Formes quadratiques (Le¸con 1)

(1)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

Formes d´efinies positives

. . . . Formes ind´efinies

.

. . . .

.

Formes quadratiques (Le¸con 1)

Jorge Jim´ enez Urroz

(Universitat Polit` ecnica de Catalunya)

Cimpa ´ Ecole, Bamako, Novembre 2010

(2)

. . . . Pr´eliminaires

. . . .

Pr´ eliminaires

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Une forme quadratique est une fonction polynomiale homog` ene du second degr´ e ` a coefficients dans Z ,

f (x, y) = ax ² + bxy + cy ² , a, b, c ∈ Z, qui sera not´ ee f = ⟨ a, b, c ⟩ .

Question: Quels sont les entiers que f repr´ esente?

(3)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

Pr´ eliminaires

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Une forme quadratique est une fonction polynomiale homog` ene du second degr´ e ` a coefficients dans Z ,

f (x, y) = ax ² + bxy + cy ² , a, b, c ∈ Z, qui sera not´ ee f = ⟨ a, b, c ⟩ .

Question: Quels sont les entiers que f repr´ esente?

(4)

. . . .

f (x, y ) = 2x ² − 6xy + 2y ² = ⟨2, −6, 2⟩.

. D´ efinition .

.

. . . .

. . La forme ⟨ a, b, c ⟩ est dite primitive si pgcd(a, b, c ) = 1

f (x, y) = x ² + y ² = ⟨ 1, 0, 1 ⟩ ) ne repr´ esente eaucun entier n´ egatif.

. D´ efinition .

.

. . . .

.

La forme ⟨a, b, c⟩ est dite d´ efinie si ∆ = b ² − 4ac < 0 avec a > 0 (et c > 0). Elle est dite ind´ efinie si ∆ > 0.

4af (x, y ) = 4a(ax ² + bxy + cy ² ) = (2ax + by) ² − ∆y ² .

(5)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

f (x, y ) = 2x ² − 6xy + 2y ² = ⟨2, −6, 2⟩.

. D´ efinition .

.

. . . .

. . La forme ⟨ a, b, c ⟩ est dite primitive si pgcd(a, b, c ) = 1

f (x, y) = x ² + y ² = ⟨ 1, 0, 1 ⟩ ) ne repr´ esente eaucun entier n´ egatif.

. D´ efinition .

.

. . . .

.

La forme ⟨a, b, c⟩ est dite d´ efinie si ∆ = b ² − 4ac < 0 avec a > 0 (et c > 0). Elle est dite ind´ efinie si ∆ > 0.

4af (x, y ) = 4a(ax ² + bxy + cy ² ) = (2ax + by) ² − ∆y ² .

(6)

. . . .

f (x, y ) = 2x ² − 6xy + 2y ² = ⟨2, −6, 2⟩.

. D´ efinition .

.

. . . .

. . La forme ⟨ a, b, c ⟩ est dite primitive si pgcd(a, b, c ) = 1

f (x, y ) = x ² + y ² = ⟨ 1, 0, 1 ⟩ ) ne repr´ esente eaucun entier n´ egatif.

. D´ efinition .

.

. . . .

.

La forme ⟨a, b, c⟩ est dite d´ efinie si ∆ = b ² − 4ac < 0 avec a > 0 (et c > 0). Elle est dite ind´ efinie si ∆ > 0.

4af (x, y ) = 4a(ax ² + bxy + cy ² ) = (2ax + by) ² − ∆y ² .

(7)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

f (x, y ) = 2x ² − 6xy + 2y ² = ⟨2, −6, 2⟩.

. D´ efinition .

.

. . . .

. . La forme ⟨ a, b, c ⟩ est dite primitive si pgcd(a, b, c ) = 1

f (x, y ) = x ² + y ² = ⟨ 1, 0, 1 ⟩ ) ne repr´ esente eaucun entier n´ egatif.

. D´ efinition .

.

. . . .

.

La forme ⟨a, b, c⟩ est dite d´ efinie si ∆ = b ² − 4ac < 0 avec a > 0 (et c > 0). Elle est dite ind´ efinie si ∆ > 0.

4af (x, y ) = 4a(ax ² + bxy + cy ² ) = (2ax + by) ² − ∆y ² .

(8)

. . . .

f 1 (x, y) = x ² + 3y ² ne repr´ esente pas l’entier 2.

f 2 (x, y) = 4x ² + 14xy + 13y ² , non plus.

