9777 0,9594 0,9317 25 0,9999 0,9997 0,999 0,9974 0,9938 0,9869 0,9748 0,9554 26 1 0,9999 0,9995 0,9987 0,9967 0,9925 0,9848 0,9718 27 0,9999 0,9998 0,9994 0,9983 0,9959 0,9912 0,9827 28 1 0,9999 0,9997 0,9991 0,9978 0,995 0,9897
29 1 0,9999 0,9996 0,9989 0,9973 0,9941
30 0,9999 0,9998 0,9994 0,9986 0,9967
31 1 0,9999 0,9997 0,9993 0,9982
32 1 0,9999 0,9996 0,999
33 0,9999 0,9998 0,9995
34 1 0,9999 0,9998
35 1 0,9999
36 1
Loi binomiale Pour n=5
Probabilités individuelles
k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%
0 0,951 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,1681 0,0778 0,0313 0,0024 0 1 0,048 0,2036 0,3281 0,3915 0,4096 0,3602 0,2592 0,1563 0,0284 0,0005 2 0,001 0,0214 0,0729 0,1382 0,2048 0,3087 0,3456 0,3125 0,1323 0,0081 3 0,0011 0,0081 0,0244 0,0512 0,1323 0,2304 0,3125 0,3087 0,0729
4 0,0284 0,0768 0,1563 0,3602 0,3281
Probabilités cumulées
k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%
0 0,951 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,1681 0,0778 0,0313 0,0024 0 1 0,999 0,9774 0,9185 0,8352 0,7373 0,5282 0,337 0,1875 0,0308 0,0005 2 1 0,9988 0,9914 0,9734 0,9421 0,8369 0,6826 0,5 0,1631 0,0086 3 1 1 0,9978 0,9933 0,9692 0,913 0,8125 0,4718 0,0815
4 1 0,9898 0,9688 0,8319 0,4095
Loi binomiale Pour n=10
Probabilités individuelles
k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%
0 0,9044 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0282 0,006 0,001 0 0 1 0,0914 0,3151 0,3874 0,3474 0,2684 0,1211 0,0403 0,0098 0,0001 0 2 0,0042 0,0746 0,1937 0,2759 0,302 0,2335 0,1209 0,0439 0,0014 0 3 0,0001 0,0105 0,0574 0,1298 0,2013 0,2668 0,215 0,1172 0,009 0 5 0,0015 0,0085 0,0264 0,1029 0,2007 0,2461 0,1029
7 0,0008 0,009 0,0425 0,1172 0,2668 0,0574 0,0015 9 0,1211 0,3874
Probabilités cumulées
k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%
0 0,9044 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0282 0,006 0,001 0 0 1 0,9957 0,9139 0,7361 0,5443 0,3758 0,1493 0,0464 0,0107 0,0001 0 2 0,9999 0,9885 0,9298 0,8202 0,6778 0,3828 0,1673 0,0547 0,0016 0 3 1 0,999 0,9872 0,95 0,8791 0,6496 0,3823 0,1719 0,0106 0 5 1 0,9999 0,9986 0,9936 0,9527 0,8338 0,623 0,1503 0,0016 7 1 1 0,9999 0,9984 0,9877 0,9453 0,6172 0,0702
9 1 1 0,9999 0,999 0,9718 0,6513
Loi binomiale Pour n=15
Probabilités individuelles
k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%
0 0,8601 0,4633 0,2059 0,0874 0,0352 0,0047 0,0005 0 0 0 2 0,0092 0,1348 0,2669 0,2856 0,2309 0,0916 0,0219 0,0032 0 0 4 0 0,0049 0,0428 0,1156 0,1876 0,2186 0,1268 0,0417 0,0006 0 6 0 0 0,0019 0,0132 0,043 0,1472 0,2066 0,1527 0,0116 0 8 0 0 0,0005 0,0035 0,0348 0,1181 0,1964 0,0811 0,0003 10 0 0 0,0001 0,003 0,0245 0,0916 0,2061 0,0105
12 0,0001 0,0016 0,0139 0,17
14 0,0005 0,0305 0,3432
Loi binomiale Probabilités cumulées
k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%
0 0,8601 0,4633 0,2059 0,0874 0,0352 0,0047 0,0005 0 0 0 2 0,9996 0,9638 0,8159 0,6042 0,398 0,1268 0,0271 0,0037 0 0 4 1 0,9994 0,9873 0,9383 0,8358 0,5155 0,2173 0,0592 0,0007 0 6 1 0,9997 0,9964 0,9819 0,8689 0,6098 0,3036 0,0152 0 8 1 0,9999 0,9992 0,9848 0,905 0,6964 0,1311 0,0003
10 1 1 0,9993 0,9907 0,9408 0,4845 0,0127
12 1 0,9997 0,9963 0,8732 0,1841
14 1 1 0,9953 0,7941 20
Loi binomiale Pour n = 20 Probabilités individuelles
k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%
