Nombres quadratiques

(1)

Formes quadratiques (Le¸con 2)

Jorge Jim´enez Urroz

(Universitat Polit`ecnica de Catalunya)

Ecole Cimpa, Bamako, Novembre 2010 ´

Nombres quadratiques

D´efinition

Un nombre quadratique est un nombre α de la forme x + y √

∆ o` u ∆ n’est pas un carr´e parfait de Q et o` u x, y ∈ Q . Le conjugu´e de α est α

^�

= x − y √

∆.

Un nombre quadratique est donc un nombre qui est solution d’un polynôme irréductible de degré deux. Dans ce qui suit, ∆ n’est pas un carré parfait.

D´efinition

Soit ∆ > 0. Un nombre quadratique α est r´eduit si α > 1 et

− 1 < α

^�

< 0.

D´efinition

Les a

_i

sont dits les quotients partiels de la fraction continue α. Si a

₀

∈ Z et a

_i

∈ N , pour i > 0, alors la fraction continue est dite simple.

Proposition

Soit α une fraction continue. Alors, le d´eveloppement de α est infini si et seulement si α est irrationnel.

D´ emonstration:Soit α = a

₀

+ x

₁

, avec a

₀

= [α]. Pour i ≥ 1,

a

_i

=

� 0 � si x

_i

= 0,

1 xi

� si x

_i

� = 0,

et x

i+1

=

_x¹

i

− a

i

. Si α ∈ Q , alors x

i

=

^p_qⁱ

i

et 0 < q

i

< q

i−1

.

D´efinition

Soit α = [a

0

, . . . , a

k−1

, a

k

, . . . , a

k+l

]. La barre horizontale veut dire que la suite des éléments se répète indéfiniment. De plus,

a

₀

, . . . , a

_k₋₁

et a

_k

, . . . , a

_k+l

sont respectivement appel´es la

prépériode et la période de α.

(2)

Si α est un nombre quadratique associé à une forme quadratique indéfinie de discriminant fondamental ∆ > 0, alors il existe P

₀

, Q

₀

∈ Z , tels que

α = α

₀

= P

₀

+ √

∆

2Q

0

avec 4Q

₀

| (∆ − P

₀²

).

En ce cas α = [a

0

, a

1

, a

2

, . . . ] o` u pour i ≥ 0, α

i

=

^Pⁱ⁺_2Q^√^∆

i

,

a

i

= [α

i

],

P

_i+1

= 2a

_i

Q

_i

− P

_i

, Q

i+1

=

^∆⁻_4Q^Pⁱ⁺¹_i²

.

α = a

0

+ P

₀

− 2a

₀

Q

₀

+ √

∆ 2Q

0

= a

₀

+ 1

2Q0

P0−2a0Q0+√

∆

= a

0

+ 1

2Q0(√

∆−(P0−2a0Q0))

∆−(P0−2a0Q0)²

= a

0

+ 1

√∆+2a0Q0−P0

2(∆−(P0−2a0Q0)²)/4Q0

= . . .

Exemples

(1) Avec ∆ = 40 = 4 · 5 · 2 et α

0

=

⁴⁺^√₆⁴⁰

, nous avons:

α

i

=

^Pⁱ⁺_2Q^√^∆

i

,

a

i

= [α

i

],

P

_i+1

= 2a

_i

Q

_i

− P

_i

, Q

_i+1

=

^∆−P_4Qⁱ⁺¹²

i

.

1 < α

₀

< 2, a

₀

= 1, P

₀

= 4, Q

₀

= 3;

P

1

= 2, Q

1

= 3; 1 < α

1

=

²⁺^√₆⁴⁰

< 2, a

1

= 1;

P

2

= 4 Q

2

= 2, 2 < α

2

=

⁴⁺^√₄⁴⁰

< 3, a

2

= 2;

P

3

= 4, Q

3

= 3, α

3

=

⁴⁺^√₆⁴⁰

.

i 0 1 2 . . . P

_i

4 2 4 . . . Q

_i

3 3 2 . . . a

i

1 1 2 . . .

Donc, α

0

= [1, 1, 2]

.

