Formes quadratiques (Le¸con 2)

(1)

. . . . Fractions continues

. . . . Exemples

. . Algorithme

.

. . . .

.

Formes quadratiques (Le¸con 2)

Jorge Jim´ enez Urroz

(Universitat Polit` ecnica de Catalunya)

Ecole Cimpa, Bamako, Novembre 2010 ´

(2)

. . . . Exemples

. . Algorithme

Nombres quadratiques

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Un nombre quadratique est un nombre α de la forme x + y √

∆ o` u ∆ n’est pas un carr´ e parfait de Q et o` u x , y ∈ Q . Le conjugu´ e de α est α

^′

= x − y √

∆.

Un nombre quadratique est donc un nombre qui est solution d’un polynˆ ome irr´ eductible de degr´ e deux. Dans ce qui suit, ∆ n’est pas un carr´ e parfait.

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Soit ∆ > 0. Un nombre quadratique α est r´ eduit si α > 1 et

−1 < α

^′

< 0.

(3)

. . . . Exemples

. . Algorithme

Nombres quadratiques

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Un nombre quadratique est un nombre α de la forme x + y √

∆ o` u ∆ n’est pas un carr´ e parfait de Q et o` u x , y ∈ Q . Le conjugu´ e de α est α

^′

= x − y √

∆.

Un nombre quadratique est donc un nombre qui est solution d’un polynˆ ome irr´ eductible de degr´ e deux. Dans ce qui suit, ∆ n’est pas un carr´ e parfait.

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Soit ∆ > 0. Un nombre quadratique α est r´ eduit si α > 1 et

− 1 < α

^′

< 0.

(4)

. . . . Exemples

. . Algorithme

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Soit f = ⟨a, b, c ⟩ de discriminant ∆ > 0. Alors, on asssocie ` a f les nombres r´ eels

ω

₁

= b + ∆

2 | a | et ω

₂

= b + ∆ 2 | c | .

Observation: f est r´ eduite si et seulement si ω

1

et ω

2

sont r´ eduits. . D´ efinition

. .

. . . .

.

Soit { a

_i

}

_N

⊂ R . Une fraction continue α est une expression de la forme α = [a

₀

, a

₁

, a

₂

, . . . ] = a

₀

+ 1

a

₁

+ 1

a

₂

+ 1

a

₃

+ 1 a

₄

+ 1

. ..

(5)

. . . . Exemples

. . Algorithme

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Soit f = ⟨a, b, c ⟩ de discriminant ∆ > 0. Alors, on asssocie ` a f les nombres r´ eels

ω

₁

= b + ∆

2 | a | et ω

₂

= b + ∆ 2 | c | .

Observation: f est r´ eduite si et seulement si ω

1

et ω

2

sont r´ eduits.

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Soit { a

_i

}

_N

⊂ R . Une fraction continue α est une expression de la forme α = [a

₀

, a

₁

, a

₂

, . . . ] = a

₀

+ 1

a

₁

+ 1

a

₂

+ 1

a

₃

+ 1 a

₄

+ 1

. ..

(6)

. . . . Exemples

. . Algorithme

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Soit f = ⟨a, b, c ⟩ de discriminant ∆ > 0. Alors, on asssocie ` a f les nombres r´ eels

ω

₁

= b + ∆

2 | a | et ω

₂

= b + ∆ 2 | c | .

Observation: f est r´ eduite si et seulement si ω

1

et ω

2

sont r´ eduits.

. D´ efinition .

.

. Soit { a

_i

}

_N

⊂ R . Une fraction continue α est une expression de la forme α = [a

₀

, a

₁

, a

₂

, . . . ] = a

₀

+ 1

a

₁

+ 1

a

₂

+ 1

a

₃

+ 1 a

₄

+ 1

. ..

(7)

. . . . Exemples

. . Algorithme

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Les a

i

sont dits les quotients partiels de la fraction continue α. Si a

₀

∈ Z et a

_i

∈ N , pour i > 0, alors la fraction continue est dite simple.