Si on fait le changement de variables x = 2x ^′ − y ^′ , y = − x ^′ + y ^′ , nous avons f ₂ (x, y) = f ₁ (x ^′ , y ^′ ), et f et f ^′ repr´ esentent le mˆ eme ensemble d’entiers.

( x y

)

=

( 2 − 1

−1 1 ) ( x ^′

y ^′ )

et ( x ^′

y ^′ )

= ( 1 1

1 2 ) ( x

y )

Nous voulons faire un changement de variables pour trouver la forme la plus facile possible pour les calculs. Ce changement de variables doit impliquer une matrice inversible. Posons

GL ₂ ( Z ) =

{( α γ

β δ

)

: αδ − βγ = ± 1 }

, et

SL ₂ ( Z ) =

{( α γ

β δ

)

: αδ − βγ = 1 }

.

(9)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

f 1 (x, y) = x ² + 3y ² ne repr´ esente pas l’entier 2.

f 2 (x, y) = 4x ² + 14xy + 13y ² , non plus.

Si on fait le changement de variables x = 2x ^′ − y ^′ , y = − x ^′ + y ^′ , nous avons f ₂ (x, y) = f ₁ (x ^′ , y ^′ ), et f et f ^′ repr´ esentent le mˆ eme ensemble d’entiers.

( x y

)

=

( 2 − 1

−1 1 ) ( x ^′

y ^′ )

et ( x ^′

y ^′ )

= ( 1 1

1 2 ) ( x

y )

Nous voulons faire un changement de variables pour trouver la forme la plus facile possible pour les calculs. Ce changement de variables doit impliquer une matrice inversible. Posons

GL ₂ ( Z ) =

{( α γ

β δ

)

: αδ − βγ = ± 1 }

, et

SL ₂ ( Z ) =

{( α γ

β δ

)

: αδ − βγ = 1 }

.

(10)

. . . .

f 1 (x, y) = x ² + 3y ² ne repr´ esente pas l’entier 2.

f 2 (x, y) = 4x ² + 14xy + 13y ² , non plus.

Si on fait le changement de variables x = 2x ^′ − y ^′ , y = − x ^′ + y ^′ , nous avons f ₂ (x, y) = f ₁ (x ^′ , y ^′ ), et f et f ^′ repr´ esentent le mˆ eme ensemble d’entiers.

( x y

)

=

( 2 − 1

−1 1 ) ( x ^′

y ^′ )

et ( x ^′

y ^′ )

= ( 1 1

1 2 ) ( x

y )

Nous voulons faire un changement de variables pour trouver la forme la plus facile possible pour les calculs. Ce changement de variables doit impliquer une matrice inversible. Posons

GL ₂ ( Z ) =

{( α γ

β δ

)

: αδ − βγ = ± 1 }

, et

SL ₂ ( Z ) =

{( α γ

β δ

)

: αδ − βγ = 1 }

.

(11)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

f 1 (x, y) = x ² + 3y ² ne repr´ esente pas l’entier 2.

f 2 (x, y) = 4x ² + 14xy + 13y ² , non plus.

Si on fait le changement de variables x = 2x ^′ − y ^′ , y = − x ^′ + y ^′ , nous avons f ₂ (x, y) = f ₁ (x ^′ , y ^′ ), et f et f ^′ repr´ esentent le mˆ eme ensemble d’entiers.

( x y

)

=

( 2 − 1

−1 1 ) ( x ^′

y ^′ )

et ( x ^′

y ^′ )

= ( 1 1

1 2 ) ( x

y )

Nous voulons faire un changement de variables pour trouver la forme la plus facile possible pour les calculs. Ce changement de variables doit impliquer une matrice inversible. Posons

GL ₂ ( Z ) =

{( α γ

β δ

)

: αδ − βγ = ± 1 }

, et

SL ₂ ( Z ) =

{( α γ

β δ

)

: αδ − βγ = 1 }

.

(12)

. . . .

. D´ efinition .

.

. . . .

.

A chaque forme f = ⟨ a, b, c ⟩ , on associe la matrice M _f =

( a b/2 b/2 c

) .

Alors on a

f (x, y ) = (x, y)M _f ( x

y )

.

Observation: ∆ = − 4det(M _f ).

Chaque A ∈ GL 2 ( Z ) agit sur f et donne une autre forme f ^′ dont la matrice associ´ ee est

M _f

′

= AM _f A ^t .

En particulier, ∆ _f = ∆ _f

′

.

(13)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

. D´ efinition .

.

. . . .

.

A chaque forme f = ⟨ a, b, c ⟩ , on associe la matrice M _f =

( a b/2 b/2 c

) .