Exemples

(1) Avec ∆ = 40 = 4 · 5 · 2 et α

0

=

⁴⁺^√₆⁴⁰

, nous avons:

α

i

=

^Pⁱ⁺_2Q^√^∆

i

,

a

i

= [α

i

],

P

_i+1

= 2a

_i

Q

_i

− P

_i

, Q

_i₊₁

=

^∆−P_4Q²ⁱ⁺¹

i

.

1 < α

₀

< 2, a

₀

= 1, P

₀

= 4, Q

₀

= 3;

P

1

= 2, Q

1

= 3; 1 < α

1

=

²⁺^√₆⁴⁰

< 2, a

1

= 1;

P

2

= 4 Q

2

= 2, 2 < α

2

=

⁴⁺^√₄⁴⁰

< 3, a

2

= 2;

P

3

= 4, Q

3

= 3, α

3

=

⁴⁺^√₆⁴⁰

.

i 0 1 2 . . . P

_i

4 2 4 . . . Q

_i

3 3 2 . . . a

i

1 1 2 . . .

Donc, α

0

= [1, 1, 2]

.

(3)

Exemples

(1) Avec ∆ = 40 = 4 · 5 · 2 et α

₀

=

⁴⁺^√₆⁴⁰

, nous avons:

α

_i

=

^Pⁱ⁺_2Q^√^∆

i

,

a

_i

= [α

_i

],

P

_i+1

= 2a

_i

Q

_i

− P

_i

, Q

i+1

=

^∆⁻_4Q^Pⁱ⁺¹²

i

.

1 < α

0

< 2, a

0

= 1, P

0

= 4, Q

0

= 3;

P

₁

= 2, Q

₁

= 3; 1 < α

₁

=

²⁺^√₆⁴⁰

< 2, a

₁

= 1;

P

₂

= 4 Q

₂

= 2, 2 < α

₂

=

⁴⁺^√₄⁴⁰

< 3, a

₂

= 2;

P

₃

= 4, Q

₃

= 3, α

₃

=

⁴⁺^√₆⁴⁰

.

i 0 1 2 . . . P

i

4 2 4 . . . Q

_i

3 3 2 . . . a

_i

1 1 2 . . .

Donc, α

₀

= [1, 1, 2]

.

Exemples

(1) Avec ∆ = 40 = 4 · 5 · 2 et α

₀

=

⁴⁺^√₆⁴⁰

, nous avons:

α

_i

=

^Pⁱ⁺_2Q^√^∆

i

,

a

_i

= [α

_i

],

P

_i+1

= 2a

_i

Q

_i

− P

_i

, Q

i+1

=

^∆⁻_4Q^P²ⁱ⁺¹

i

.

1 < α

0

< 2, a

0

= 1, P

0

= 4, Q

0

= 3;

P

₁

= 2, Q

₁

= 3; 1 < α

₁

=

²⁺^√₆⁴⁰

< 2, a

₁

= 1;

P

₂

= 4 Q

₂

= 2, 2 < α

₂

=

⁴⁺^√₄⁴⁰

< 3, a

₂

= 2;

P

₃

= 4, Q

₃

= 3, α

₃

=

⁴⁺^√₆⁴⁰

. i 0 1 2 . . .

P

i

4 2 4 . . . Q

_i

3 3 2 . . . a

_i

1 1 2 . . .

Donc, α

₀

= [1, 1, 2].

Avec ∆ = 40 = 4 · 5 · 2 et β

0

=

⁶⁺^√₂⁴⁰

, nous avons:

α

_i

=

^Pⁱ⁺_2Q^√^∆

i

,

a

_i

= [α

_i

],

P

_i+1

= 2a

_i

Q

_i

− P

_i

, Q

_i+1

=

^∆⁻_4Q^Pⁱ⁺¹²

i

.

6 < β

₀

< 7, a

₀

= 6, P

₀

= 6, Q

₀

= 1;

P

1

= 6, Q

1

= 1, β

1

=

⁶⁺^√₂⁴⁰

.

i 0 . . .

P

_i

6 . . .