. Proposition .

.

. . . .

.

Soit α une fraction continue. Alors, le d´ eveloppement de α est infini si et seulement si α est irrationnel.

D´ emonstration:Soit α = a

0

+ x

1

, avec a

0

= [α]. Pour i ≥ 1, a

i

=

{ 0 [ si x

i

= 0,

1 xi

]

si x

_i

̸ = 0, et x

i+1

=

_x¹

i

− a

i

. Si α ∈ Q , alors x

i

=

^p_qⁱ

i

et 0 < q

i

< q

i−1

.

(8)

. . . . Exemples

. . Algorithme

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Les a

i

sont dits les quotients partiels de la fraction continue α. Si a

₀

∈ Z et a

_i

∈ N , pour i > 0, alors la fraction continue est dite simple.

. Proposition .

.

. . . .

.

Soit α une fraction continue. Alors, le d´ eveloppement de α est infini si et seulement si α est irrationnel.

D´ emonstration:Soit α = a

0

+ x

1

, avec a

0

= [α]. Pour i ≥ 1, a

i

=

{ 0 [ si x

i

= 0,

1 xi

]

si x

_i

̸ = 0, et x

i+1

=

_x¹

i

− a

i

. Si α ∈ Q , alors x

i

=

^p_qⁱ

i

et 0 < q

i

< q

i−1

.

(9)

. . . . Exemples

. . Algorithme

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Soit α = [a

0

, . . . , a

k−1

, a

k

, . . . , a

k+l

]. La barre horizontale veut dire que la suite des ´ el´ ements se r´ ep` ete ind´ efiniment. De plus,

a

₀

, . . . , a

_k₋₁

et a

_k

, . . . , a

_k+l

sont respectivement appel´ es la

pr´ ep´ eriode et la p´ eriode de α.

(10)

. . . . Exemples

. . Algorithme

Si α est un nombre quadratique associ´ e ` a une forme quadratique ind´ efinie de discriminant fondamental ∆ > 0, alors il existe P

0

, Q

0

∈ Z, tels que

α = α

₀

= P

₀

+ √

∆

2Q

₀

avec 4Q

₀

| (∆ − P

₀²

).

En ce cas α = [a

0

, a

1

, a

2

, . . . ] o` u pour i ≥ 0, α

_i

=

^Pⁱ⁺

√∆ 2Qi

, a

_i

= [α

_i

],

P

_i+1

= 2a

_i

Q

_i

− P

_i

, Q

_i₊₁

=

^∆⁻^P

2 i+1

4Qi

.

(11)

. . . . Exemples

. . Algorithme

α = a

₀

+ P

₀

− 2a

₀

Q

₀

+ √

∆ 2Q

0

= a

₀

+ 1

2Q0

P0−2a0Q0+√

∆

= a

0

+ 1

2Q0(√

∆−(P0−2a0Q0))

∆−(P0−2a0Q0)²

= a

0

+ 1

√∆+2a0Q0−P0

2(∆−(P0−2a0Q0)²)/4Q0

= . . .

(12)

. . . . Exemples

. . Algorithme

Exemples

(1) Avec ∆ = 40 = 4 · 5 · 2 et α

0

=

⁴⁺

√40

6

, nous avons:

α

i

=

^Pⁱ⁺

√∆ 2Qi

, a

i

= [α

i

],

P

i+1

= 2a

i

Q

i

− P

i

, Q

i+1

=

^∆⁻^P

2 i+1

4Qi

.

1 < α

0

< 2, a

0

= 1, P

0

= 4, Q

0

= 3;

P

₁

= 2, Q

₁

= 3; 1 < α

₁

=

²⁺^√₆⁴⁰

< 2, a

₁

= 1; P

2

= 4 Q

2

= 2, 2 < α

2

=

⁴⁺

√40

4

< 3, a

2

= 2; P

3

= 4, Q

3

= 3, α

3

=

⁴⁺

√40 6

.

i 0 1 2 . . .