Alors on a

f (x, y ) = (x, y )M _f ( x

y )

. Observation: ∆ = − 4det(M _f ).

Chaque A ∈ GL 2 ( Z ) agit sur f et donne une autre forme f ^′ dont la matrice associ´ ee est

M _f

′

= AM _f A ^t .

En particulier, ∆ _f = ∆ _f

′

.

(14)

. . . .

. D´ efinition .

.

. . . .

.

A chaque forme f = ⟨ a, b, c ⟩ , on associe la matrice M _f =

( a b/2 b/2 c

) .

Alors on a

f (x, y ) = (x, y )M _f ( x

y )

.

Observation: ∆ = − 4det(M _f ).

Chaque A ∈ GL 2 ( Z ) agit sur f et donne une autre forme f ^′ dont la matrice associ´ ee est

M _f

′

= AM _f A ^t .

En particulier, ∆ _f = ∆ _f

′

.

(15)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

. D´ efinition .

.

. . . .

.

A chaque forme f = ⟨ a, b, c ⟩ , on associe la matrice M _f =

( a b/2 b/2 c

) .

Alors on a

f (x, y ) = (x, y )M _f ( x

y )

.

Observation: ∆ = − 4det(M _f ).

Chaque A ∈ GL 2 ( Z ) agit sur f et donne une autre forme f ^′ dont la matrice associ´ ee est

M _f

′

= AM _f A ^t .

En particulier, ∆ f = ∆ f

^′

.

(16)

. . . .

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Etant donn´ e un discriminant ∆, nous appelons F ∆ l’ensemble des formes quadratiques de discriminant ∆.

Observation Tout entier ∆ ≡ 0, 1 (mod 4) est discriminant d’une forme quadratique.

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Etant donn´ e un discriminant ∆, la forme quadratique principale I de discriminant ∆ est

I =

{ ⟨ 1, 0, − ∆/4 ⟩ si ∆ ≡ 0 (mod 4),

⟨1, 1, (1 − ∆)/4⟩ si ∆ ≡ 1 (mod 4).

(17)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Etant donn´ e un discriminant ∆, nous appelons F ∆ l’ensemble des formes quadratiques de discriminant ∆.

Observation Tout entier ∆ ≡ 0, 1 (mod 4) est discriminant d’une forme quadratique.

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Etant donn´ e un discriminant ∆, la forme quadratique principale I de discriminant ∆ est

I =

{ ⟨ 1, 0, − ∆/4 ⟩ si ∆ ≡ 0 (mod 4),

⟨1, 1, (1 − ∆)/4⟩ si ∆ ≡ 1 (mod 4).

(18)

. . . .

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Un entier ∆ est un discriminant fondamental s’il est discriminant d’une forme quadratique primitive et seulement de formes

quadratiques primitives.

Il y a deux possibilit´ es:

∆ ≡ 1 (mod 4) avec ∆ sans facteur carr´ e,

∆/4 ≡ 2, 3 (mod 4) avec ∆/4 sans facteur carr´ e.

Etant donn´ es une matrice A ∈ GL ₂ ( Z ) et un discriminant ∆, nous avons

T _A : F _∆ → F _∆

f → T _A (f ) = f ^′ .

(19)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Un entier ∆ est un discriminant fondamental s’il est discriminant d’une forme quadratique primitive et seulement de formes

quadratiques primitives.

Il y a deux possibilit´ es:

∆ ≡ 1 (mod 4) avec ∆ sans facteur carr´ e,

∆/4 ≡ 2, 3 (mod 4) avec ∆/4 sans facteur carr´ e.

Etant donn´ es une matrice A ∈ GL ₂ ( Z ) et un discriminant ∆, nous avons

T _A : F _∆ → F _∆

f → T _A (f ) = f ^′ .

(20)

. . . .

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Deux formes f , g ∈ F _∆ sont ´ equivalentes, en symboles f ∼ g , s’il existe A ∈ GL 2 ( Z ) tel que T A (f ) = g .

Si A ∈ SL ₂ ( Z ), on dit que la forme f est proprement ´ equivalente

` a la forme g , en symboles f ≈ g .

Observation: ∼ et ≈ sont des relations d’´ equivalence. On note

respectivement Cl(∆) l’ensemble des classes d’´ equivalence par

rapport ` a ∼ , et Cl ⁺ (∆) l’ensemble des classes d’´ equivalence par

rapport ` a ≈ .

