Formes quadratiques (Le¸con 3)

Formes quadratiques (Le¸con 3)

Jorge Jim´ enez Urroz

(Universitat Polit` ecnica de Catalunya)

Ecole Cimpa, Bamako, Novembre 2010 ´

Formes concordantes

Soit ∆ un discriminant fondamental. On a

(x

+ ∆y

)(z

+ ∆w

) = (xz + ∆yw )

+ ∆(xw − zy)

. Nous pouvons donc mutiplier certains formes quadratiques. Nous voulons donner une structure alg´ ebrique aux ensembles Cl (∆) et Cl(∆)

, en g´ en´ eralisant la multiplication ci-haut.

On voit que

(a

x

+bx

y

+a

cy

)(a

x

+bx

y

+a

cy

) = (a

a

X

+bXY +cY

) o` u

( X = x

x

− cy

y

,

Y = ax

y

+ a

y

x

+ by

y

.

D´ efinition

Les formes f

= ha

, b, ca

i et f

= ha

, b, a

c >i sont dites concordantes.

Observation: Deux formes concordantes ont le mˆ eme discriminant.

D´ efinition

Sur l’ensemble des formes concordantes nous avons donc une loi de composition: F = f

∗ f

= ha

a

, b, c i.

Maintenant on veut montrer qu’il y a une forme concordante dans

chaque classe d’´ equivalence de formes quadratiques.

D´ efinition

Les formes f

= ha

, b, ca

i et f

= ha

, b, a

c >i sont dites concordantes.

Observation: Deux formes concordantes ont le mˆ eme discriminant.

D´ efinition

Sur l’ensemble des formes concordantes nous avons donc une loi de composition: F = f

∗ f

= ha

a

, b, c i.

Maintenant on veut montrer qu’il y a une forme concordante dans

chaque classe d’´ equivalence de formes quadratiques.

D´ efinition

Les formes f

= ha

, b, ca

i et f

= ha

, b, a

c >i sont dites concordantes.

Observation: Deux formes concordantes ont le mˆ eme discriminant.

D´ efinition

Sur l’ensemble des formes concordantes nous avons donc une loi de composition: F = f

∗ f

= ha

a

, b, c i.

Maintenant on veut montrer qu’il y a une forme concordante dans

chaque classe d’´ equivalence de formes quadratiques.

Lemme

Soit f une forme primitive, et M 6= 0 entier. Alors f repr´ esente un entier m diff´ erent de z´ ero et tel que pgcd(m, M ) = 1.

D´ emonstration: Soit 2M = PQR avec les retrictions suivantes. Tout d’abord, p|P si et seulement si p|(a, 2M) mais p - c . De plus, p|Q si et seulement si p|(a, c , 2M). Finalement, p|R si et

seulement si p |2M mais p - a. Alors (aP

+ bPR + cR

, 2M ) = 1.

V´ erifiez que par d´ efinition (P, Q) = (Q , R) = (P , R) = 1, et qu’il

n’est pas possible d’avoir a + b + c = 0.

Lemme

Soit f une forme primitive, et M 6= 0 entier. Alors f repr´ esente un entier m diff´ erent de z´ ero et tel que pgcd(m, M ) = 1.

D´ emonstration: Soit 2M = PQR avec les retrictions suivantes.

Tout d’abord, p|P si et seulement si p|(a, 2M) mais p - c . De plus, p|Q si et seulement si p|(a, c , 2M ). Finalement, p|R si et

seulement si p |2M mais p - a. Alors (aP

+ bPR + cR

, 2M ) = 1.

V´ erifiez que par d´ efinition (P , Q) = (Q , R) = (P , R) = 1, et qu’il

n’est pas possible d’avoir a + b + c = 0.

Lemme

Soit {C

, C

} ⊂ Cl(∆)

, et M 6= 0 entier. Alors, il existe une paire de formes concordantes f

= ha

, b, a

c i ∈ C

et

f

= ha

, b, a

c i ∈ C

telles que pgcd(a

, a

) =pgcd(a

a

, M ) = 1.

