Polynômes et second degré COURS 1ere S

Ch 3 Polynômes et second degré 1

S 3

Activité préparatoire : Fonctions polynômes du second degré : Les différentes écritures et leur utilisation.

 Exercice 1 Exercice de motivation :

Comment déterminer deux nombres connaissant leur somme et leur produit ?

Comment déterminer les dimensions d’un rectangle connaissant son aire et son périmètre ? Dans ce chapitre vous apprendrez à

 résoudre n’importe quelle équation du type ax² bxc0,

 factoriser (quand c’est possible) n’importe quelle expression de la forme c

bx

ax²   et trouver facilement son signe,

 connaître l’allure de la courbe représentative de ^f(^x)^ax2 ^bx^c au premier coup d’œil sur l’expression de f.

 et bien plus ! (comme résoudre 4x³7x² 14x30)

I. Fonction polynôme de degré quelconque

A. Remarque préliminaire : Un problème de notations

Si l’on veut nommer n réels, choisir une lettre distincte pour désigner chacun d’entre eux est très laborieux, surtout s’il y a plus de 26 réels.

Heureusement, en mathématiques, on a une solution pour remédier à ce petit problème : On choisit une seule lettre, a par exemple, et on désigne chacun de ces réels par cette lettre affectée d’un indice, par exemple a1 (qui se lit « a indice 1 » ou « a 1 » pour les pressés.)

Ces n réels sont désignés alors par : a1 , a2 , a3 ,… , an.

Les points de suspension représentent tous les réels ai que l’on n’a pas écrits.

B. Définition

Définition : On appelle fonction polynôme (à coefficients réels) toute fonction P définie sur R

P(x)  an xⁿ

 a

x

 ...  a

où a

, a

, ... , a

sont des réels.

 Exercice 2 les fonctions suivantes sont-elles des polynômes ? Polynô

me ?

Justification si nécessaire. Si f est un polynôme, donnez a0 = . . . a1 = . . . , an = . . .. (n’indiquer que les coefficients ai non nuls)

7 5 )

(x  x² f

) 6 ( 2 )

(x  x x² f

x x

x

f( ) ² 3

1 ) 1

(

2



  x x x f

)2

6 5 ( )

(x x

f  

)4

6 5 ( )

(x x

f  

Théorème et définition (admis) :

Si P est une fonction polynôme non nulle, il existe une unique liste de réels a

, a

, a

, …a

tels que pour tout réel x, P(x)  a

 a

x

 ...  a

avec a

 0.

L’entier n est appelé le degré de P et on note n  deg(P).

Le terme a

s'appelle terme de degré

Le nombre a

s'appelle le coefficient de x

 Exercice 3 Vocabulaire.

On considère la fonction polynôme définie par f(x)(x1)³4x²3x12, Quel est le coefficient du terme de degré 1 de f ? . . . .

Le terme de degré 3 de f est . . . .

Complétez les phrases suivantes. a₀ ... , a₁ ...,a₂ ... , a₃ ...,a₄ ... . Pour tout k>3 a_k ...

 Exercice 4 Degré d’une fonction polynôme.

Polynô me ?

Si f est un polynôme, indiquez son degré.

Chapitre 3: Polynômes et second degré Mme Helme-Guizon, LFT 1^ère S 2009-2010

2

2 3

7 )

(x  x⁶ x²x f





 6 ) (x x f

)3

2 7 ( )

(x  

f

x x x

f 2

3 )

(  

2

2 (5 )

) 3 ( )

(x x x

f    

Exemples et contre-exemples :

 La fonction P définie par P(x)(2x3)(x²4)2x³ est une fonction polynôme de degré 2 (et pas 3 car après développement les termes de degré 3 disparaissent.)

 Les fonctions affines x  ax  b, avec a  0, sont des fonctions polynômes de degré 1.

 Les fonctions constantes x k, avec k  0, sont des fonctions polynômes de degré 0.

 La fonction constante égale à 0 est le polynôme nul. Elle n’a pas de degré.

C. Racine d'un polynôme et factorisation d'un polynôme

Définition : On appelle racine réelle d'une fonction polynôme P (à coefficients réels) tout réel  (lire « lambda ») tel que P()  0.