(21)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

Si T A (f ) = ⟨a ^′ , b ^′ , c ^′ ⟩ et A = ( α γ

β δ

) , alors

 



a ^′ = f (α, γ),

b ^′ = 2aαβ + b(αδ + βγ) + 2c γδ, c ^′ = f (β, δ).

Etant donn´ ee une forme f ∈ F ∆ , nous voulons trouver la forme

´ equivalente (ou proprement ´ equivalente) ` a f la plus utile.

(22)

. . . .

Si T A (f ) = ⟨a ^′ , b ^′ , c ^′ ⟩ et A = ( α γ

β δ

) , alors

 



a ^′ = f (α, γ),

b ^′ = 2aαβ + b(αδ + βγ) + 2c γδ, c ^′ = f (β, δ).

Etant donn´ ee une forme f ∈ F ∆ , nous voulons trouver la forme

´ equivalente (ou proprement ´ equivalente) ` a f la plus utile.

(23)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

Formes d´ efinies positives

Nous voulons les coefficients de ⟨a, b, c ⟩ les plus petits possibles.

Si la forme est d´ efinie positive, il existe m ayant la propri´ et´ e m = min { f (x, y) : x, y ∈ Z} .

Il est clair que si m = f (α, γ), alors pgcd(α, γ) = 1 et on peut trouver β, δ telle que αδ − βγ = 1. Posons A =

( α γ

β δ

) et appelons T _A (f ) = ⟨ a ^′ , b ^′ , c ^′ ⟩ . Nous avons a ≤ c, et voulons rendre

| b | le plus petit possible.

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Une forme quadratique d´ efinie positive f = ⟨ a, b, c ⟩ est r´ eduite si

| b | ≤ a ≤ c et si de plus b ≥ 0 lorsque | b | = a ou lorsque c = a.

(24)

. . . .

Formes d´ efinies positives

Nous voulons les coefficients de ⟨a, b, c ⟩ les plus petits possibles.

Si la forme est d´ efinie positive, il existe m ayant la propri´ et´ e m = min { f (x, y) : x, y ∈ Z} .

Il est clair que si m = f (α, γ), alors pgcd(α, γ) = 1 et on peut trouver β, δ telle que αδ − βγ = 1. Posons A =

( α γ

β δ

) et appelons T _A (f ) = ⟨ a ^′ , b ^′ , c ^′ ⟩ . Nous avons a ≤ c, et voulons rendre

| b | le plus petit possible.

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Une forme quadratique d´ efinie positive f = ⟨ a, b, c ⟩ est r´ eduite si

| b | ≤ a ≤ c et si de plus b ≥ 0 lorsque | b | = a ou lorsque c = a.

(25)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

. Proposition .

.

. . . .

.

Il existe une forme quadratique r´ eduite dans chaque classe de formes quadratiques d´ efinies positives proprement ´ equivalentes.

D´ emonstration: Choisissons ⟨ a ^′ , b ^′ , c ^′ ⟩ = T _A (f ) avec

a ^′ =min { f (x, y) : x, y ∈ Z} . Si | b ^′ | ≤ a, c’est fini. Sinon, nous consid´ erons l’unique entier δ tel que | − b ^′ + 2a ^′ δ | ≤ a ^′ , et la matrice B = M δ A ^′ ou M δ =

( 0 1

− 1 δ )

et A ^′ =

( −β −δ

α γ

) . La forme T B (f ) est r´ eduite.

Vous remarquerez que g = T A

^′

(f ) = ⟨c ^′ , −b ^′ , a ^′ ⟩ et T _M

_δ

(g ) = ⟨ a ^′ , − b + 2a ^′ δ, c ^′ + b ^′ δ + a ^′ δ ² ⟩ .

Exercice: Finissez la d´ emonstration.

(26)

. . . .

. Proposition .

.

. . . .

.

Il existe une forme quadratique r´ eduite dans chaque classe de formes quadratiques d´ efinies positives proprement ´ equivalentes.

D´ emonstration: Choisissons ⟨ a ^′ , b ^′ , c ^′ ⟩ = T _A (f ) avec

a ^′ =min { f (x , y) : x, y ∈ Z} . Si | b ^′ | ≤ a, c’est fini. Sinon, nous consid´ erons l’unique entier δ tel que | − b ^′ + 2a ^′ δ | ≤ a ^′ , et la matrice B = M δ A ^′ ou M δ =

( 0 1

− 1 δ )

et A ^′ =

( −β −δ

α γ

) . La forme T B (f ) est r´ eduite.

