Ds et corrigé

Lundi 21 janvier 2008.

DS de Mathématiques. 1°S1 et 1°S2.

PARTIE 2. (3 heures).

Calculatrice autorisée.

EXERCICE 1. Sur feuille 1.

f est la fonction définie par f(x) = x

- 4x²+ 8x - 4 (x - 1)²

et C

est sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i

; j

) (unité 1 cm sur chaque axe)

1. Déterminer le domaine de définition D

de f et les limites de f aux bornes de ce domaine.

2. Montrer que, pour tout x de D

, f(x) = x − 2 + 3x - 2 (x - 1)² . 3. Soit (D) la droite d’équation y = x − 2.

a. Montrer que (D) est asymptote à C

en −∞ et +∞.

b. Etudier les positions relatives de C

et (D).

4. C

a−t−elle d’autre(s) asymptote(s) ?

5. Etude des variations de f : on note f’ la fonction dérivée de f.

a. Montrer que f’(x) = x²(x²- 4x + 3) (x - 1)

.

b. Quelles sont les valeurs de x qui annulent la dérivée ? c. Etudier le signe de f’(x).

d. Dresser le tableau de variation de f.

6. Déterminer les équations des tangentes (T) et (T’) à C

aux points d’abscisses − 1 et 0.

7. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet, dans l’intervalle ]0 ;1[, une unique solution α dont vous chercherez une valeur approchée à 10

près.

8. Dans (O ; i

; j

), construire les asymptotes, (T), (T’) puis C

.

EXERCICE 2. Sur feuille 2.

On considère les hyperboles (H) dont une équation dans un repère choisi est y = mx + 2

x - m , avec m réel.

Déterminer toutes les courbes (H) qui possèdent la propriété suivante :

« la tangente au point d’abscisse 2 est parallèle à la droite d’équation y = −3x, et le point de contact de cette tangente a une ordonnée positive ».

Exercice 3. au dos …

EXERCICE 3. Sur feuille 3.

Une entreprise fabrique une certaine quantité q d’objets.

Les coûts totaux de production sont donnés, en euros,

par la fonction C : q → 0,08 q

− 64,8 q² + 20.000 q, pour q ∈ [0 ; 700].

Chaque unité étant vendue 11 878 €, la recette totale est donnée (en admettant que toute la production soit vendue) par R(q) = 11 878q.

Sur l’annexe jointe, ces deux fonctions sont représentées dans un repère où l’unité sur l’axe des abscisses représente 100 objets et l’unité sur l’axe des ordonnées représente 10

€.

Remarque : q est une quantité d’objets, donc une variable discrète ; on décide de la « mathématiser » par une fonction d’une variable réelle, ce qui explique le tracé continu des courbes.

On décide aussi que cette « modélisation » permet d’utiliser les outils de l’analyse : limites, dérivation …

1. a. Par lecture graphique, donner l’intervalle dans lequel doit se situer la production q pour qu’il y ait rentabilité de l’entreprise.

b. On appelle B(q) le bénéfice réalisé avec la vente d’une production de q objets.

Retrouver, par le calcul, le résultat précédent.

2. a. Par lecture graphique, déterminer pour quelle production q

, le bénéfice est maximal.

b. Retrouver ce résultat en étudiant les variations de la fonction B sur [0 ; 700].

3. On désigne par M le coût moyen unitaire de la production de q objets : M(q) = C(q) q .

En étudiant les variations de la fonction M, déterminer la quantité q

qui minimise le coût moyen.

4. On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d’un objet supplémentaire quand on en fabrique q.

Si on note m(q) ce coût marginal, on a m(q) = C(q + 1) – C(q) = C(q + 1) - C(q) (q + 1) - q . m(q) est donc le taux d’accroissement du coût total C entre q et q + 1.

On décide de modéliser m(q) par m(q) = C’(q) où C’ est la fonction dérivée de C.

a. Comparer le coût moyen et le coût marginal pour la quantité q

(obtenu au 3.)

b. Déterminer graphiquement la valeur de q pour laquelle la tangente à la courbe représentant C, passe par

l’origine du repère ; calculer le coefficient directeur de cette tangente. Que remarque − t − on ?