Autrement dit, une racine d’un polynôme P est une solution de l’équation P(x)  0.

Exemples :

 3 est racine du polynôme P(x)2x³6x²x3 puisque P(3) = 0.

 Les fonctions polynômes du 1^er degré x  ax  b (où a et b sont des réels avec a  0) admettent toutes une seule racine  ^{ b}_a .

 Certaines fonctions polynômes n'ont aucune racine réelle. Par exemple la fonction polynôme

21 x

x qui est strictement positive.

Remarque: une fonction polynôme sans racine réelle est nécessairement de signe constant.

 Exercice 5 Préparation du théorème de factorisation.

On considère la fonction polynôme définie par f(x)2x² 7x6, Montrer que 2 est racine de f .

Montrer qu’il existe des réels a et b tels que ^{f(x)(x2)(axb)} et les déterminer.

En fait, comme l’explique le théorème ci-dessous, le résultat observé dans l’exemple précédent est général :

Si 1 est racine du polynôme P, alors on peut mettre x-1 en facteur dans le polynôme P ; Si 5 est racine du polynôme P, alors on peut mettre x-5 en facteur dans le polynôme P ; Si 2est racine du polynôme P, alors on peut mettre x- 2 en facteur dans le polynôme P ;

Si -3 est racine du polynôme P, alors on peut mettre x-(-3) = x+3en facteur dans le polynôme P….etc.

Théorème (admis): Si une fonction polynôme P de degré n (n  1) a une racine x  , alors on peut factoriser P(x) par (x – ) c'est-à-dire P(x)  (x – ) Q(x) où Q est une fonction polynôme de degré n – 1.

Vocabulaire : Factoriser un polynôme par (x – ) c’est l’écrire sous forme du produit de (x – ) par un autre polynôme.

Chapitre 3: Polynômes et second degré Mme Helme-Guizon, LFT 1^ère S 3 Racines / Résolution de P(x)=0 1) Pour trouver les racines d’un polynôme de degré 2, on aura bientôt une méthode générale (voir plus loin).

2) Pour trouver les racines d’un polynôme de degré 3 ou plus, on essaie de deviner une racine, puis on factorise grâce au théorème

 Exercice 6

On considère la fonction polynôme définie par 9

9 4 4 )

(x  x³ x² x

f ,

Trouver une racine de f . Factoriser f .

Résoudre l’équation ^f(x)0.

Remarque : C’était un exercice d’entraînement. Souvent, on ne vous donnera que la dernière question. A vous de savoir quelle méthode employer !

Théorème

Démonstration :

Puisque P a un degré, P n'est pas la fonction polynôme nulle.

Raisonnons par l'absurde. Si la fonction P possède p racines avec p > n, en notant 1, ... , p ces racines, on a, d'après le théorème de factorisation (appliqué p fois) :

P(x)  (x 1)(x 2) ... (x p)Q(x)

où Q est une fonction polynôme de degré n  p < 0, donc Q  0 et, par suite, P  0, ce qui contredit l'hypothèse initiale d'où p < n.

La fonction polynôme P possède donc au plus n racines réelles.

II. Trinômes du second degré

Définition : Une fonction polynôme de degré 2, c'est-à-dire une fonction qui peut s’écrire c

bx ax x

f( ) ²   avec a  0, est formée de trois termes et s’appelle pour cette raison (tri =3) une fonction trinôme du second degré. On la note en général f(x)ax² bxc (avec a  0) plutôt que d’utiliser les indices.

A. Forme canonique Rappelons que nos objectifs sont de :

- résoudre n’importe quelle équation du type ax²bxc0,

- factoriser (quand c’est possible) n’importe quelle expression de la forme ax² bxc et trouver facilement son signe,

- connaître l’allure de la courbe représentative de f(x)ax² bxc au premier coup d’œil sur l’expression de f.

Pour cela, nous allons transformer l’écriture de f(x)ax² bxc. La nouvelle écriture (de la forme



 



 ( )² )

(x a x

f ), appelée sa forme canonique, nous permettra de répondre à toutes nos questions !

