Feuilled ’ exercicesN 15

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MPSI 1 2002-2003

CPGE Agadir

Feuille d’exercices N

15

Vendredi le:20-Décembre-2002 Courbes Planes Paramétrées

1. Soitγl’arc définie par le paramétrage suivant : xt = ^t2_2t^−2t

yt = ^t₃³ − ^t₂² t ∈ IR

a. Dresser le tableau de variation deγ

b. Etudier le point stationnaire,preciser son type et un vecteur qui dirge la tangente c. Etudier les branche infinies

d. Construireγ

e. SoientM1 = Mt1etM2 = Mt2deux point deγen lesquels les tangentes sont orthogonales etP = x,yle point d’intersection de ces deux tangentes

i. Exprimerx,yen fonction det1,t2.puis en fonction deu = t1+t2

ii. reconnaître alors l’ensemble décrit par les points P

2. Déterminer une droite qui soit a la fois tangente et normale aγ: xt = 3t²

yt = 2t³ t ∈ IR

3. Soitγl’arc définie par le paramétrage suivant :γ: xt = ₁₊^t_t3

yt = ₁^t₊²_t3

t ≠ −1

a. Montrer que 3 points deγ:Mti1≤i≤3sont alignés⇔ t1t2t3 = −1

b. Chaque tangente aγau pointMtirecoupeγen un pointMuimontrer que ui = −_t¹

i2

c. En déduire que :Mti1≤i≤3sont alignés⇔ Mui1≤i≤3sont alignés

4. Construire les arcs géometriques définies par les paramétrages suivants apres avoir dresser le tableau des variations,etudier les points stationnaires et les branches infinies :

a. xt = ₁₊^t_t²_−t3

yt = ln1+t²

b. xt = sint

yt = ₂^cos_−cos^2_^t_t

c.

xt = ₁^2t_+t2

yt = ^{41−2t}

1+t^{2 2}

a. Construire l’arc géometrique γdéfinie par le paramétrage suivant

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: xt = cos²t yt = cost1+sint

b. A tout pointMtdeγon associeM′ = Mt′deγtel queOMOM′, detérminer les coordonnées deI = x,ymilieu deM,M′en fonction de t

c. Reconnaitre l’ensemble decrit par ces pointsI

5. Etudier les points stationnaires des arcs paramétrés définis par : a. xt = e^t−1−t

yt = t³−3t

b. xt = ^t_t²2⁻+¹1

yt = ^t_t³2⁻+¹1

6. On considère l’arc géometriqueγdéfini par : xt = _t2^t−1

yt = _t−1^t2 a. Dresser le tableau de variation deγ

b. Etudier le point stationnaire,preciser son type et un vecteur qui dirge la tangente c. Etudier les branche infinies

d. Construireγ

e. Déterminer le point double

f. Montrer qu’en ce point les deux tangentes sont orthogonales 7. Etude d’une astroïde:

On considère l’arc géometriqueγdéfini par : xt = cos³t

yt = sin³t (astroïde:) a. montrer qu’on peut réduire l’étude à0, ^π₄, préciser les symétrie de l’arc

b. soittetudeux réels distincts , donner uneCNSpour que les tangentes àγaux points MtetMusoient orthogonales

c. SoitM^′t′le point de cette intersection, exprimert′en fonction det

d. Reconnaitre l’ensemble decrit par les points P,cet ensemble s’appellecourbe orthoptique de l’astroïde