Feuille annexe à rendre avec votre copie. NOM :

Toutes les recherches graphiques doivent apparaître sur ce graphique.

y = C (q) y = R(q)

200 300 400 500 600 700

2E6 3E6 4E6 5E6 6E6 7E6 8E6

0 100

1E6

x y

Exercice II.

Une entreprise fabrique une certaine quantité q d’objets. Les coûts totaux de production sont donnés, en euros, par la fonction C(q) = 0,08q³ - 64,8q² + 20 000q, pour q ∈∈∈∈ [0 ; 700].

Chaque unité étant vendue 11 878 €, la recette totale est donnée par R = 11 878q.

1. a. Par lecture graphique, donner l’intervalle dans lequel doit se situer la production q pour qu’il y ait rentabilité de l’entreprise.

Il y a rentabilité de l’entreprise quand la recette est supérieure aux coûts.

Donc, graphiquement, quand la droite d’équation y = R(q) est au dessus de la courbe d’équation y = C(q) c’est à dire pour 150 < q < 650

b. On appelle B(q) le bénéfice réalisé avec la vente d’une production de q objets. Retrouver, par le calcul, le résultat précédent.

B(q) = R(q) – C(q) = 11 878q – (0,08q³ − 64,8q² + 20 000q) = − 0,08q³ + 64,8q² − 8122q Etude du signe de B(q) : B(q) = − 0,08q³ + 64,8q² − 8 122q = q (− 0,08q² + 64,8q − 8 122) B(q) a le signe du trinôme − 0,08q² + 64,8q − 8 122 car q > 0.

Le discriminant est ∆ = 1600 il y a donc 2 racines : - 64,8 - 40

- 0,16 et - 64,8 + 40

- 0,16 c’est à dire 655 et 155 de plus, le coefficient de q², est négatif donc B(q) > 0 pour q dans ]155 ; 655[

remarque : ces valeurs sont conformes à celles lues sur le graphique …

2. a. Par lecture graphique, déterminer pour quelle production q₀ , le bénéfice est maximal.

Graphiquement, le bénéfice est maximal quand l’écart entre les deux courbes est le plus grand.

On compare les ordonnées de deux points de même abscisse q pour q ∈ ]155 ; 655[. On obtient q0 ≈ 470

b. Retrouver ce résultat en étudiant les variations de la fonction B sur [0 ; 700].

B(q) = − 0,08q³ + 64,8q² − 8122q. B est une fonction polynôme donc dérivable sur [0 ; 700]

B’(q) = − 0,24q² + 129,6q − 8122

B’(q) est un trinôme de discriminant ∆ = 8999,04 et donc de racines - 129,6 - ∆

- 0,48 ≈ 468 et - 129,6 + ∆ - 0,48 ≈ 72 D’après la règle du signe du trinôme : dans [0 ; 72] ∪ [468 ; 700] B’(q) ≤ 0 donc B décroît

dans ]72 ; 468[, B’(q) > 0 donc B croît B(q) est donc maximal pour q ≈ 468 (valeur conforme à celle obtenue graphiquement …)

3. On désigne par M le coût moyen de la production de q objets : M(q) = C(q) q .

En étudiant les variations de la fonction M, déterminer la quantité q₁ qui minimise le coût moyen.

M(q) = C(q)

q = 0,08 q² − 64,8 q + 20000. M est une fonction polynôme donc est dérivable sur [0 ; 700]

M’(q) = 0,16 q – 64,8 = 0,16(q – 405) pour q < 405, M’(q) < 0 donc M décroît pour q > 405, M’(q) > 0 donc M croît on sait alors que M(q) est minimal pour une production q₁ de 405 objets.

4. On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d’un objet supplémentaire. Si on note m ce coût marginal, on a m = C(q + 1) – C(q) = C(q + 1) - C(q)

(q + 1) - q . m est donc le taux d’accroissement du coût total C entre q et q+1.