P

_i

4 2 4 . . .

Q

i

3 3 2 . . .

a

_i

1 1 2 . . .

Donc, α

₀

= [1, 1, 2]

.

(13)

. . . . Exemples

. . Algorithme

Exemples

(1) Avec ∆ = 40 = 4 · 5 · 2 et α

0

=

⁴⁺

√40

6

, nous avons:

α

i

=

^Pⁱ⁺

√∆ 2Qi

, a

i

= [α

i

],

P

i+1

= 2a

i

Q

i

− P

i

, Q

i+1

=

^∆⁻^P

2 i+1

4Q_i

.

1 < α

0

< 2, a

0

= 1, P

0

= 4, Q

0

= 3;

P

₁

= 2, Q

₁

= 3; 1 < α

₁

=

²⁺^√₆⁴⁰

< 2, a

₁

= 1; P

2

= 4 Q

2

= 2, 2 < α

2

=

⁴⁺

√40

4

< 3, a

2

= 2; P

3

= 4, Q

3

= 3, α

3

=

⁴⁺

√40 6

.

i 0 1 2 . . .

P

_i

4 2 4 . . .

Q

i

3 3 2 . . .

a

_i

1 1 2 . . .

Donc, α

₀

= [1, 1, 2]

.

(14)

. . . . Exemples

. . Algorithme

Exemples

(1) Avec ∆ = 40 = 4 · 5 · 2 et α

0

=

⁴⁺

√40

6

, nous avons:

α

i

=

^Pⁱ⁺

√∆ 2Qi

, a

i

= [α

i

],

P

i+1

= 2a

i

Q

i

− P

i

, Q

i+1

=

^∆⁻^P

2 i+1

4Q_i

.

1 < α

0

< 2, a

0

= 1, P

0

= 4, Q

0

= 3;

P

₁

= 2, Q

₁

= 3; 1 < α

₁

=

²⁺^√₆⁴⁰

< 2, a

₁

= 1;

P

2

= 4 Q

2

= 2, 2 < α

2

=

⁴⁺

√40

4

< 3, a

2

= 2;

P

3

= 4, Q

3

= 3, α

3

=

⁴⁺

√40 6

.

i 0 1 2 . . .

P

_i

4 2 4 . . .

Q

i

3 3 2 . . .

a

_i

1 1 2 . . .

Donc, α

₀

= [1, 1, 2]

.

(15)

. . . . Exemples

. . Algorithme

Exemples

(1) Avec ∆ = 40 = 4 · 5 · 2 et α

0

=

⁴⁺

√40

6

, nous avons:

α

i

=

^Pⁱ⁺

√∆ 2Qi

, a

i

= [α

i

],

P

i+1

= 2a

i

Q

i

− P

i

, Q

i+1

=

^∆⁻^P

2 i+1

4Q_i

.

1 < α

0

< 2, a

0

= 1, P

0

= 4, Q

0

= 3;

P

₁

= 2, Q

₁

= 3; 1 < α

₁

=

²⁺^√₆⁴⁰

< 2, a

₁

= 1;

P

2

= 4 Q

2

= 2, 2 < α

2

=

⁴⁺

√40

4

< 3, a

2

= 2;

P

3

= 4, Q

3

= 3, α

3

=

⁴⁺

√40 6

.

i 0 1 2 . . .

P

i

4 2 4 . . .

Q

i

3 3 2 . . . Donc, α

₀

= [1, 1, 2].

(16)

. . . . Exemples

. . Algorithme

Avec ∆ = 40 = 4 · 5 · 2 et β

0

=

⁶⁺

√40

2

, nous avons:

α

_i

=

^Pⁱ⁺

√∆ 2Qi

, a

_i

= [α

_i

],

P

_i+1

= 2a

_i

Q

_i

− P

_i

, Q

_i₊₁

=

^∆⁻^P

2 i+1

4Qi

.