D´ emonstration: Choisissons F

= ha

, b

, c

i ∈ C

tel que

pgcd(a

, M) = 1. Prenons des entiers r , s tels que (r , s) = 1 et tels que a

= f (r, s) est copremier avec M. Alors, il existe

r s u v

∈ SL

( Z ) tel que γf = F

est la forme que nous d´ esirons. Puis choisissons F

= ha

, b

, c

i ∈ C

avec (a

, a

M ) = 1.

Ensuite, prenons des entiers n

, n

tels que a

n

− a

n

=

. Notez que b

≡ b

≡ ∆ (mod 2).

Les formes f

=

1 0 n

1

F

sont les formes demand´ ees dans

l’´ enonc´ e avec b = b

+ 2a

n

.

Lemme

Soit {C

, C

} ⊂ Cl(∆)

, et M 6= 0 entier. Alors, il existe une paire de formes concordantes f

= ha

, b, a

c i ∈ C

et

f

= ha

, b, a

c i ∈ C

telles que pgcd(a

, a

) =pgcd(a

a

, M ) = 1.

D´ emonstration: Choisissons F

= ha

, b

, c

i ∈ C

tel que

pgcd(a

, M ) = 1. Prenons des entiers r , s tels que (r , s) = 1 et tels que a

= f (r, s ) est copremier avec M. Alors, il existe

r s u v

∈ SL

( Z ) tel que γf = F

est la forme que nous d´ esirons.

Puis choisissons F

= ha

, b

, c

i ∈ C

avec (a

, a

M ) = 1. Ensuite, prenons des entiers n

, n

tels que a

n

− a

n

=

. Notez que b

≡ b

≡ ∆ (mod 2).

Les formes f

=

1 0 n

1

F

sont les formes demand´ ees dans

l’´ enonc´ e avec b = b

+ 2a

n

.

Lemme

Soit {C

, C

} ⊂ Cl(∆)

, et M 6= 0 entier. Alors, il existe une paire de formes concordantes f

= ha

, b, a

c i ∈ C

et

f

= ha

, b, a

c i ∈ C

telles que pgcd(a

, a

) =pgcd(a

a

, M ) = 1.

D´ emonstration: Choisissons F

= ha

, b

, c

i ∈ C

tel que

pgcd(a

, M ) = 1. Prenons des entiers r , s tels que (r , s) = 1 et tels que a

= f (r, s ) est copremier avec M. Alors, il existe

r s u v

∈ SL

( Z ) tel que γf = F

est la forme que nous d´ esirons.

Puis choisissons F

= ha

, b

, c

i ∈ C

avec (a

, a

M ) = 1.

Ensuite, prenons des entiers n

, n

tels que a

n

− a

n

=

. Notez que b

≡ b

≡ ∆ (mod 2).

Les formes f

=

1 0 n

1

F

sont les formes demand´ ees dans

l’´ enonc´ e avec b = b

+ 2a

n

.

Lemme

Soit {C

, C

} ⊂ Cl(∆)

, et M 6= 0 entier. Alors, il existe une paire de formes concordantes f

= ha

, b, a

c i ∈ C

et

f

= ha

, b, a

c i ∈ C

telles que pgcd(a

, a

) =pgcd(a

a

, M ) = 1.

D´ emonstration: Choisissons F

= ha

, b

, c

i ∈ C

tel que

pgcd(a

, M ) = 1. Prenons des entiers r , s tels que (r , s) = 1 et tels que a

= f (r, s ) est copremier avec M. Alors, il existe

r s u v

∈ SL

( Z ) tel que γf = F

est la forme que nous d´ esirons.

Puis choisissons F

= ha

, b

, c

i ∈ C

avec (a

, a

M ) = 1.

Ensuite, prenons des entiers n

, n

tels que a

n

− a

n

=

. Notez que b

≡ b

≡ ∆ (mod 2).

Les formes f

=

1 0 n

1

F

sont les formes demand´ ees dans

l’´ enonc´ e avec b = b

+ 2a

n

.