On décide de modéliser m(q) par m(q) = C’(q) où C’ est la fonction dérivée de C.

donc m(q) = C’(q) = 0,24 q² − 129,6 q + 20000.

a. Comparer le coût moyen et le coût marginal pour la quantité q₁. q₁ = 405 (cf 3.) M(405) = 6878 et m(405) = 6878

Pour une fabrication de 405 objets, le coût moyen est égal au coût marginal et vaut 6878 €.

c. Déterminer graphiquement la valeur de q pour laquelle la tangente à la courbe représentant C, passe par l’origine du repère ; calculer le coefficient directeur de cette tangente. Que remarque−−−−t−−−−on ?

La valeur de q cherchée semble être 410.

On a alors C(410) = 2.820.800 et le coefficient directeur de cette droite est (2.820.800 − 0)/(400 − 0) = 6880

On remarque que la valeur de q lue sur le graphique est sensiblement celle qui minimise le coût moyen et pour laquelle les coûts moyen et marginaux sont égaux.

Exercice 2.

On considère les hyperboles (H) dont une équation dans un repère choisi est y = mx + 2

x - m , avec m réel.

Déterminer toutes les courbes (H) qui possèdent la propriété suivante :

la tangente au point d’abscisse 2 est parallèle à la droite d’équation y = −−−−3x, et le point de contact de cette tangente a une ordonnée positive.

y = mx + 2

x - m est l’équation de (H) représentative de la fonction f : x →mx + 2

x - m définie sur ]−∞ ; m[ ∪ ]m ; +∞[ la tangente au point d’abscisse 2 est parallèle à la droite d’équation y = −3x signifie que f’(2) = −3 : condition (1) le point de contact de cette tangente a une ordonnée positive signifie que f(2) ≥ 0 : condition (2)

Condition (1) :

Déterminons f’(x) pour résoudre f’(2) = −3.

f’(x) = (mx + 2)'(x - m) - (mx + 2)(x - m)'

(x - m)² = m(x - m) - (mx + 2)

(x - m)² = - m² - 2 (x - m)² f’(2) = −3 ⇔ - m² - 2

(2 - m)² = −3 ⇔ −m² − 2 = −3(4 − 4m + m²) ⇔ m² − 6m + 5 = 0 1 est une racine évidente de ce trinôme, l’autre racine est donc 5 donc la condition (1) est satisfaite pour m = 1 ou m = 5

Condition (2) : f(2) ≥ 0 ⇔ 2m + 2

2 - m ≥ 0 (avec m ≠ 2)

le signe de ce quotient s’étudie comme le signe du trinôme (2m + 2)(2 − m) dont les racines sont −1 et 2 donc f(2) ≥ 0 ⇔−1 ≤ m < 2

Bilan : m = 1 car c’est la seule valeur de m telle que : −1 ≤ m < 2 ET m = 1 ou m = 5 Exercice 1.

f est la fonction définie par f(x) = x³- 4x²+ 8x - 4

(x - 1)² . C_f représente f dans un repère orthonormé (O ; i^→→→→ ; j^→→→→)

1. Déterminer le domaine de définition D_f de f et les limites de f aux bornes de ce domaine.

Recherche du domaine : f(x) existe quand (x−1)² ≠ 0 c’est à dire x ≠ 1 donc Df = ]−−−−∞∞∞∞ ;1[ ∪∪∪∪ ]1 ;+∞∞∞∞[.

Limites en −∞ et +∞ : f(x) prend la forme indéterminée « ∞/∞ »

mais, quand x → ± ∞, f(x) a même limite que x³/x² c’est à dire x. donc lim

x→→→→-∞∞∞∞ f(x) = −−−−∞∞∞ et lim∞

x→→→→+∞∞∞∞ f(x) = +∞∞∞∞

Limite en 1 : x³ − 4x² + 8x − 4 → 1 et (x −1)²→ 0⁺ donc lim

x→→→1→ f(x) = +∞∞∞. ∞ 2. Montrer que, pour tout x de D_f , f(x) = x −−−− 2 + 3x - 2

(x - 1)² . x − 2 + 3x - 2

(x - 1)² = (x - 2)(x - 1)²+ 3x - 2

(x - 1)² = (x - 2)(x² - 2x + 1)+ 3x - 2

(x - 1)² = … = f(x). Donc l’égalité est vérifiée.