Vous remarquerez que g = T A

^′

(f ) = ⟨c ^′ , −b ^′ , a ^′ ⟩ et T _M

_δ

(g ) = ⟨ a ^′ , − b + 2a ^′ δ, c ^′ + b ^′ δ + a ^′ δ ² ⟩ .

Exercice: Finissez la d´ emonstration.

(27)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

. Proposition .

.

. . . .

.

Il existe une forme quadratique r´ eduite dans chaque classe de formes quadratiques d´ efinies positives proprement ´ equivalentes.

D´ emonstration: Choisissons ⟨ a ^′ , b ^′ , c ^′ ⟩ = T _A (f ) avec

a ^′ =min { f (x , y) : x, y ∈ Z} . Si | b ^′ | ≤ a, c’est fini. Sinon, nous consid´ erons l’unique entier δ tel que | − b ^′ + 2a ^′ δ | ≤ a ^′ , et la matrice B = M δ A ^′ ou M δ =

( 0 1

− 1 δ )

et A ^′ =

( −β −δ

α γ

) . La forme T B (f ) est r´ eduite.

Vous remarquerez que g = T A

^′

(f ) = ⟨c ^′ , −b ^′ , a ^′ ⟩ et T _M

_δ

(g ) = ⟨ a ^′ , − b + 2a ^′ δ, c ^′ + b ^′ δ + a ^′ δ ² ⟩ .

Exercice: Finissez la d´ emonstration.

(28)

. . . .

. Th´ eor` eme .

.

. . . .

.

Les seules formes de l’ensemble des formes r´ eduites qui sont

´ equivalentes entre elles sont ⟨ a, − b, a ⟩ ≈ ⟨ a, b, a ⟩ et

⟨ a, − a, c ⟩ ≈ ⟨ a, a, c ⟩ .

D´ emonstration: Soit ⟨ a, b, c ⟩ et ⟨ a ^′ , b ^′ , c ^′ ⟩ deux formes r´ eduites

´ equivalentes avec a ≥ a ^′ . Alors, a ^′ = aα ² + bαγ + cγ ² , et a ≥ aα ² + bαγ + c γ ² ≥ a(α ² + γ ² ) − | b || αγ | ≥ a | αγ | , de sorte que α ² + γ ² ≥ 2 | αγ | .

Cette in´ egalit´ e est possible seulement si {α, γ} ⊂ {0, 1, −1}. Si α = 0, alors b ^′ = − b ± 2c δ, a ^′ = c , et nous arrivons a f 1 . Si γ = 0, alors b ^′ = b ± 2aδ, a ^′ = a, et nous arrivons ` a f ₂ . Finalement, si

|αγ| = 1, alors a = a ^′ = a ± b + c , et nous avons ⟨a, ±a, a⟩.

(29)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

. Th´ eor` eme .

.

. . . .

.

Les seules formes de l’ensemble des formes r´ eduites qui sont

´ equivalentes entre elles sont ⟨ a, − b, a ⟩ ≈ ⟨ a, b, a ⟩ et

⟨ a, − a, c ⟩ ≈ ⟨ a, a, c ⟩ .

D´ emonstration: Soit ⟨ a, b, c ⟩ et ⟨ a ^′ , b ^′ , c ^′ ⟩ deux formes r´ eduites

´ equivalentes avec a ≥ a ^′ . Alors, a ^′ = aα ² + bαγ + cγ ² , et a ≥ aα ² + bαγ + c γ ² ≥ a(α ² + γ ² ) − | b || αγ | ≥ a | αγ | , de sorte que α ² + γ ² ≥ 2 | αγ | .

Cette in´ egalit´ e est possible seulement si {α, γ} ⊂ {0, 1, −1}. Si α = 0, alors b ^′ = − b ± 2c δ, a ^′ = c , et nous arrivons a f 1 . Si γ = 0, alors b ^′ = b ± 2aδ, a ^′ = a, et nous arrivons ` a f ₂ . Finalement, si

|αγ| = 1, alors a = a ^′ = a ± b + c , et nous avons ⟨a, ±a, a⟩.

(30)

. . . .

Comment pouvons-nous trouver la valeur minimale de f (x, y)?

Dans ce qui suit, on va donner un algorithme standard pour trouver cette valeur:

Si f = ⟨ a, b, c ⟩ n’est pas r´ eduite, alors il existe un entier unique δ telle que | − b + 2c δ | ≤ c .

Consid´ erons A =

( 0 − 1

1 δ

) et

T _A (f ) = ⟨ c , − b + 2cδ, a + bδ + cδ ² ⟩ = f ^′ .