0 0,8179 0,3585 0,1216 0,0388 0,0115 0,0008 0 0 0 0 2 0,0159 0,1887 0,2852 0,2293 0,1369 0,0278 0,0031 0,0002 0 0 4 0 0,0133 0,0898 0,1821 0,2182 0,1304 0,035 0,0046 0 0 6 0 0,0003 0,0089 0,0454 0,1091 0,1916 0,1244 0,037 0,0002 0 8 0 0,0004 0,0046 0,0222 0,1144 0,1797 0,1201 0,0039 0 10 0 0,0002 0,002 0,0308 0,1171 0,1762 0,0308 0
13 0 0 0,001 0,0146 0,0739 0,1643 0,002
15 0 0,0013 0,0148 0,1789 0,0319
17 0 0,0011 0,0716 0,1901
20 0 0,0008 0,1216
Loi binomiale Probabilités cumulées
k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%
0 0,8179 0,3585 0,1216 0,0388 0,0115 0,0008 0 0 0 0 2 0,999 0,9245 0,6769 0,4049 0,2061 0,0355 0,0036 0,0002 0 0 4 1 0,9974 0,9568 0,8298 0,6296 0,2375 0,051 0,0059 0 0 6 1 0,9976 0,9781 0,9133 0,608 0,25 0,0577 0,0003 0 8 0,9999 0,9987 0,99 0,8867 0,5956 0,2517 0,0051 0
10 1 1 0,9994 0,9829 0,8725 0,5881 0,048 0
13 1 0,9997 0,9935 0,9423 0,392 0,0024
15 1 0,9997 0,9941 0,7625 0,0432
17 1 0,9998 0,9645 0,3231
20 1 1 1
Loi binomiale Pour n=30
Probabilités individuelles
k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%
0 0,7397 0,2146 0,0424 0,0076 0,0012 0 0 0 0 0 2 0,0328 0,2586 0,2277 0,1034 0,0337 0,0018 0 0 0 0 5 0 0,0124 0,1023 0,1861 0,1723 0,0464 0,0041 0,0001 0 0 8 0,0001 0,0058 0,042 0,1106 0,1501 0,0505 0,0055 0 0 10 0 0,0004 0,0067 0,0355 0,1416 0,1152 0,028 0 0 12 0 0,0006 0,0064 0,0749 0,1474 0,0806 0,0005 0
15 0 0,0002 0,0106 0,0783 0,1445 0,0106 0
18 0 0,0005 0,0129 0,0806 0,0749 0
20 0 0,002 0,028 0,1416 0,0004
24 0 0,0006 0,0829 0,0474
26 0 0,0208 0,1771
30 0 0,0424
Loi binomiale Pour n=30 Probabilités cumulées
k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%
0 0,7397 0,2146 0,0424 0,0076 0,0012 0 0 0 0 0 2 0,9967 0,8122 0,4114 0,1514 0,0442 0,0021 0 0 0 0 5 1 0,9967 0,9268 0,7106 0,4275 0,0766 0,0057 0,0002 0 0 8 1 0,998 0,9722 0,8713 0,4315 0,094 0,0081 0 0 10 0,9999 0,9971 0,9744 0,7304 0,2915 0,0494 0 0 12 1 0,9998 0,9969 0,9155 0,5785 0,1808 0,0006 0
15 1 0,9999 0,9936 0,9029 0,5722 0,0169 0
18 1 0,9998 0,9917 0,8998 0,1593 0
20 1 0,9991 0,9786 0,4112 0,0005
24 1 0,9998 0,9234 0,0732
26 1 0,9907 0,3526
30 1 1
Loi binomiale Pour n=40
Probabilités individuelles
k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%
0 0,669 0,1285 0,0148 0,0015 0,0001 0 0 0 0 0 2 0,0532 0,2777 0,1423 0,0365 0,0065 0,0001 0 0 0 0 5 0 0,0342 0,1647 0,1692 0,0854 0,0061 0,0001 0 0 0 7 0 0,0027 0,0576 0,1493 0,1513 0,0315 0,0015 0 0 0 10 0 0,0036 0,0373 0,1075 0,1128 0,0196 0,0008 0 0 12 0,0003 0,0077 0,0443 0,1366 0,0576 0,0051 0 0
15 0 0,0003 0,005 0,0774 0,1228 0,0366 0 0
18 0 0,0002 0,0172 0,1026 0,1031 0,0006 0
20 0 0,0038 0,0554 0,1254 0,0038 0
22 0,0006 0,0203 0,1031 0,0172 0
25 0 0,0021 0,0366 0,0774 0
30 0 0,0008 0,1128 0,0036
35 0 0,0061 0,1647
40 0 0,0148
Loi binomiale Probabilités cumulées
k 1% 5% 10% 15% 20% 30% 40% 50% 70% 90%
0 0,669 0,1285 0,0148 0,0015 0,0001 0 0 0 0 0 2 0,9925 0,6767 0,2228 0,0486 0,0079 0,0001 0 0 0 0 5 1 0,9861 0,7937 0,4325 0,1613 0,0086 0,0001 0 0 0 7 0,9993 0,9581 0,7559 0,4371 0,0553 0,0021 0 0 0 10 1 0,9985 0,9701 0,8392 0,3087 0,0352 0,0011 0 0 12 0,9999 0,9957 0,9568 0,5772 0,1285 0,0083 0 0
15 1 0,9999 0,9971 0,8849 0,4402 0,0769 0 0
18 1 0,9999 0,9852 0,7911 0,3179 0,0009 0
20 1 0,9976 0,9256 0,5627 0,0063 0
22 0,9997 0,9811 0,7852 0,032 0
25 1 0,9988 0,9597 0,1926 0
30 1 0,9997 0,8041 0,0051
35 1 0,9974 0,371
40 1 1
