Par convention un nombre entier naturel positif n est appelé « puissant » si pour tout facteur premier p de n, p² divise aussi n. Ainsi 36 et 500 sont deux nombres puissants.
Montrer que chacun des entiers naturels de 1 à 21 peut être représenté par la différence de deux nombres puissants.
Pour les plus courageux : un entier naturel quelconque peut-il être représenté par la différence de deux nombres puissants?
Tout nombre impair est différence de deux nombres puissants, en fait deux carrés, puisque 2k+1=(k+1)2-k2. Il en est donc de même du produit d’un nombre impair par un nombre puissant, en particulier le produit d’un nombre impair par 2i où i>1.
Le cas qui reste à étudier est donc celui du double d’un nombre impair non divisible par un carré. Nous cherchons donc n pair et k impair, tels que n+k et n-k soient puissants : n est pair, car sinon n-k et n+k seraient puissants et pairs, donc divisibles par 4, et 2k=(n+k)-(n-k) également, donc k serait pair ; de plus, n+k et n-k ne peuvent être tous deux des carrés.
Comme n est pair, n-k et n+k sont premiers entre eux ; (n+k)(n-k)=n2-k2 est donc un produit de nombres puissants qui n’est pas un carré : c’est donc le
produit d’un nombre par un carré divisible par ce nombre : pm2 où m est divisible par p, donc n2-pm2=k2 avec m divisible par p. Réciproquement, si (n,m) est
solution de n2-pm2=k2 avec n pair et m divisible par p, n-k et n+k sont impairs, premiers entre eux (car tout facteur commun apparaitrait au moins au carré, et diviserait aussi 2k) : les diviseurs de pm2 se répartissent donc en ceux de n-k et ceux de n+k, qui sont tous deux puissants.
On est donc ramené au problème suivant : montrer qu’il existe p impair et une solution (n,m) de n2-pm2=k2 avec n pair et m divisible par p.
Pour p=2k+1, l’équation (1) : n2-(2k+1)m2=k2 a une première solution n=k+1, pair, et m=1. Si (a, b) est solution de l’équation (2) : a2-(2k+1)b2=1, (n’, m’) où n’=an+(2k+1)bm, m’=bn+am , est aussi solution de (1). Si a est pair, donc b impair, a’=a2+(2k+1)b2 est impair, et (a’, b’) où b’=2ab, est aussi solution de (2).
On peut donc toujours obtenir a impair, b pair, donc n’ pair.
Pour des différences comprises entre 1 et 21, nous devons étudier k=1, 3, 5, 7 ; pour k=1, n2-3m2=1 a pour première solution (2, 1) et la plus petite solution de (2) avec a impair est (7,4), ce qui donne ensuite (26,15) où 15 est divisible par 3, donc 26-1=25=52 , 26+1=27=33 .
Pour k=3, la plus petite solution de (2) est (8,3), puis (127,48) ; partant de (4,1) on aboutit à la solution (214372, 81025) donc 214372±3= 4632 et 54*73 .
Pour k=5, la plus petite solution de (2) est (10,3), puis (199,60) et partant de (6,1) on aboutit à (116882618166, 35241435361), 116882618166±5=292*117892 et 112*93712
Pour k=7, la plus petite solution de (2) est (4,1), puis (31,8) et partant de (8,1) on aboutit à (308031537826273998368, 79533401073854611935) qui donne les nombres puissants 192*15432*5986572 et 33*53*154272*195832 .