6 < β

₀

< 7, a

₀

= 6, P

₀

= 6, Q

₀

= 1; P

₁

= 6, Q

₁

= 1, β

₁

=

⁶⁺^√₂⁴⁰

.

i 0 . . . P

i

6 . . . Q

_i

1 . . . a

_i

6 . . . Donc, β

₀

= [6]

.

(17)

. . . . Exemples

. . Algorithme

Avec ∆ = 40 = 4 · 5 · 2 et β

0

=

⁶⁺

√40

2

, nous avons:

α

_i

=

^Pⁱ⁺

√∆ 2Qi

, a

_i

= [α

_i

],

P

_i+1

= 2a

_i

Q

_i

− P

_i

, Q

_i₊₁

=

^∆⁻^P

2 i+1

4Qi

.

6 < β

₀

< 7, a

₀

= 6, P

₀

= 6, Q

₀

= 1;

P

₁

= 6, Q

₁

= 1, β

₁

=

⁶⁺^√₂⁴⁰

.

i 0 . . . P

i

6 . . . Q

_i

1 . . . a

_i

6 . . . Donc, β

₀

= [6]

.

(18)

. . . . Exemples

. . Algorithme

Avec ∆ = 40 = 4 · 5 · 2 et β

0

=

⁶⁺

√40

2

, nous avons:

α

_i

=

^Pⁱ⁺

√∆ 2Qi

, a

_i

= [α

_i

],

P

_i+1

= 2a

_i

Q

_i

− P

_i

, Q

_i₊₁

=

^∆⁻^P

2 i+1

4Qi

.

6 < β

₀

< 7, a

₀

= 6, P

₀

= 6, Q

₀

= 1;

P

₁

= 6, Q

₁

= 1, β

₁

=

⁶⁺^√₂⁴⁰

.

i 0 . . .

P

i

6 . . .

Q

_i

1 . . .

a

_i

6 . . .

Donc, β

₀

= [6].

(19)

. . . . Exemples

. . Algorithme

Formes r´ eduites de discriminant ∆ = 40

b √

∆ − b √

∆ + b | a | | c |

2 4, 32 8, 32 3 3

4 2, 32 10, 32 3, 2 2, 3

6 0, 32 12, 32 1 1

Les formes r´ eduites de discriminant 40 sont:

⟨±3, 2, ∓3⟩, ⟨±3, 4, ∓2⟩, ⟨±2, 4, ∓3⟩, ⟨±1, 6, ∓1⟩. f

₁

= ⟨ 3, 2, − 3 ⟩ → ⟨− 3, 4, 2 ⟩ → ⟨ 2, 4, − 3 ⟩ → ⟨− 3, 2, 3 ⟩ →

→ ⟨ 3, 4, − 2 ⟩ → ⟨− 2, 4, 3 ⟩ → f

₁

. ( 0 − 1

1 1 )

,

( 0 − 1 1 − 2 )

,

( 0 − 1 1 1

) ,

( 0 − 1 1 − 1 )

,

( 0 − 1

1 2

) ,

( 0 − 1 1 − 1 )

. ω

2

(f

1

) =

²⁺

√40

6

= [1, 2, 1]

(20)

. . . . Exemples

. . Algorithme

Formes r´ eduites de discriminant ∆ = 40

b √

∆ − b √

∆ + b | a | | c |

2 4, 32 8, 32 3 3

4 2, 32 10, 32 3, 2 2, 3

6 0, 32 12, 32 1 1

Les formes r´ eduites de discriminant 40 sont:

⟨±3, 2, ∓3⟩, ⟨±3, 4, ∓2⟩, ⟨±2, 4, ∓3⟩, ⟨±1, 6, ∓1⟩.

f

₁

= ⟨ 3, 2, − 3 ⟩ → ⟨− 3, 4, 2 ⟩ → ⟨ 2, 4, − 3 ⟩ → ⟨− 3, 2, 3 ⟩ →

→ ⟨ 3, 4, − 2 ⟩ → ⟨− 2, 4, 3 ⟩ → f

₁

. ( 0 − 1

1 1 )