3. Soit (D) la droite d’équation y = x −−−− 2.

a. Montrer que (D) est asymptote à C_f en −−−−∞∞∞∞ et +∞∞∞∞. (D) est asymptote à C_f en −∞ et +∞ à condition que lim

x→±∞[f(x) − (x − 2)] = 0.

or f(x) − (x − 2) = 3x - 2

(x - 1)² et quand x →±∞, ce quotient a même limite que 3x/x² soit 3/x

donc limx→±∞[f(x) − (x − 2)] = limx→±∞3/x = 0. Cela prouve que (D) est asymptote à C_f en −∞ et +∞.

b. Etudier les positions relatives de Cf et (D).

Les positions relatives de C_f et (D) sont données par le signe de f(x) − (x−2) c’est à dire de 3x - 2 (x - 1)² Dans D_f, (x−1)² > 0 donc ce quotient est du signe de 3x − 2 soit : x

f(x)-(x-2)

|

| -∞

- 2/3

0 +

1

||

+

+∞

On en déduit que : C_f et (D) se coupent en A(2/3 ; −4/3) quand x∈]−∞ ; 2/3[, Cf est en dessous de (D) quand x∈]2/3 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[,Cf est au dessus de (D)

4. C_f a−−−−t−−−−elle d’autre(s) asymptote(s) ?

On a vu que limx→1f(x) = +∞ donc la droite ∆∆∆∆ d’équation x = 1 est asymptote à C_f.

5. Etude des variations de f : on note f’ la fonction dérivée de f.

a. Montrer que f’(x) = x²(x²- 4x + 3) (x - 1)⁴ .

f’(x) = (3x² - 8x + 8)(x - 1)²- (x³ - 4x² + 8x - 4)(2)(x -1)

(x -1)⁴ = … = x²(x²- 4x + 3)

(x - 1)⁴ = x²(x - 1)(x - 3) (x - 1)⁴ b. Quelles sont les valeurs de x qui annulent la dérivée ?

f’(x) = 0 ⇔ x²(x −1)(x − 3) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 1 ou x = 3.

or 1 n’est pas dans

D

Dans Df, (x − 1)⁴> 0 et x² ≥ 0 donc f’(x) est du signe du trinôme (x − 1)(x − 3) c’est à dire : x f'(x)

|

| -∞

+ 0

0 +

1

||

-

3 0

+

+∞

d. Dresser le tableau de variation de f.

6. Déterminer les équations des tangentes (T) et (T’) à C_f aux points d’abscisses −−−−1 et 0.

La tangente (T) à C_f au point d’abscisse −1 a pour équation y = f’(−1)(x−(−1)) + f(−1) or f’(−1) = 1/2 et f(−1) = −17/4 donc (T) a pour équation : y = (1/2)x −15/4 La tangente (T’) à C_f au point d’abscisse 0 a pour équation y = −4 car f’(0) = 0 et f(0) = −4

7. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet, dans l’intervalle ]0 ;1[, une unique solution αααα dont vous chercherez une valeur approchée à 10⁻⁻⁻⁻² près.

Dans ]−∞ ; 0[, f croît de −∞ à −4 donc f(x) = 0 n’a pas de solution.

Dans ]1 ; +∞[, la valeur minimale de f(x) est 11/4 donc f(x) = 0 n’a pas de solution.

Dans ]0 ; 1[, f

 



est strictement croissante

prend des valeurs de -4 à +∞donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, f(x) = 0 a une unique solution α qui est dans ]0 ; 1[.

Par balayage avec la calculatrice, on obtient : f(0,70) < 0 et f(0,705) > 0 donc 0,70 < α < 0,705 d’où αααα ≈≈≈≈ 0,70 8. Dans (O ; i^→ ; j^→), construire les asymptotes, (T), (T’) puis C_f. (page suivante …)

x −∞ 0 1 3 +∞

f ’(x) + 0 + − 0 +

f (x)

−∞ −4

+∞ +∞

11/4

+∞

(T)

(D )

2 3 4 5 6

-1 -2

-3 -4

2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

0 1

1

x y

A