Q

i

1 . . .

a

_i

6 . . .

Donc, β

₀

= [6].

Formes r´eduites de discriminant ∆ = 40

b √

∆ − b √

∆ + b | a | | c |

2 4, 32 8, 32 3 3

4 2, 32 10, 32 3, 2 2, 3

6 0, 32 12, 32 1 1

Les formes r´eduites de discriminant 40 sont:

�± 3, 2, ∓ 3 � , �± 3, 4, ∓ 2 � , �± 2, 4, ∓ 3 � , �± 1, 6, ∓ 1 � . f

1

= � 3, 2, − 3 � → �− 3, 4, 2 � → � 2, 4, − 3 � → �− 3, 2, 3 � →

→ � 3, 4, − 2 � → �− 2, 4, 3 � → f

1

.

� 0 − 1 1 1

� ,

� 0 − 1 1 − 2

� ,

� 0 − 1 1 1

� ,

� 0 − 1 1 − 1

� ,

� 0 − 1 1 2

� ,

� 0 − 1 1 − 1

� .

ω

₂

(f

₁

) =

²⁺^√₆⁴⁰

= [1, 2, 1]

(4)

Formes r´eduites de discriminant ∆ = 40

b √

∆ − b √

∆ + b | a | | c |

2 4, 32 8, 32 3 3

4 2, 32 10, 32 3, 2 2, 3

6 0, 32 12, 32 1 1

Les formes r´eduites de discriminant 40 sont:

�± 3, 2, ∓ 3 � , �± 3, 4, ∓ 2 � , �± 2, 4, ∓ 3 � , �± 1, 6, ∓ 1 � . f

₁

= � 3, 2, − 3 � → �− 3, 4, 2 � → � 2, 4, − 3 � → �− 3, 2, 3 � →

→ � 3, 4, − 2 � → �− 2, 4, 3 � → f

₁

.

� 0 − 1 1 1

� ,

� 0 − 1 1 − 2

� ,

� 0 − 1 1 1

� ,

� 0 − 1 1 − 1

� ,

� 0 − 1 1 2

� ,

� 0 − 1 1 − 1

� .

ω

₂

(f

₁

) =

²⁺^√₆⁴⁰

= [1, 2, 1]

Formes r´eduites de discriminant ∆ = 40

b √

∆ − b √

∆ + b | a | | c |

2 4, 32 8, 32 3 3

4 2, 32 10, 32 3, 2 2, 3

6 0, 32 12, 32 1 1

Les formes r´eduites de discriminant 40 sont:

�± 3, 2, ∓ 3 � , �± 3, 4, ∓ 2 � , �± 2, 4, ∓ 3 � , �± 1, 6, ∓ 1 � . f

₁

= � 3, 2, − 3 � → �− 3, 4, 2 � → � 2, 4, − 3 � → �− 3, 2, 3 � →

→ � 3, 4, − 2 � → �− 2, 4, 3 � → f

₁

.

� 0 − 1 1 1

� ,

� 0 − 1 1 − 2

� ,

� 0 − 1 1 1

� ,

� 0 − 1 1 − 1

� ,

� 0 − 1 1 2

� ,

� 0 − 1 1 − 1

� .

ω

₂

(f

₁

) =

²⁺^√₆⁴⁰

= [1, 2, 1]

Formes r´eduites de discriminant ∆ = 40

b √

∆ − b √

∆ + b | a | | c |

2 4, 32 8, 32 3 3

4 2, 32 10, 32 3, 2 2, 3

6 0, 32 12, 32 1 1

Les formes r´eduites de discriminant 40 sont:

�± 3, 2, ∓ 3 � , �± 3, 4, ∓ 2 � , �± 2, 4, ∓ 3 � , �± 1, 6, ∓ 1 � . f

1

= � 3, 2, − 3 � → �− 3, 4, 2 � → � 2, 4, − 3 � → �− 3, 2, 3 � →

→ � 3, 4, − 2 � → �− 2, 4, 3 � → f

1

.