,

( 0 − 1 1 − 2 )

,

( 0 − 1 1 1

) ,

( 0 − 1 1 − 1 )

,

( 0 − 1

1 2

) ,

( 0 − 1 1 − 1 )

. ω

2

(f

1

) =

²⁺

√40

6

= [1, 2, 1]

(21)

. . . . Exemples

. . Algorithme

Formes r´ eduites de discriminant ∆ = 40

b √

∆ − b √

∆ + b | a | | c |

2 4, 32 8, 32 3 3

4 2, 32 10, 32 3, 2 2, 3

6 0, 32 12, 32 1 1

Les formes r´ eduites de discriminant 40 sont:

⟨±3, 2, ∓3⟩, ⟨±3, 4, ∓2⟩, ⟨±2, 4, ∓3⟩, ⟨±1, 6, ∓1⟩.

f

₁

= ⟨ 3, 2, − 3 ⟩ → ⟨− 3, 4, 2 ⟩ → ⟨ 2, 4, − 3 ⟩ → ⟨− 3, 2, 3 ⟩ →

→ ⟨ 3, 4, − 2 ⟩ → ⟨− 2, 4, 3 ⟩ → f

₁

. ( 0 − 1

1 1 )

,

( 0 − 1 1 − 2 )

,

( 0 − 1 1 1

) ,

( 0 − 1 1 − 1 )

,

( 0 − 1

1 2

) ,

( 0 − 1 1 − 1 )

.

ω

2

(f

1

) =

²⁺

√40

6

= [1, 2, 1]

(22)

. . . . Exemples

. . Algorithme

Formes r´ eduites de discriminant ∆ = 40

b √

∆ − b √

∆ + b | a | | c |

2 4, 32 8, 32 3 3

4 2, 32 10, 32 3, 2 2, 3

6 0, 32 12, 32 1 1

Les formes r´ eduites de discriminant 40 sont:

⟨±3, 2, ∓3⟩, ⟨±3, 4, ∓2⟩, ⟨±2, 4, ∓3⟩, ⟨±1, 6, ∓1⟩.

f

₁

= ⟨ 3, 2, − 3 ⟩ → ⟨− 3, 4, 2 ⟩ → ⟨ 2, 4, − 3 ⟩ → ⟨− 3, 2, 3 ⟩ →

→ ⟨ 3, 4, − 2 ⟩ → ⟨− 2, 4, 3 ⟩ → f

₁

. ( 0 − 1

1 1 )

,

( 0 − 1 1 − 2 )

,

( 0 − 1 1 1

) ,

( 0 − 1 1 − 1 )

,

( 0 − 1

1 2

) ,

( 0 − 1 1 − 1 )

.

2+√ 40

(23)

. . . . Exemples

. . Algorithme

f

₂

= ⟨ 1, 6, − 1 ⟩ → ⟨− 1, 6, 1 ⟩ → f

₂

( 0 − 1

1 6

) ,

( 0 − 1 1 − 6

) . ω

₂

(f

₂

) =

⁴⁺^√₄⁴⁰

= [6]

.

h

⁺_∆

= 2.

(24)

. . . . Exemples

. . Algorithme

f

₂

= ⟨ 1, 6, − 1 ⟩ → ⟨− 1, 6, 1 ⟩ → f

₂

( 0 − 1

1 6

) ,

( 0 − 1 1 − 6

) .

ω

₂

(f

₂

) =

⁴⁺^√₄⁴⁰

= [6]

.

h

⁺_∆

= 2.

(25)

. . . . Exemples

. . Algorithme

f

₂

= ⟨ 1, 6, − 1 ⟩ → ⟨− 1, 6, 1 ⟩ → f

₂

( 0 − 1

1 6

) ,

( 0 − 1 1 − 6

) . ω

₂

(f

₂

) =

⁴⁺^√₄⁴⁰

= [6].

h

⁺_∆

= 2.