Lemme

Soit {C

, C

} ⊂ Cl(∆)

, et M 6= 0 entier. Alors, il existe une paire de formes concordantes f

= ha

, b, a

c i ∈ C

et

f

= ha

, b, a

c i ∈ C

telles que pgcd(a

, a

) =pgcd(a

a

, M ) = 1.

D´ emonstration: Choisissons F

= ha

, b

, c

i ∈ C

tel que

pgcd(a

, M ) = 1. Prenons des entiers r , s tels que (r , s) = 1 et tels que a

= f (r, s ) est copremier avec M. Alors, il existe

r s u v

∈ SL

( Z ) tel que γf = F

est la forme que nous d´ esirons.

Puis choisissons F

= ha

, b

, c

i ∈ C

avec (a

, a

M ) = 1.

Ensuite, prenons des entiers n

, n

tels que a

n

− a

n

=

. Notez que b

≡ b

≡ ∆ (mod 2).

Les formes f

=

1 0 n

1

F

sont les formes demand´ ees dans

l’´ enonc´ e avec b = b

+ 2a

n

.

Proposition

Soient C

, C

deux classes d’´ equivalence propre de formes

quadratiques de discriminant fondamental ∆, et soient f

∈ C

et f

∈ C

des formes concordantes. Soient g

∈ C

et g

∈ C

une autre paire de formes concordantes. Alors

f

∗ f

≈ g

∗ g

.

D´ emonstration: Soit f

= ha

, b, c

i, f

= ha

, b, c

i, g

= ha

, b

, c

i et g

= ha

, b

, c

i.

• Cas 1: Soit f

= g

et pgcd(a

, a

) = 1. Il existe

γ =

r s t u

∈ SL

( Z ) tel que γf

= g

. Il est tr` es facile de voir que −sc

= ta

. Or a

|c

, de sorte que a

|t. La matrice

γ

=

r sa

t/a

u

est telle que γ

(f

∗ f

) = f

∗ g

.

Proposition

Soient C

, C

deux classes d’´ equivalence propre de formes

quadratiques de discriminant fondamental ∆, et soient f

∈ C

et f

∈ C

des formes concordantes. Soient g

∈ C

et g

∈ C

une autre paire de formes concordantes. Alors

f

∗ f

≈ g

∗ g

.

D´ emonstration: Soit f

= ha

, b, c

i, f

= ha

, b, c

i, g

= ha

, b

, c

i et g

= ha

, b

, c

i.

• Cas 1: Soit f

= g

et pgcd(a

, a

) = 1. Il existe

γ =

r s t u

∈ SL

( Z ) tel que γf

= g

. Il est tr` es facile de voir que −sc

= ta

. Or a

|c

, de sorte que a

|t. La matrice

γ

=

r sa

t/a

u

est telle que γ

(f

∗ f

) = f

∗ g

.

• Cas 2: Soit b = b

et pgcd(a

, a

) = 1. Dans ce cas, f

et g

sont concordantes, et deux applications du dernier cas montrent que

f

∗ f

≈ f

∗ g

≈ g

∗ g

.

• Cas 3: Soit pgcd(a

a

, a

a

) = 1. Soient B, n, n

tels que b + 2a

a

n = b

+ 2a

a

n

= B. Consid´ erons

F

=

1 0 a

n 1

f

= ha

, B, C

i, F

=

1 0 a

n 1

f

= ha

, B, C

i, H

=

1 0 n 1

(f

∗ f

) = ha

a

, B, C i.

On voit que a

a

|(B

− ∆)/4 et par cons´ equent F

et F

sont concordantes. Similairement, les formes G

= ha

, B, C

i et

G

= ha

, B, C

i sont corcordantes, et H

= ha

a

, B, C i ≈ g

∗ g

. Nous concluons, grˆ ace au dernier cas pour F

, F

, G

, G

, que

f

∗ f

≈ H

= F

∗ F

≈ G

∗ G

= H

≈ g

∗ g

.