� 0 − 1 1 1

� ,

� 0 − 1 1 − 2

� ,

� 0 − 1 1 1

� ,

� 0 − 1 1 − 1

� ,

� 0 − 1 1 2

� ,

� 0 − 1 1 − 1

� . ω

₂

(f

₁

) =

²⁺^√₆⁴⁰

= [1, 2, 1]

f

₂

= � 1, 6, − 1 � → �− 1, 6, 1 � → f

₂

� 0 − 1 1 6

� ,

� 0 − 1 1 − 6

� . ω

₂

(f

₂

) =

⁴⁺^√₄⁴⁰

= [6].

h

_∆⁺

= 2.

(5)

f

₂

= � 1, 6, − 1 � → �− 1, 6, 1 � → f

₂

� 0 − 1 1 6

� ,

� 0 − 1 1 − 6

� . ω

2

(f

2

) =

⁴⁺^√₄⁴⁰

= [6].

h

⁺_∆

= 2.

f

₂

= � 1, 6, − 1 � → �− 1, 6, 1 � → f

₂

� 0 − 1 1 6

� ,

� 0 − 1 1 − 6

� . ω

2

(f

2

) =

⁴⁺^√₄⁴⁰

= [6].

h

_∆⁺

= 2.

f

₂

= � 1, 6, − 1 � → �− 1, 6, 1 � → f

₂

� 0 − 1 1 6

� ,

� 0 − 1 1 − 6

� .

ω

₂

(f

₂

) =

⁴⁺^√₄⁴⁰

= [6].

h

⁺_∆

= 2.

(2) ∆ = 60 = 4 · 15

b √

∆ − b √

∆ + b | a | | c | 2 5, 74 9, 74

4 3, 74 11, 74

6 1, 74 13, 74 1, 2, 3, 6 6, 3, 2, 1 Les formes r´eduites de discriminant 60 sont:

�± 1, 6, ∓ 6 � , �± 2, 6, ∓ 3 � , �± 3, 6, ∓ 2 � , �± 6, 6, ∓ 1 � .

6+√ 60

12

= [1, 6],

⁶⁺^√₆⁶⁰

= [2, 3],

6+√ 60

4

= [3, 2],

⁶⁺^√₂⁶⁰

= [6, 1].

(6)

•

⁶⁺₁₂^√⁶⁰

= [1, 6]

� 1, 6, − 6 � → �− 6, 6, 1 � → � 1, 6, − 6 � ,

� 0 − 1 1 1

� ,

� 0 − 1 1 − 6

�

�− 1, 6, 6 � → � 6, 6, − 1 � → �− 1, 6, 6 � ,

� 0 − 1 1 − 1

� ,

� 0 − 1 1 6

�

•

⁶⁺^√₆⁶⁰

= [2, 3]

� 2, 6, − 3 � → �− 3, 6, 2 � → � 2, 6, − 3 � ,

� 0 − 1 1 2

� ,

� 0 − 1 1 − 3

�

�− 2, 6, 3 � → � 3, 6, − 2 � → �− 2, 6, 3 � ,

� 0 − 1 1 − 2

� ,

� 0 − 1 1 3

� .

(3) Soit ∆ = 145 = 5 · 29. Les formes r´eduites sont:

�± 6, 1, ∓ 6 � , �± 5, 5, ∓ 6 � , �± 6, 5, ∓ 5 � , �± 3, 7, ∓ 8 � ,

�± 4, 7, ∓ 6 � , �± 6, 7, ∓ 4 � , �± 8, 7, ∓ 3 � , �± 2, 9, ∓ 8 � ,

�± 4, 9, ∓ 4 � , �± 8, 9, ∓ 2 � , �± 1, 11, ∓ 6 � , �± 2, 11, ∓ 3 � ,

�± 3, 11, ∓ 2 � , �± 6, 11, ∓ 1 � .

f

₁

= � 6, 1, − 6 � , ω

₂

(f

₁

) =

¹⁺^√₁₂¹⁴⁵

= [1, 11, 1]