(26)

. . . . Exemples

. . Algorithme

f

₂

= ⟨ 1, 6, − 1 ⟩ → ⟨− 1, 6, 1 ⟩ → f

₂

( 0 − 1

1 6

) ,

( 0 − 1 1 − 6

) . ω

₂

(f

₂

) =

⁴⁺^√₄⁴⁰

= [6].

h

⁺_∆

= 2.

(27)

. . . . Exemples

. . Algorithme

(2) ∆ = 60 = 4 · 15

b √

∆ − b √

∆ + b | a | | c | 2 5, 74 9, 74

4 3, 74 11, 74

6 1, 74 13, 74 1, 2, 3, 6 6, 3, 2, 1

Les formes r´ eduites de discriminant 60 sont:

⟨± 1, 6, ∓ 6 ⟩ , ⟨± 2, 6, ∓ 3 ⟩ , ⟨± 3, 6, ∓ 2 ⟩ , ⟨± 6, 6, ∓ 1 ⟩ .

6+√ 60

12

= [1, 6],

⁶⁺

√60

6

= [2, 3],

6+√ 60

4

= [3, 2],

⁶⁺

√60

2

= [6, 1].

(28)

. . . . Exemples

. . Algorithme

(2) ∆ = 60 = 4 · 15

b √

∆ − b √

∆ + b | a | | c | 2 5, 74 9, 74

4 3, 74 11, 74

6 1, 74 13, 74 1, 2, 3, 6 6, 3, 2, 1 Les formes r´ eduites de discriminant 60 sont:

⟨± 1, 6, ∓ 6 ⟩ , ⟨± 2, 6, ∓ 3 ⟩ , ⟨± 3, 6, ∓ 2 ⟩ , ⟨± 6, 6, ∓ 1 ⟩ .

6+√ 60

12

= [1, 6],

⁶⁺

√60

6

= [2, 3],

6+√ 60

4

= [3, 2],

⁶⁺

√60

2

= [6, 1].

(29)

. . . . Exemples

. . Algorithme

(2) ∆ = 60 = 4 · 15

b √

∆ − b √

∆ + b | a | | c | 2 5, 74 9, 74

4 3, 74 11, 74

6 1, 74 13, 74 1, 2, 3, 6 6, 3, 2, 1 Les formes r´ eduites de discriminant 60 sont:

⟨± 1, 6, ∓ 6 ⟩ , ⟨± 2, 6, ∓ 3 ⟩ , ⟨± 3, 6, ∓ 2 ⟩ , ⟨± 6, 6, ∓ 1 ⟩ .

6+√ 60

12

= [1, 6],

⁶⁺

√60

6

= [2, 3],

6+√ 60

4

= [3, 2],

⁶⁺

√60

2

= [6, 1].

(30)

. . . . Exemples

. . Algorithme

•

⁶⁺₁₂^√⁶⁰

= [1, 6]

⟨ 1, 6, − 6 ⟩ → ⟨− 6, 6, 1 ⟩ → ⟨ 1, 6, − 6 ⟩ ,

( 0 −1

1 1

) ,

( 0 −1 1 − 6 )

⟨− 1, 6, 6 ⟩ → ⟨ 6, 6, − 1 ⟩ → ⟨− 1, 6, 6 ⟩ ,

( 0 −1 1 − 1 )

,

( 0 −1

1 6

)

•

⁶⁺^√₆⁶⁰

= [2, 3]

⟨ 2, 6, − 3 ⟩ → ⟨− 3, 6, 2 ⟩ → ⟨ 2, 6, − 3 ⟩ ,

( 0 − 1

1 2

) ,

( 0 − 1 1 − 3 )

⟨− 2, 6, 3 ⟩ → ⟨ 3, 6, − 2 ⟩ → ⟨− 2, 6, 3 ⟩ ,

( 0 − 1 1 − 2

) ,

( 0 − 1 1 3

)

.