Si c ≤ a + bδ + c δ ² , c’est termin´ e. Sinon, nous r´ ep´ etons avec f ^′ .

Observation Vous constaterez que si f ^′ n’est pas r´ eduite, alors

0 < c ^′ < c , de sorte que le processus se terminera apr` es un nombre

fini d’´ etapes.

(31)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

. Proposition .

.

. . . .

.

Soit ⟨ a, b, c ⟩ une forme d´ efinie positive r´ eduite. Alors,

| b | ≤ √

∆/3 et b ≡ ∆ (mod 2), a | (b ² − ∆)/4,

|b| ≤ a ≤ (b ² − ∆)/(4a).

. Corollaire .

.

. . . .

.

Pour ∆ < 0, les ensembles Cl(∆) et Cl(∆) ⁺ sont finis de cardinalit´ es h _∆ et h ⁺ _∆ respectivement.

Nous pouvons utiliser cette proposition, pour trouver toutes les

formes quadratiques r´ eduites d´ efinies positives.

(32)

. . . .

. Proposition .

.

. . . .

.

Soit ⟨ a, b, c ⟩ une forme d´ efinie positive r´ eduite. Alors,

| b | ≤ √

∆/3 et b ≡ ∆ (mod 2), a | (b ² − ∆)/4,

|b| ≤ a ≤ (b ² − ∆)/(4a).

. Corollaire .

.

. . . .

.

Pour ∆ < 0, les ensembles Cl(∆) et Cl(∆) ⁺ sont finis de cardinalit´ es h _∆ et h ⁺ _∆ respectivement.

Nous pouvons utiliser cette proposition, pour trouver toutes les

formes quadratiques r´ eduites d´ efinies positives.

(33)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

. Proposition .

.

. . . .

.

Soit ⟨ a, b, c ⟩ une forme d´ efinie positive r´ eduite. Alors,

| b | ≤ √

∆/3 et b ≡ ∆ (mod 2), a | (b ² − ∆)/4,

|b| ≤ a ≤ (b ² − ∆)/(4a).

. Corollaire .

.

. . . .

.

Pour ∆ < 0, les ensembles Cl(∆) et Cl(∆) ⁺ sont finis de cardinalit´ es h _∆ et h ⁺ _∆ respectivement.

Nous pouvons utiliser cette proposition, pour trouver toutes les

formes quadratiques r´ eduites d´ efinies positives.

(34)

. . . .

Algorithme calculant toutes les formes quadratiques definies positives r´ eduites de discriminant donn´ e.

Soit

B = { 0 ≤ b ≤ √

| ∆ | /3, b ≡ ∆ (mod 2) } , et pour b ∈ B posons

A b = {a | (b ² − ∆)/4, |b| ≤ a ≤ (b ² − ∆)/(4a)}.

Alors,

h ⁺ _∆ = ∑

b ∈ B

∑

a ∈ A

b

n(a, b), o` u

n(a, b) = {

1 si b = 0 ou si a ∈ { b, (b ² − ∆)/4a } ,

2 sinon.

(35)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

Exemple.

∆ = − 264 = 4( − 2 · 3 · 11)

b (b ² − ∆)/4 a c

0 66 1, 2, 3, 6 66, 33, 22, 11

2 67

4 70 5, 7 14, 10

6 75

8 82

Par cons´ equent h ⁺ _∆ = 8, et Cl (∆) ⁺ =

{ ⟨ 1, 0, 66 ⟩ , ⟨ 2, 0, 33 ⟩ , ⟨ 3, 0, 22 ⟩ , ⟨ 6, 0, 11 ⟩ ,

⟨5, 4, 14⟩, ⟨5, −4, 14⟩, ⟨7, 4, 10⟩, ⟨7, −4, 10⟩

} .

Nous avons ⟨ a, − b, c ⟩ =

( 1 0 0 − 1

)

⟨ a, b, c ⟩ . Donc

⟨ 5, 4, 14 ⟩ ∼ ⟨ 5, − 4, 14 ⟩ , ⟨ 7, 4, 10 ⟩ ∼ ⟨ 7, − 4, 10 ⟩ , et h ∆ = 6.

(36)

. . . .

Exemple.

∆ = − 264 = 4( − 2 · 3 · 11)

b (b ² − ∆)/4 a c

0 66 1, 2, 3, 6 66, 33, 22, 11

2 67

4 70 5, 7 14, 10

6 75

8 82

Par cons´ equent h ⁺ _∆ = 8, et Cl (∆) ⁺ =

{ ⟨ 1, 0, 66 ⟩ , ⟨ 2, 0, 33 ⟩ , ⟨ 3, 0, 22 ⟩ , ⟨ 6, 0, 11 ⟩ ,

⟨5, 4, 14⟩, ⟨5, −4, 14⟩, ⟨7, 4, 10⟩, ⟨7, −4, 10⟩

} .