 Exercice 7

Mettre sous forme canonique (dans le tableau décrit ci-dessous) les trinômes suivants.

16 4 2 )

(  ²  

 x x x

f ; f₀(x) 4x² 4x1 et

32 10 )

(  ² 

 x x x

f .

Sur une grande feuille que vous prendrez dans le sens de la largeur, construisez le tableau suivant que vous compléterez au fur et à mesure.

Cet exercice consiste donc à remplir la première ligne du tableau.

) (x

f_ f₀(x) f_(x)

1 Forme canonique

2 Résolution de f(x) = 0 à partir de la forme canonique 3 Résolution de f(x) = 0 au moyen du théorème.

4 Courbe représentative de f

Chapitre 3: Polynômes et second degré Mme Helme-Guizon, LFT 1^ère S 2009-2010

4 Pour mettre un

polynôme de degré 2 sous forme canonique, on interprète le terme en x et le terme en x²

5 Factorisation de f(x) 6 Signe du trinôme f

Théorème [forme canonique]: Pour tout t

rinôme du second degré

(avec a0), on peut trouver deux nombres  et  tels que pour tout réel x,



 

 )² (x

a est appelée forme canonique du trinôme.

Démonstration : On montre par le calcul (faites-le !) que

a ac b a

x b a c bx

ax 4

4 2

2 2

2   



 

 





 ,

d’où

a b

 2

 et

a ac b

4

2 4

  . Il n’est pas nécessaire de connaître ces valeurs, elles servent seulement à démontrer les théorèmes qui suivent.

B. Racines d’un trinôme du second degré c'est-à-dire Résolution de l’équation a x ² + b x + c = 0

 Exercice 8

Résolvez (dans le tableau, ligne 2) l’équation f(x) = 0 à partir de la forme canonique pour chacun des trinômes f_(x)2x² 4x16 ; f₀(x)4x² 4x1 et f_(x)x² 10x32.

La méthode employée débouchera sur le théorème de résolution de l’équation de n’importe quelle équation de la forme ax² + bx + c = 0.

Cas général : Le théorème suivant est le plus important du chapitre. Il faut donc absolument le connaître, y compris l’expression des racines, et savoir l’utiliser.

Théorème

:

On considère l’équation

(avec a

s’appelle le

se lit « delta ») et il permet de résoudre l’équation.

En effet,

 Si ^0

l’équation a deux solutions qui sont

a x b

1 2







et

a x b

2 2





 

.

 Si ^0

, l’équation a une unique solution qui est

a x b

12

.

 Si ^0

, l’équation n’a pas de solutions réelles.

Démonstration : On part du fait que











   



 

 





 ₂

2 2

2a 4a x b

a c bx

ax .

 Exercice 9

Etant donnés les trinômes f_(x)2x² 4x16 ; f₀(x)4x² 4x1 et 32

10 )

(  ² 

 x x x

f , résolvez (dans le tableau, ligne 3) pour chacun des trinômes l’équation f(x) = 0 en utilisant le théorème ci-dessus. Cet exercice permet de se familiariser avec la méthode de résolution par le discriminant.

C. Représentation graphique et variations d’un trinôme du second degré

 Exercice 10

Déterminez la courbe représentative de chacun des trinômes f , _ f et 0 f (dans le tableau, ligne 4). _ La courbe obtenue est-elle cohérente avec le nombre de racines déterminées précédemment ?

Cas général :

 La courbe représentativexax²se déduit de la courbe représentative de la fonction carré xx² en multipliant les ordonnées de chaque point par a. C’est donc une parabole qui a pour sommet O(0, 0) et qui est tournée vers le haut si a0et tournée vers le bas si a0.

 La courbe représentative f(x)a(x)²se déduit de la courbe représentative de xax² puis translation de vecteur ^{ i j}. C’est donc une parabole de sommet (-,



Finalement, comme

a b

 2

 , on obtient :

Théorème [courbe représentative

]:

La courbe représentative

est une parabole dont le sommet a pour abscisse

b

 2

. Cette parabole est tournée vers le haut si

et elle est tournée vers le bas si

.