(31)

. . . . Exemples

. . Algorithme

(3) Soit ∆ = 145 = 5 · 29. Les formes r´ eduites sont:

⟨± 6, 1, ∓ 6 ⟩ , ⟨± 5, 5, ∓ 6 ⟩ , ⟨± 6, 5, ∓ 5 ⟩ , ⟨± 3, 7, ∓ 8 ⟩ ,

⟨± 4, 7, ∓ 6 ⟩ , ⟨± 6, 7, ∓ 4 ⟩ , ⟨± 8, 7, ∓ 3 ⟩ , ⟨± 2, 9, ∓ 8 ⟩ ,

⟨± 4, 9, ∓ 4 ⟩ , ⟨± 8, 9, ∓ 2 ⟩ , ⟨± 1, 11, ∓ 6 ⟩ , ⟨± 2, 11, ∓ 3 ⟩ ,

⟨± 3, 11, ∓ 2 ⟩ , ⟨± 6, 11, ∓ 1 ⟩ .

f

₁

= ⟨ 6, 1, − 6 ⟩ , ω

₂

(f

₁

) =

¹⁺^√₁₂¹⁴⁵

= [1, 11, 1]

⟨6, 1, −6⟩ → ⟨−6, 11, 1⟩ → ⟨1, 11, −6⟩ → ⟨−6, 1, 6⟩ →

⟨ 6, 11, − 1 ⟩ → ⟨− 1, 11, 6 ⟩ → f

1

( 0 − 1 1 1

) ,

( 0 − 1 1 − 11

) ,

( 0 − 1

1 1

) ,

( 0 − 1 1 − 1 )

,

( 0 − 1 1 11 )

,

( 0 − 1

1 − 1

)

(32)

. . . . Exemples

. . Algorithme

(3) Soit ∆ = 145 = 5 · 29. Les formes r´ eduites sont:

⟨± 6, 1, ∓ 6 ⟩ , ⟨± 5, 5, ∓ 6 ⟩ , ⟨± 6, 5, ∓ 5 ⟩ , ⟨± 3, 7, ∓ 8 ⟩ ,

⟨± 4, 7, ∓ 6 ⟩ , ⟨± 6, 7, ∓ 4 ⟩ , ⟨± 8, 7, ∓ 3 ⟩ , ⟨± 2, 9, ∓ 8 ⟩ ,

⟨± 4, 9, ∓ 4 ⟩ , ⟨± 8, 9, ∓ 2 ⟩ , ⟨± 1, 11, ∓ 6 ⟩ , ⟨± 2, 11, ∓ 3 ⟩ ,

⟨± 3, 11, ∓ 2 ⟩ , ⟨± 6, 11, ∓ 1 ⟩ .

f

₁

= ⟨ 6, 1, − 6 ⟩ , ω

₂

(f

₁

) =

¹⁺^√₁₂¹⁴⁵

= [1, 11, 1]

⟨6, 1, −6⟩ → ⟨−6, 11, 1⟩ → ⟨1, 11, −6⟩ → ⟨−6, 1, 6⟩ →

⟨ 6, 11, − 1 ⟩ → ⟨− 1, 11, 6 ⟩ → f

1

( 0 − 1 1 1

) ,

( 0 − 1 1 −11

) ,

( 0 − 1 1 1

) ,

( 0 − 1 1 −1 )

,

( 0 − 1 1 11 )

,

( 0 − 1

1 −1

)

(33)

. . . . Exemples

. . Algorithme

f

₂

= ⟨ 5, 5, − 6 ⟩ ω

₂

(f

₂

) =

⁵⁺^√₁₂¹⁴⁵

= [1, 2, 2, 1, 1]

⟨5, 5, −6⟩ → ⟨−6, 7, 4⟩ → ⟨4, 9, −4⟩ → ⟨−4, 7, 6⟩ →

⟨ 6, 5, − 5 ⟩ → ⟨− 5, 5, 6 ⟩ → ⟨ 6, 7, − 4 ⟩ → ⟨− 4, 9, 4 ⟩ →

⟨ 4, 7, − 6 ⟩ → ⟨− 6, 5, 5 ⟩ → f

₂

( 0 − 1

1 1

) ,

( 0 − 1 1 −2 )