• Cas 2: Soit b = b

et pgcd(a

, a

) = 1. Dans ce cas, f

et g

sont concordantes, et deux applications du dernier cas montrent que

f

∗ f

≈ f

∗ g

≈ g

∗ g

.

• Cas 3: Soit pgcd(a

a

, a

a

) = 1. Soient B, n, n

tels que b + 2a

a

n = b

+ 2a

a

n

= B. Consid´ erons

F

=

1 0 a

n 1

f

= ha

, B, C

i, F

=

1 0 a

n 1

f

= ha

, B, C

i, H

=

1 0 n 1

(f

∗ f

) = ha

a

, B , C i.

On voit que a

a

|(B

− ∆)/4 et par cons´ equent F

et F

sont concordantes. Similairement, les formes G

= ha

, B, C

i et

G

= ha

, B, C

i sont corcordantes, et H

= ha

a

, B, C i ≈ g

∗ g

. Nous concluons, grˆ ace au dernier cas pour F

, F

, G

, G

, que

f

∗ f

≈ H

= F

∗ F

≈ G

∗ G

= H

≈ g

∗ g

.

• Cas 2: Soit b = b

et pgcd(a

, a

) = 1. Dans ce cas, f

et g

sont concordantes, et deux applications du dernier cas montrent que

f

∗ f

≈ f

∗ g

≈ g

∗ g

.

• Cas 3: Soit pgcd(a

a

, a

a

) = 1. Soient B, n, n

tels que b + 2a

a

n = b

+ 2a

a

n

= B. Consid´ erons

F

=

1 0 a

n 1

f

= ha

, B, C

i, F

=

1 0 a

n 1

f

= ha

, B, C

i, H

=

1 0 n 1

(f

∗ f

) = ha

a

, B , C i.

On voit que a

a

|(B

− ∆)/4 et par cons´ equent F

et F

sont concordantes.

Similairement, les formes G

= ha

, B, C

i et

G

= ha

, B, C

i sont corcordantes, et H

= ha

a

, B, C i ≈ g

∗ g

. Nous concluons, grˆ ace au dernier cas pour F

, F

, G

, G

, que

f

∗ f

≈ H

= F

∗ F

≈ G

∗ G

= H

≈ g

∗ g

.

• Cas 2: Soit b = b

et pgcd(a

, a

) = 1. Dans ce cas, f

et g

sont concordantes, et deux applications du dernier cas montrent que

f

∗ f

≈ f

∗ g

≈ g

∗ g

.

• Cas 3: Soit pgcd(a

a

, a

a

) = 1. Soient B, n, n

tels que b + 2a

a

n = b

+ 2a

a

n

= B. Consid´ erons

F

=

1 0 a

n 1

f

= ha

, B, C

i, F

=

1 0 a

n 1

f

= ha

, B, C

i, H

=

1 0 n 1

(f

∗ f

) = ha

a

, B , C i.

On voit que a

a

|(B

− ∆)/4 et par cons´ equent F

et F

sont concordantes. Similairement, les formes G

= ha

, B, C

i et

G

= ha

, B, C

i sont corcordantes, et H

= ha

a

, B, C i ≈ g

∗ g

.

Nous concluons, grˆ ace au dernier cas pour F

, F

, G

, G

, que

f

∗ f

≈ H

= F

∗ F

≈ G

∗ G

= H

≈ g

∗ g

.

• Cas 2: Soit b = b

et pgcd(a

, a

) = 1. Dans ce cas, f

et g

sont concordantes, et deux applications du dernier cas montrent que

f

∗ f

≈ f

∗ g

≈ g

∗ g

.

• Cas 3: Soit pgcd(a

a

, a

a

) = 1. Soient B, n, n

tels que b + 2a

a

n = b

+ 2a

a

n

= B. Consid´ erons

F

=

1 0 a

n 1

f

= ha

, B, C

i, F

=

1 0 a

n 1

f

= ha

, B, C

i, H

=

1 0 n 1

(f

∗ f

) = ha

a

, B , C i.

