Assistant: joseph.saliba@epfl.ch Corrig´ e 13 27/05/2013

Assistant: joseph.saliba@epfl.ch Corrig´ e 13 27/05/2013

1 Exercice 1 1.1

Z

S

dω

₁

= Z

∂S

ω

₁

, ω

₁

= v

_i

dy

ⁱ

• Z

S

dω

₁

= Z

S

∂v

_j

∂y

ⁱ

dy

ⁱ

∧ dy

^j

= Z

S

∂v

_j

∂y

ⁱ

∂y

ⁱ

∂x

^a

∂y

^j

∂x

^b

dx

^a

∧ dx

^b

=

= Z

S

∂

_i

v

_j

∂y

ⁱ

∂x

^a

∂y

^j

∂x

^b

^ab

dx

¹

∧ dx

²

= Z

S

∂

_i

v

_j

∂y

ⁱ

∂x

¹

∂y

^j

∂x

²

− ∂y

ⁱ

∂x

²

∂y

^j

∂x

¹

dx

¹

∧ dx

²

=

= Z

S

∂

i

v

j

δ

ⁱ_m

δ

_n^j

− δ

ⁱ_n

δ

^j_m

∂y

^m

∂x

¹

∂y

ⁿ

∂x

²

dx

¹

∧ dx

²

= Z

S

∂

i

v

j

^ijk

mnk

∂y

^m

∂x

¹

∂y

ⁿ

∂x

²

dx

¹

∧ dx

²

=

= Z

S

∇ × ~ ~ v

· ∂~ y

∂x

¹

× ∂~ y

∂x

²

dx

¹

∧ dx

²

= Z

S

∇ × ~ ~ v

· ∂~ y

∂x

¹

× ∂~ y

∂x

²

( p

|g|)

⁻¹

Ω

₂

O` u on a multipli´ e et divis´ e par p

|g| o` u g est le d´ eterminant de la m´ etrique induite sur la surface S. En utilisant la d´ efinition d’int´ egration des formes on a:

Z

S

dω

₁

= Z

S

∇ × ~ ~ v

· ∂~ y

∂x

¹

× ∂~ y

∂x

²

dx

¹

dx

²

= I

S

∇ × ~ ~ v

· d~ σ

• Z

∂S

ω

₁

= Z

∂S

v

_i

dy

ⁱ

= Z

∂S

v

_i

∂y

ⁱ

∂x

^a

dx

^a

= Z

∂S

~ v · d~ s

1.2

Z

V

d ∗ ω

1

= Z

∂V

∗ω

1

, ω

1

= v

i

dy

ⁱ

∗ω

1

= 1

2 v

ⁱ

ijk

dy

^j

∧ dy

^k

, d ∗ ω

1

= 1 2

∂v

ⁱ

∂y

^l

ijk

dy

^l

∧ dy

^j

∧ dy

^k

En utilisant le fait que:

dy

^l

∧ dy

^j

∧ dy

^k

=

^ljk

dy

¹

∧ dy

²

∧ dy

³

on trouve:

• Z

V

d ∗ ω

₁

= Z

V

1 2

∂v

ⁱ

∂y

^l

_ijk

^ljk

dy

¹

∧ dy

²

∧ dy

³

= Z

V

∇ · ~ ~ v dy

¹

∧ dy

²

∧ dy

³

≡ Z

V

∇ · ~ ~ v dV

• Z

∂V

∗ω

₁

= Z

∂V

1

2 v

ⁱ

_ijk

dy

^j

∧ dy

^k

= Z

∂V

1

2 v

ⁱ

_ijk

∂y

^j

∂x

¹

∂y

^k

∂x

²

− ∂y

^j

∂x

²

∂y

^k

∂x

¹

dx

¹

∧ dx

²

=

= Z

∂V

1

2 v

ⁱ

_ijk

^jkl

_mnl

∂y

^m

∂x

¹

∂y

ⁿ

∂x

²

dx

¹

∧ dx

²

= Z

∂V

v

^l

∂~ y

∂x

¹

× ∂~ y

∂x

²

l

dx

¹

∧ dx

²

= Z

∂V

~ v · ∂~ y

∂x

¹

× ∂~ y

∂x

²

dx

¹

∧ dx

²

≡ Z

∂V

~ v · ∂~ y

∂x

¹

× ∂~ y

∂x

²

dx

¹

dx

²

= Z

∂V

~ v · d~ σ

1

2 Exercice 2

F = 1

2 F

_µν

dx

^µ

∧ dx

^ν

d ∗ F = 1

4 ∂

_σ

F

^µν

_µναβ

dx

^σ

∧ dx

^α

∧ dx

^β

∗d ∗ F = 1

4 ∂

_σ

F

^µν

_µναβ

^σαβ_ρ

dx

^ρ

µναβ

^σαβ _ρ

dx

^ρ

=

µναβ

^σαβτ

η

τ ρ

dx

^ρ

= −2

δ

^τ_µ

δ

^σ_ν

− δ

^τ_ν

δ

^σ_µ

dx

^ρ

η

τ ρ

= −2

η

µρ

δ

^σ_ν

− η

νρ

δ

^σ_µ

dx

^ρ

∗d ∗ F = − 1

2 ∂

_σ

F

^µν

η

_µρ

δ

^σ_ν

− η

_νρ

δ

_µ^σ

dx

^ρ

= − 1

2 ∂

_σ

F

_ρ^σ

dx

^ρ

− ∂

_σ

F

^σ_ρ

dx

^ρ

J = J

_ρ

dx

^ρ

• ∗ d ∗ F = 4π

c J ⇒ ∂

_σ

F

^σρ

= 4π c J

^ρ

• dF = 0 ⇒ dF ∧ dx

^σ

= 0 ⇒ 1

2 ∂

_α

F

_µν

dx

^α

∧ dx

^µ

∧ dx

^ν

∧ dx

^σ

= 0

⇒ 1

2 ∂

_α

F

_µν

^αµνσ

dx

⁰

∧ dx

¹

∧ dx

²

∧ dx

³

= 0 ⇒

^σαµν

∂

_α

F

_µν

= 0

2