,

( 0 − 1

1 2

) ,

( 0 − 1 1 −1

) ,

( 0 − 1 1 1

) , ( 0 − 1

1 − 1 )

,

( 0 − 1 1 2

) ,

( 0 − 1 1 − 2 )

,

( 0 − 1

1 1

) ,

( 0 − 1

1 − 1

)

(34)

. . . . Exemples

. . Algorithme

f

₃

= ⟨ 3, 7, − 8 ⟩ ω

₂

(f

₃

) =

⁷⁺^√₁₆¹⁴⁵

= [1, 5, 3]

⟨3, 7, −8⟩ → ⟨−8, 9, 2⟩ → ⟨2, 11, −3⟩ → ⟨−3, 7, 8⟩ →

⟨ 8, 9, − 2 ⟩ → ⟨− 2, 11, 3 ⟩ → f

3

( 0 − 1 1 1

) ,

( 0 − 1 1 − 5 )

,

( 0 − 1

1 3

) ,

( 0 − 1 1 − 1 )

,

( 0 − 1

1 5

) ( 0 − 1 1 − 3 )

. f

₄

= ⟨ 8, 7, − 3 ⟩ ω

₂

(f

₄

) =

⁷⁺^√₆¹⁴⁵

= [3, 5, 1]

⟨ 8, 7, − 3 ⟩ → ⟨− 3, 11, 2 ⟩ → ⟨ 2, 9, − 8 ⟩ → ⟨− 8, 7, 3 ⟩ →

⟨3, 11, −2⟩ → ⟨−2, 9, 8⟩ → f

4

. ( 0 − 1

1 3 )

,

( 0 − 1 1 − 5 )

,

( 0 − 1

1 1

) ,

( 0 − 1 1 − 3 )

,

( 0 − 1

1 5

) ( 0 − 1 1 − 1 )

.

(35)

. . . . Exemples

. . Algorithme

Algorithme calculant le cycle des formes r´ eduites

proprement ´ equivalentes ` a une forme quadratique donn´ ee.

Soit f

0

= ⟨ a

0

, b

0

, c

0

⟩ une forme quadratique de discriminant

∆ > 0. Alors, α

₀

=

^b₂⁰_|^+∆_c

0|

= [u

₀

, . . . u

_l₋₁

] et le cycle des formes r´ eduites proprement ´ equivalentes a f

₀

est form´ e des formes r´ eduites f

0

. . . f

r−1

o` u

r = {

l si l est pair, 2l si l est impair.

Pour 0 ≤ i ≤ r − 2,

f

_i+1

= ⟨ a

_i+1

, b

_i+1

, c

_i₊₁

⟩ =

( 0 − 1 1 signe(a

_i

)u

_i

) f

_i

=

( 0 1

−1 signe(a

i

)u

i

) f

i

=

( 0 1

−1 −signe(c

i

)u

i

) f

i

= ⟨ ( − 1)

ⁱ

signe(c

₀

)Q

_i

, P

_i₊₁

, ( − 1)

ⁱ⁺¹

signe(c

₀

)Q

_i₊₁

⟩ .

(36)

. . . . Exemples

. . Algorithme

Observation: Si l est impair, alors f

_l

= ⟨− a

₀

, b

₀

, − c

₀

⟩ . . Th´ eor` eme

. .

. . . .

.

Deux formes quadratiques r´ eduites de discriminant ∆ > 0 sont proprement ´ equivalentes si et seulement si elles appartiemment au mˆ eme cycle.

L’id´ ee de la d´ emonstration est d’observer que si f ≈ g , alors ω

2

(g )

est un nombre r´ eduit associ´ e ` a une forme quadratique du cycle de

f ; par cons´ equent, f et g sont dans le mˆ eme cycle.