On voit que a

a

|(B

− ∆)/4 et par cons´ equent F

et F

sont concordantes. Similairement, les formes G

= ha

, B, C

i et

G

= ha

, B, C

i sont corcordantes, et H

= ha

a

, B, C i ≈ g

∗ g

. Nous concluons, grˆ ace au dernier cas pour F

, F

, G

, G

, que

f

∗ f

≈ H

= F

∗ F

≈ G

∗ G

= H

≈ g

∗ g

.

•Cas 4: D’apr` es le lemme pr´ ec´ edent, il existe deux formes

concordantes F

= hA

, B , C

i ∈ C

et F

= hA

, B, C

i ∈ C

telles que pgcd(A

A

, a

a

a

a

) = 1 . Alors, nous pouvons appliquer deux fois le dernier cas, ce qui prouve que

f

∗ f

≈ F

∗ F

≈ g

∗ g

.

Th´ eor` eme

Soit ∆ 6= 0. L’ensemble des classes d’equivalence propre des formes quadratiques binaires de discriminant ∆ est un groupe ab´ elien fini.

L’´ el´ ement neutre du groupe est la classe principale. L’inverse de f est la classe de toute forme improprement ´ equivalente ` a f .

D´ emonstration: Soit f =< a, b, c > .

• Commutativit´ e: C’est clair par d´ efinition.

• El´ ement neutre: On a

1 0

b−ε

2

1

f

= h1, b, ac i, ce qui est une forme concordante avec f = ha, b, c i, et f ∗ h1, b, aci = f .

• Inverse: Nous avons 0 1

1 0

ha, b, ci = hc , b, ai, ce qui est une

forme concordante avec f et f ∗ hc , b, ai = hac, b, 1i ≈ f

.

Th´ eor` eme

Soit ∆ 6= 0. L’ensemble des classes d’equivalence propre des formes quadratiques binaires de discriminant ∆ est un groupe ab´ elien fini.

L’´ el´ ement neutre du groupe est la classe principale. L’inverse de f est la classe de toute forme improprement ´ equivalente ` a f .

D´ emonstration: Soit f =< a, b, c > .

• Commutativit´ e: C’est clair par d´ efinition.

• El´ ement neutre: On a

1 0

b−ε

2

1

f

= h1, b, ac i, ce qui est une forme concordante avec f = ha, b, c i, et f ∗ h1, b, aci = f .

• Inverse: Nous avons 0 1

1 0

ha, b, ci = hc , b, ai, ce qui est une

forme concordante avec f et f ∗ hc , b, ai = hac, b, 1i ≈ f

.

Th´ eor` eme

Soit ∆ 6= 0. L’ensemble des classes d’equivalence propre des formes quadratiques binaires de discriminant ∆ est un groupe ab´ elien fini.

L’´ el´ ement neutre du groupe est la classe principale. L’inverse de f est la classe de toute forme improprement ´ equivalente ` a f .

D´ emonstration: Soit f =< a, b, c > .

• Commutativit´ e: C’est clair par d´ efinition.

• El´ ement neutre: On a

1 0

b−ε

2

1

f

= h1, b, ac i, ce qui est une forme concordante avec f = ha, b, c i, et f ∗ h1, b, aci = f .

• Inverse: Nous avons 0 1

1 0

ha, b, ci = hc, b, ai, ce qui est une

forme concordante avec f et f ∗ hc , b, ai = hac, b, 1i ≈ f

.

•Associativ´ e: Soient C

, C

, C

trois classes d’´ equivalence. Nous commen¸cons par trouver, au moyen du lemme ci-dessus, des formres g

=< a

, b

, c

>∈ C

telles que pgcd(a

, a

) = 1, pgcd(a

a

, a

) = 1.

Prenons ensuite des entiers n

tels que b

+ 2a

n

= B pour un entier B ind´ ependant de j , et des formes

f

=

1 0 n

1

g

= ha

, B, C

i. Alors,

f

∗ (f

∗ f

) = f

∗ ha

a

, B , C i = ha

a

a

, B, C /a

i, et

(f

∗ f

) ∗ f

= ha

a

, B, C

i ∗ f

= ha

a

a

, B, C /a

i.