Nous avons ⟨ a, − b, c ⟩ =

( 1 0 0 − 1

)

⟨ a, b, c ⟩ . Donc

(37)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

Formes ind´ efinies

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Une forme quadratique ind´ efinie f = ⟨ a, b, c ⟩ est dite r´ eduite si 0 < b < √

√ ∆,

∆ − b < 2 | a | < √

∆ + b.

Observations: Si ⟨ a, b, c ⟩ est r´ eduite, ⟨ c , b, a ⟩ l’est aussi. En outre, | a | < √

∆, | c | < √

∆ et ac < 0. Remarquons que ( √

∆ − b)( √

∆ + b) = ∆ − b ² = − 4ac = 2 | a | · 2 | c | . Proposition

. .

. . . .

. . Si | a | ≤ | c | et √

∆ − 2 | a | < b < √

∆, alors ⟨ a, b, c ⟩ est r´ eduite.

(38)

. . . .

Formes ind´ efinies

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Une forme quadratique ind´ efinie f = ⟨ a, b, c ⟩ est dite r´ eduite si 0 < b < √

√ ∆,

∆ − b < 2 | a | < √

∆ + b.

Observations: Si ⟨ a, b, c ⟩ est r´ eduite, ⟨ c , b, a ⟩ l’est aussi. En outre, | a | < √

∆, | c | < √

∆ et ac < 0. Remarquons que ( √

∆ − b)( √

∆ + b) = ∆ − b ² = − 4ac = 2 | a | · 2 | c |

. Proposition .

.

. . . .

. . Si | a | ≤ | c | et √

∆ − 2 | a | < b < √

∆, alors ⟨ a, b, c ⟩ est r´ eduite.

(39)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

Formes ind´ efinies

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Une forme quadratique ind´ efinie f = ⟨ a, b, c ⟩ est dite r´ eduite si 0 < b < √

√ ∆,

∆ − b < 2 | a | < √

∆ + b.

Observations: Si ⟨ a, b, c ⟩ est r´ eduite, ⟨ c , b, a ⟩ l’est aussi. En outre, | a | < √

∆, | c | < √

∆ et ac < 0. Remarquons que ( √

∆ − b)( √

∆ + b) = ∆ − b ² = − 4ac = 2 | a | · 2 | c | . Proposition

. .

. . . .

. . Si | a | ≤ | c | et √

∆ − 2 | a | < b < √

∆, alors ⟨ a, b, c ⟩ est r´ eduite.

(40)

. . . .

. Proposition .

.

. . . .

.

Toute forme quadratique ind´ efinie f de discrminant ∆ est

proprement ´ equivalente ` a une forme r´ eduite de mˆ eme discrminant.

D´ emonstration: Si ⟨ a, b, c ⟩ n’est pas r´ eduite, on chosit δ tel que

√ ∆ − 2 | c | < − b + 2c δ < √

∆. Donc,

⟨c, −b + 2cδ, a − bδ + c δ ² ⟩ =

( 0 1

− 1 δ )

⟨a, b, c ⟩ et si |a − bδ + c δ ² | < |c| le processus est r´ ep´ et´ e.

. Corollaire .

.

. . . .

.

Pour ∆ > 0, Cl(∆) et Cl(∆) ⁺ sont finis du cardinalit´ e h ∆ et h ⁺ _∆

respectivement.

(41)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

. Proposition .

.

. . . .

.

Toute forme quadratique ind´ efinie f de discrminant ∆ est

proprement ´ equivalente ` a une forme r´ eduite de mˆ eme discrminant.

D´ emonstration: Si ⟨ a, b, c ⟩ n’est pas r´ eduite, on chosit δ tel que

√ ∆ − 2 | c | < − b + 2c δ < √

∆. Donc,

⟨ c, − b + 2cδ, a − bδ + c δ ² ⟩ =

( 0 1

− 1 δ )

⟨ a, b, c ⟩ et si |a − bδ + c δ ² | < |c| le processus est r´ ep´ et´ e.

. Corollaire .

.

. . . .

.

Pour ∆ > 0, Cl(∆) et Cl(∆) ⁺ sont finis du cardinalit´ e h ∆ et h ⁺ _∆

respectivement.

(42)

. . . .

Exemple.