D. Factorisation d’un trinôme du second degré

 Exercice 11

Factorisez chacun des trinômes f , _ f et 0 f (dans le tableau, ligne 5)._ La méthode employée débouchera sur le théorème de factorisation d’un trinôme.

Théorème [Factorisation d’un trinôme du second degré]:

On considère le trinôme du second degré

(avec a0) et son discriminant

ac b² 4





.

 Si ^0

,

où

et

sont les racines du trinôme.

 Si ^0

,

où

est l’unique racine du trinôme.

 Si ^0

,

ne se factorise pas par un polynôme de degré 1.

Démonstration : On part de nouveau du fait que











   



 

 





 ₂

2 2

2a 4a x b

a c bx

ax .

 Exercice 12

Factorisez en un produit de trois polynômes de degré 1 le polynôme P(x)4x³ 5x² 9x.

E. Signe du trinôme

 Exercice 13

Déterminez le signe des trinômes f , _ f et 0 f (dans le tableau, ligne 6). _ Les signes obtenus sont-ils cohérents avec les courbes déterminées précédemment ? Cas général :

On part du théorème de factorisation et, si besoin est, on fait un tableau de signe.

 Si 0 , ax² bxca(xx₁)(xx₂) est du signe opposé à celui de a entre ses racines x1 et x2 et du signe de a à l’extérieur de ses racines.

 Si 0, ax² bxca(xx₁)² est du signe de a mais s’annule en

a x b

1  2 , l’unique racine du trinôme.

 Si 0, ax² bxca le même signe que a pour tout x.

On résume tout ceci par le théorème suivant :

Théorème [Signe d’un trinôme du second degré]:

Le trinôme

(avec a0) est du signe de a sauf entre ses racines s’il en a.

 Exercice 14

Chapitre 3: Polynômes et second degré Mme Helme-Guizon, LFT 1^ère S 2009-2010

6 Etudier la position

relative de deux courbes signifie que l’on veut savoir laquelle

Etudier la position relative des courbes représentatives des fonctions f et g définies respectivement par f(x) x² 6x7 et

1 4 )

(x x²  x

g .

 Exercice 15

Résoudre l’inéquation 0 1 20 3 2 ²      x x x . F. Tableau récapitulatif A compléter ! ANNEXES  Objectifs (vérifiez que vous les avez atteints !)  Reconnaître une fonction polynôme, son degré ses coefficients,  Factoriser un polynôme dont on connaît une racine,  Trouver les racines d’un trinôme et sa forme factorisée en calculant son discriminant,  Déterminer les variations d’une fonction trinôme et tracer la parabole correspondante.  Plan de ce cours : I. Fonction polynôme de degré quelconque...1

A. Remarque préliminaire : Un problème de notations...1

B. Définition...1

C. Racine d'un polynôme et factorisation d'un polynôme...2

II. Trinômes du second degré...3

A. Forme canonique...3

B. Racines d’un trinôme du second degré c'est-à-dire Résolution de l’équation ax² + bx + c = 0...4

C. Représentation graphique et variations d’un trinôme du second degré...5

D. Factorisation d’un trinôme du second degré...5

E. Signe du trinôme...5

F. Tableau récapitulatif...6

 Sources pour ce cours :

 Livre Déclic

 G. constantini, http://bacmaths.net/

 Livre Math’x

Chapitre 3: Polynômes et second degré Mme Helme-Guizon, LFT 1^ère S 2009-2010 8

Chapitre 3: Polynômes et second degré Mme Helme-Guizon, LFT 1^ère S 9

Polynômes et second degré Exercices

1^ère S 4 08-09

Exercice 16 Forme canonique

Les fonctions ^f et g sont définies sur R par 12

)

(x  x²x

f et g(x)x²6x16. Factorisez si possible f(x) et g(x) en commençant par les mettre sous forme canonique.

Exercice 17

Les fonctionsP et ^Qsont définies sur R par 2

6 )

(x  x²x

P et

2 3 5 6 )

(x  x³ x² x

Q .

Factoriser l’expression de^P(x). Calculer ^Q(1).