•Associativ´ e: Soient C

, C

, C

trois classes d’´ equivalence. Nous commen¸cons par trouver, au moyen du lemme ci-dessus, des formres g

=< a

, b

, c

>∈ C

telles que pgcd(a

, a

) = 1, pgcd(a

a

, a

) = 1.

Prenons ensuite des entiers n

tels que b

+ 2a

n

= B pour un entier B ind´ ependant de j , et des formes

f

=

1 0 n

1

g

= ha

, B, C

i. Alors,

f

∗ (f

∗ f

) = f

∗ ha

a

, B, C i = ha

a

a

, B, C /a

i, et

(f

∗ f

) ∗ f

= ha

a

, B, C

i ∗ f

= ha

a

a

, B, C /a

i.

Algorithme du composition

Soient f = ha, b, c i et f

= ha

, b

, c

i de discriminant ∆.

Soit δ =pgdc

a, a

,

= au + a

v +

w ,

o` u les ´ el´ ements u, v, w trouv´ es par Bezout ne sont pas uniques.

Alors,

f ∗ f

= hA, B, C i

o` u A =

, B =

(aub

+ a

vb + w (bb

+ ∆)/2), et C =

.

Exemple

∆ = −264 = 4(−2 · 3 · 11)

b (b

− ∆)/4 a c

0 66 1, 2, 3, 6 66, 33, 22, 11

2 67

4 70 5, 7 14, 10

6 75

8 82

Par cons´ equent, h

= 8, et un ensemble de repr´ esentants de Cl(∆)

est donn´ e par l’ensemble

( I = h1, 0, 66i, f

= h2, 0, 33i, f

= h3, 0, 22i, f

= h6, 0, 11i, f

= h5, 4, 14i, f

= h5, −4, 14i, f

= h7, 4, 10i, f

= h7, −4, 10i

)

D´ enotons par I la classe de I et par C

la classe de f

.

• C

∗ C

=?

δ = 2 = 1 · 2 + 0 · 2 + 0 · 0; donc u = 1, v = w = 0. Alors, A = 4, B = 0, C = 66, et C

∗ C

= I.

• C

∗ C

=?

δ = 1 = 1 · 5 + 0 · 5 − 1 · 4; donc u = 1, v = 0,w = −1. Alors, A = 25, B = 144, C = 210. De plus,

h25, 144, 210i ≈ h210, −144, 25i ≈ h25, −6, 3i ≈ h3, 0, 22i.

Donc, C

∗ C

= C

.

• C

∗ C

=?

δ = 2 = 1 · 2 + 0 · 2 + 0 · 0; donc u = 1, v = w = 0. Alors, A = 4, B = 0, C = 66, et C

∗ C

= I.

• C

∗ C

=?

δ = 1 = 1 · 5 + 0 · 5 − 1 · 4; donc u = 1, v = 0,w = −1. Alors, A = 25, B = 144, C = 210. De plus,

h25, 144, 210i ≈ h210, −144, 25i ≈ h25, −6, 3i ≈ h3, 0, 22i.

Donc, C

∗ C

= C

.

• C

∗ C

=?

δ = 1 = 2 · 3 − 1 · 5 + 0 · 2, donc u = 3, v = −1,w = 0.

Alors A = 15, B = −24, C = 14. De plus,

h15, −24, 14i ≈ h14, −4, 5i ≈ h5, 4, 14i.

Donc, C

∗ C

= C

.

Cl

(−264) I C

C

C

C

C

C

C

I I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

I C

Cl

(−264) 6' D

car D

n’est pas ab´ elien. Cl

(−264) 6' Q

car Q

n’est pas ab´ elien.

Cl

(−264) 6' Z /8 Z car il n’y a aucun ´ el´ ement d’ordre 8.

Cl

(−264) 6' Z /2 Z × Z /2 Z × Z /2 Z , C

est d’ordre 4.

Cl

(−264) ' Z/2Z × Z/4Z '< C

> × < C

>.

Cl

(−264) I C

C

C

C

C

C

C

I I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

I C

Cl

(−264) 6' D

car D

n’est pas ab´ elien.