∆ = 316 = 4 · 79

b √

∆ − b √

∆ + b | a | | c |

2 15, 77 19, 77 4 13, 77 21, 77

6 11, 77 23, 77 7, 10 10, 7

8 9, 77 25, 77 7, 9 9, 7

10 7, 77 27, 77 6, 9 9, 6

12 5, 77 29, 77

14 3, 77 31, 77 2, 3, 5, 6, 10, 15 15, 10, 6, 5, 3, 2

16 1, 77 33, 77 1, 3, 5, 15 15, 5, 3, 1

(43)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

Les formes r´ eduites sont:

⟨± 7, 6, ∓ 10 ⟩ , ⟨± 10, 6, ∓ 7 ⟩ , ⟨± 7, 8, ∓ 9 ⟩ , ⟨± 9, 8, ∓ 7 ⟩

⟨± 6, 10, ∓ 9 ⟩ , ⟨± 9, 10, ∓ 6 ⟩ , ⟨± 2, 14, ∓ 15 ⟩ , ⟨± 15, 14, ∓ 2 ⟩ ,

⟨± 3, 14, ∓ 10 ⟩ , ⟨± 10, 14, ∓ 3 ⟩ , ⟨± 5, 14, ∓ 6 ⟩ , ⟨± 6, 15, ∓ 5 ⟩ ,

⟨± 1, 16, ∓ 15 ⟩ , ⟨± 15, 16, ∓ 1 ⟩ , ⟨± 3, 16, ∓ 5 ⟩ , ⟨± 5, 16, ∓ 3 ⟩

(44)

. . . .

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Les formes ⟨ a, b, a ^′ ⟩ et ⟨ a ^′ , b ^′ , c ^′ ⟩ sont dites adjacentes par la droite si b + b ^′ ≡ 0 (mod 2a ^′ ). Les formes ⟨ c ^′ , b, c ⟩ et ⟨ a ^′ , b ^′ , c ^′ ⟩ sont dites adjacentes par la gauche si b + b ^′ ≡ 0 (mod 2c ^′ ).

. Proposition .

.

. . . .

.

Soit f = ⟨ a, b, c ⟩ une forme quadratique ind´ efinie r´ eduite. Alors, il existe une forme ´ equivalente ` a f adjacente par la droite et une autre forme ´ equivalente ` a f et adjacente par la gauche.

D´ emonstration: Nous consid´ erons b + b ^′ ≡ 0 (mod 2ac), et les matrices

( 0 − 1 1 − (b + b ^′ )/2c

) et

( − (b + b ^′ )/2a − 1

1 0

) .

Observation: L’esemble des formes quadratiques r´ eduites de

discriminant ∆ > 0 peut ˆ etre partionn´ e en cycles de formes

adjacentes par la droite (ou par la gauche).

(45)

. . . . . . . .

Pr´eliminaires

. . . .

. D´ efinition .

.

. . . .

.

Les formes ⟨ a, b, a ^′ ⟩ et ⟨ a ^′ , b ^′ , c ^′ ⟩ sont dites adjacentes par la droite si b + b ^′ ≡ 0 (mod 2a ^′ ). Les formes ⟨ c ^′ , b, c ⟩ et ⟨ a ^′ , b ^′ , c ^′ ⟩ sont dites adjacentes par la gauche si b + b ^′ ≡ 0 (mod 2c ^′ ).

. Proposition .

.

. . . .

.

Soit f = ⟨ a, b, c ⟩ une forme quadratique ind´ efinie r´ eduite. Alors, il existe une forme ´ equivalente ` a f adjacente par la droite et une autre forme ´ equivalente ` a f et adjacente par la gauche.

D´ emonstration: Nous consid´ erons b + b ^′ ≡ 0 (mod 2ac), et les matrices

( 0 − 1 1 − (b + b ^′ )/2c

) et

( − (b + b ^′ )/2a − 1

1 0

)

.

Observation: L’esemble des formes quadratiques r´ eduites de

discriminant ∆ > 0 peut ˆ etre partionn´ e en cycles de formes

adjacentes par la droite (ou par la gauche).

(46)

. . . .

. Th´ eor` eme .

.

. . . .

.

Soit f et f ^′ deux formes quadratiques ind´ efinies r´ eduites. Alors, f ≈ f ^′ ⇐⇒ toutes les deux appartiennent au mˆ eme cycle.

Une implication est d´ ej` a d´ emontr´ ee. Pour l’autre nous avons

besoin des nombres quadratiques.

Formes quadratiques (Le¸con 1)

.

. . . .

.

.