� 6, 1, − 6 � → �− 6, 11, 1 � → � 1, 11, − 6 � → �− 6, 1, 6 � →

� 6, 11, − 1 � → �− 1, 11, 6 � → f

₁

� 0 − 1 1 1

� ,

� 0 − 1 1 − 11

� ,

� 0 − 1 1 1

� ,

� 0 − 1 1 − 1

� ,

� 0 − 1 1 11

� ,

� 0 − 1 1 − 1

�

f

₂

= � 5, 5, − 6 � ω

₂

(f

₂

) =

⁵⁺^√₁₂¹⁴⁵

= [1, 2, 2, 1, 1]

� 5, 5, − 6 � → �− 6, 7, 4 � → � 4, 9, − 4 � → �− 4, 7, 6 � →

� 6, 5, − 5 � → �− 5, 5, 6 � → � 6, 7, − 4 � → �− 4, 9, 4 � →

� 4, 7, − 6 � → �− 6, 5, 5 � → f

₂

� 0 − 1 1 1

� ,

� 0 − 1 1 − 2

� ,

� 0 − 1 1 2

� ,

� 0 − 1 1 − 1

� ,

� 0 − 1 1 1

� ,

� 0 − 1 1 − 1

� ,

� 0 − 1 1 2

� ,

� 0 − 1 1 − 2

� ,

� 0 − 1 1 1

� ,

� 0 − 1 1 − 1

�

f

₃

= � 3, 7, − 8 � ω

₂

(f

₃

) =

⁷⁺^√₁₆¹⁴⁵

= [1, 5, 3]

� 3, 7, − 8 � → �− 8, 9, 2 � → � 2, 11, − 3 � → �− 3, 7, 8 � →

� 8, 9, − 2 � → �− 2, 11, 3 � → f

₃

� 0 − 1 1 1

� ,

� 0 − 1 1 − 5

� ,

� 0 − 1 1 3

� ,

� 0 − 1 1 − 1

� ,

� 0 − 1 1 5

� � 0 − 1 1 − 3

� .

f

₄

= � 8, 7, − 3 � ω

2

(f

₄

) =

⁷⁺^√₆¹⁴⁵

= [3, 5, 1]

� 8, 7, − 3 � → �− 3, 11, 2 � → � 2, 9, − 8 � → �− 8, 7, 3 � →

� 3, 11, − 2 � → �− 2, 9, 8 � → f

4

.

� 0 − 1 1 3

� ,

� 0 − 1 1 − 5

� ,

� 0 − 1 1 1

� ,

� 0 − 1 1 − 3

� ,

� 0 − 1 1 5

� � 0 − 1 1 − 1

�

.

(7)

Algorithme calculant le cycle des formes r´eduites

proprement équivalentes à une forme quadratique donnée.

Soit f

₀

= � a

₀

, b

₀

, c

₀

� une forme quadratique de discriminant

∆ > 0. Alors, α

₀

=

^b₂⁰_|^+∆_c

0|

= [u

₀

, . . . u

_l₋₁

] et le cycle des formes r´eduites proprement ´equivalentes a f

0

est form´e des formes r´eduites f

₀

. . . f

_r₋₁

o` u

r =

� l si l est pair, 2l si l est impair.

Pour 0 ≤ i ≤ r − 2,

f

_i+1

= � a

_i₊₁

, b

_i+1

, c

_i+1

� =

� 0 − 1 1 signe(a

_i

)u

_i

� f

_i

=

� 0 1

− 1 signe(a

_i

)u

_i

� f

_i

=

� 0 1

− 1 − signe(c

_i

)u

_i

� f

_i

= � ( − 1)

ⁱ

signe(c

₀

)Q

_i

, P

_i+1

, ( − 1)

ⁱ⁺¹

signe(c

₀

)Q

_i+1

� .

Observation: Si l est impair, alors f

_l

= �− a

₀

, b

₀

, − c

₀

� .

Th´eor`eme

Deux formes quadratiques réduites de discriminant ∆ > 0 sont proprement équivalentes si et seulement si elles appartiemment au même cycle.

L’id´ee de la d´emonstration est d’observer que si f ≈ g , alors ω

₂

(g )

est un nombre réduit associé à une forme quadratique du cycle de

f ; par cons´equent, f et g sont dans le mˆeme cycle.