N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
Questions
Nouvelles annales de mathématiques 3
esérie, tome 2 (1883), p. 287-288
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QUESTIONS.
1447. Soient a,, a2, #3, . . . , an des valeurs positives de -r4, .r2, xz> • • «5 ^/n satisfaisant à l'équation, à coef- ficients positifs,
A^Tj-t- A2.r24- A3.r3-f-. . .-h A „ . rn= 1.
L a p r o b a b i l i t é q u e at1 a<>, . , rt;l soient respective- ment supérieurs à aM a2, a3, . . . , a/2 est exprimée par ]a ln— ,yème pUiSsance de
A.2a2
(E. CESAito.) 1448. Les chiffres de rang rc, dans les puissances suc- cessives d'un nombre quelconque, se reproduisent p é - riodiquement. Pour les puissances de 5, la période se compose de 9." 2( ; z > 3 ) termes, dont la somme est le
( »88 )
double de 9.2'* 4— 1 . Dans cette période, un même chiflre est répété | ( in~ 3 -f- çp) fois ; cp ayant, pour chaque chilfre, des valeurs différentes, suivant la forme de n, comme l'indique le tableau suivant. On a
(n=f\p) (n = 4/?-+-i) (n = 4/7 + 2) (n' P o u r o et 5 . . . . o = 3 , i , 2, — 1
» 1 » 6 . . . . <p •=. — 2, 1, — 3 , 4
» 2 » 7 . . . . © = = : — 2 , 1 , 2 , — 1 )) 3 )) 8 . . . . cp = : 3 , — 4> 2, — I )) 4 )) 9 (orm — 2, I, — 3 , — I ( E . C E S A R O .
1449. La somme des restes du nombre entier n, di- visé par chacun des nombres entiers qui le précèdent, augmentée de la somme des diviseurs des nombres non supérieurs à /e, est égale à n2(*). (E. CESAUO.)
1450. i° La somme des //zlèmes puissances des nombres premiers à IN et non supérieurs à ce nombre est divi- ble par N, si m est impair.
20 La somme des produits m h m des nombres premiers à N et non supérieurs à ce nombre est divisible par JN, si m est impair. ( E . CESARO).