Cl

(−264) 6' Q

car Q

n’est pas ab´ elien.

Cl

(−264) 6' Z /8 Z car il n’y a aucun ´ el´ ement d’ordre 8.

Cl

(−264) 6' Z /2 Z × Z /2 Z × Z /2 Z , C

est d’ordre 4.

Cl

(−264) ' Z/2Z × Z/4Z '< C

> × < C

>.

Cl

(−264) I C

C

C

C

C

C

C

I I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

I C

Cl

(−264) 6' D

car D

n’est pas ab´ elien.

Cl

(−264) 6' Q

car Q

n’est pas ab´ elien.

Cl

(−264) 6' Z /8 Z car il n’y a aucun ´ el´ ement d’ordre 8.

Cl

(−264) 6' Z /2 Z × Z /2 Z × Z /2 Z , C

est d’ordre 4.

Cl

(−264) ' Z/2Z × Z/4Z '< C

> × < C

>.

Cl

(−264) I C

C

C

C

C

C

C

I I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

I C

Cl

(−264) 6' D

car D

n’est pas ab´ elien.

Cl

(−264) 6' Q

car Q

n’est pas ab´ elien.

Cl

(−264) 6' Z /8 Z car il n’y a aucun ´ el´ ement d’ordre 8.

Cl

(−264) 6' Z /2 Z × Z /2 Z × Z /2 Z , C

est d’ordre 4.

Cl

(−264) ' Z/2Z × Z/4Z '< C

> × < C

>.

Cl

(−264) I C

C

C

C

C

C

C

I I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

I C

Cl

(−264) 6' D

car D

n’est pas ab´ elien.

Cl

(−264) 6' Q

car Q

n’est pas ab´ elien.

Cl

(−264) 6' Z /8 Z car il n’y a aucun ´ el´ ement d’ordre 8.

Cl

(−264) 6' Z /2 Z × Z /2 Z × Z /2 Z , C

est d’ordre 4.

Cl

(−264) ' Z/2Z × Z/4Z '< C

> × < C

>.

Cl

(−264) I C

C

C

C

C

C

C

I I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

I C

C

C

C

C

C

C

I C

Cl

(−264) 6' D

car D

n’est pas ab´ elien.

Cl

(−264) 6' Q

car Q

n’est pas ab´ elien.

Cl

(−264) 6' Z /8 Z car il n’y a aucun ´ el´ ement d’ordre 8.

Cl

(−264) 6' Z /2 Z × Z /2 Z × Z /2 Z , C

est d’ordre 4.

Cl

(−264) ' Z/2Z × Z/4Z '< C

> × < C

>.

Bibliographie

• D. Buell, Binary quadratic forms, Springer-Verlag, 1989.

(C’est le premier volume ` a consulter. Les notes de cours sont bas´ ees sur ce volume; on y trouve aussi les preuves omises.

Cependant ce volume contient plusieurs coquilles.)

• J. Buchmann, Binary quadratic forms: an algorithmic approach, Springer-Verlag, 2007.

• D. Cox, Primes of the form x

+ ny

, J. Wiley & sons, 1989.

(Tr` es beau volume traitant de la th´ eorie du corps de classes. Le premier chapitre contient une introduction aux formes

quadratiques binaires.)

• Alain Faisant, L’´ equation diophantienne du second degr´ e.

(En fran¸ cais.)

• D. Flath, Introduction to Number Theory, J. Wiley & sons, 1989.

(C’est une tr` es belle introduction ` a la th´ eorie des nombres, dans lequel on y trouve une belle pr´ esentation des formes quadratiques.

Le volume se veut une pr´ eparation pour lire les Disquisitiones Arithmeticae de Gauss.)

• F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, 1801.

La version originale est en latin, mais il existe des versions fran¸ caises et anglaises.)

• P. Ribenboim, My numbers, my friends, Springer-Verlag, 2000.

(Il contient un bon survol de la th´ eorie des formes quadratiques,

sans les preuves mais avec des exemples.