Résoudre par le calcul l’équation^Q(x)0. Exercice 18 Vocabulaire

On considère la fonction polynôme définie par 12

3 4 ) 1 ( )

(x  x ³ x² x

f ,

Quel est le coefficient du terme de degré 1 de f ?

Indiquez le terme de degré 3 de f.

Complétez les phrases suivantes. a₀ ... , ...

1 

a ,a₂ ... , a₃ ...,a₄ ... . Pour tout k>3 a_k ...

Exercice 19 Polynômes ou pas ?

On considère les fonctions définies respectivement par f(x)(x1)²4x7,

3 )

(x 

g , ^{h(x)4x7},

) 1 ( ) 7 ( )

(x  x² ³x⁵ x³

P et



 



)

(x  x x^1/2  x

Q .

Indiquer si ces fonctions sont des polynômes et si oui, indiquer leur degré.

Exercice 20 Polynômes ou pas ? On considère les fonctions définies respectivement par

2 9 ) 1 ) (

(

2

1 



  x x x

f , f₂(x) (2x3)² ,

4 3(x) (2x3)

f et f₄(x) 7x².

Indiquer si ces fonctions sont des polynômes et si oui, indiquer leur degré.

Exercice 21 Vrai ou faux ?

La somme d’un polynôme de degré 3 et d’un polynôme de degré 4 est un polynôme de degré 4.

La somme de deux polynômes de degré 4 est un polynôme de degré 4.

Deux polynômes qui ont les mêmes racines sont égaux.

Le polynôme défini par

2 5

)

(x x⁷ x⁴x

P n’a pas de racine

positive.

Exercice 22 Résolution par équivalence et par implication

Résoudre les équations suivantes 3 0

2

3

2 ² 





 x

x

x . 4x x2

Exercice 23 Résoudre les inéquations suivantes

4 0 4

2

2 



 x x

x . 0

2 4

2

2 



 x x

x .

Exercice 24 Domaine de définition Déterminez le domaine de définition de la fonction définie par

1 ) 1

( ₃

  x x

f .

Exercice 25 Domaine de définition Déterminez le domaine de définition de la fonction définie par

2 1 4 ) 4

(

2







 

x x x x

f .

Exercice 26 Mise en équation

Déterminez un nombre tel que, si on ajoute 18 à son triple, on trouve son carré.

Exercice 27 Mise en équation

Un père a 54 ans et son fils 12 ans. Déterminez le nombre d’années écoulées depuis que l’age du père était le carré de celui de son fils.

Exercice 28

Résoudre















3 2 2

5 1 1

uv v u

Sol : 3u² 5u20 (idem pour v, car pb symétrique en u et v)



 

 

 3

,1 2 )

,

(u v et 



 



 

 , 2 3 ) 1 , (u v

Exercice 29

On considère les fonctions définies par 23

12 2

)

(x  x² x

f et

) ( ) 1

(x f x

g 

Donner le tableau de variation de f et mettre f sous forme canonique.

Donner le tableau de variation de g.

Sol : f(x)2(x3)² 5

Exercice 30

On considère les fonctions définies par 50

24 3

)

(x  x² x

f et

) ( ) 1

(x f x

g 

Donner le tableau de variation de f et mettre f sous forme canonique.

Donner le tableau de variation de g.

Sol : f(x)3(x4)² 2

Exercice 31

Dans un repère orthonormal, On considère les points A(3 ;0) ; B(-2, 0) et M(x, 1). On pose

2

2 2

)

(x MA MB

f   .

Exprimer ^{f (x)}en fonction de

x

Déterminer la position de M pour laquelle )

(x

f est minimum.

Exercice 32

On considère les paraboles P1 et P2 d’équation respectives :

P1 :yx²⁵x⁴ et P2 :y²x²³x²⁰

Déterminer l’ensemble des abscisses des points de P1 situés au-dessus de P2.

Exercice 33

On considère les paraboles P1 et P2 d’équation respectives :

P1 :yx²³x⁴ et P2 :y²x²x¹⁰

Déterminer l’ensemble des abscisses des points de P1 situés au-dessus de P2.

Exercice 34 Résoudr