Assistant: joseph.saliba@epfl.ch Corrig´ e 12 13/05/2013

Assistant: joseph.saliba@epfl.ch Corrig´ e 12 13/05/2013

1 Exercice 1

∗(∗ω) = |g|

p!p!(n − p)! ω _i

···i

ⁱ

^···i

_j

_···j

^j

^···j

_l

1

···l

dx ^l

∧ · · · ∧ dx ^l

=

= |g|

p!p!(n − p)! (−1) ^(n−p)p ω _i

···i

ⁱ

^···i

^j

^···j

_l

···l

j

···j

dx ^l

∧ · · · ∧ dx ^l

On peut simplifier l’expression suivante:

X

{j}{l}

^{¯ i}

^{··· ¯ i}

^j

^···j

_l

_···l

_j

_···j

dx ^l

∧ · · · ∧ dx ^l

=

o` u ¯ i 1 · · · ¯ i p indique n’importe quelle permutation des valeurs que les indices i k peuvent avoir: i _k = 1, 2, ..., n avec k = 1, 2, ..., p; par exemple (¯ i ₁ , ..., ¯ i _p ) = (1, 2, ..., p). Puisque ^{¯ i}

^{··· ¯ i}

^j

^···j

est compl` etement antisym´ etrique, les seules valeurs que les indices j _p+1 · · · j _n peuvent avoir sont une n’importe quelle permutation ¯ j p+1 · · · ¯ j n des (n−p) valeurs restantes;

par exemple (j _p+1 , ..., j _n ) = (p + 1, ..., n). En plus, puisque les indices j _k sont contract´ es avec celle du deuxi` eme tenseur de Levi-Civita on a que toutes les permutations donnent la mˆ eme contribution. Donc (les indices ¯ j sont pas somm´ es) :

= X

{l}

(n − p)! ^{¯ i}

^{··· ¯ i}

^{¯ j}

^{··· ¯ j}

_l

_···l

¯ j

··· ¯ j

dx ^l

∧ · · · ∧ dx ^l

=

Pour la mˆ eme raison on a que les seules valeurs que les indices l ₁ · · · l _p peuvent avoir sont n’importe quelle permutation des valeurs ¯ i 1 · · · ¯ i p et puisque chaque permutation donne le mˆ eme contribution on a (les indices ¯ l sont pas sommes) :

p!(n − p)! ^{¯ i}

^{··· ¯ i}

^{¯ j}

^{··· ¯ j}

¯ i

··· ¯ i

¯ j

··· ¯ j

dx ^{¯ i}

∧ · · · ∧ dx ^{¯ i}

= p!(n − p)! 1

g dx ^{¯ i}

∧ · · · ∧ dx ^{¯ i}

On a donc:

∗(∗ω) = |g|

g 1

p! (−1) ^(n−p)p ω _i

_···i

dx ⁱ

∧ · · · ∧ dx ⁱ

= (−1) ^s (−1) ^p(n−p) ω

2 Exercice 2 2.1

(a ∧ b) = 1

p!q! a _i

···i

b _i

···i

dx ⁱ

∧ · · · ∧ dx ⁱ

d(a ∧ b) = 1

p!q!

∂

∂x ^j (a _i

···i

b _i

···i

) dx ^j ∧ dx ⁱ

∧ · · · ∧ dx ⁱ

=

= 1 p!q!

h ∂

∂x ^j a i

···i

b i

···i

+ a i

···i

∂

∂x ^j b i

···i

i

dx ^j ∧ dx ⁱ

∧ · · · ∧ dx ⁱ

= da ∧ b + (−1) ^p 1

p!q! a _i

···i

∂

∂x ^j b _i

···i

dx ⁱ

∧ · · · ∧ dx ⁱ

∧ dx ^j ∧ dx ^p+1 ∧ · · · ∧ dx ⁱ

=

= da ∧ b + (−1) ^p a ∧ db

1

2.2

(a ∧ b) = 1

p!q! a _i

···i

b _i

···i

dx ⁱ

∧ · · · ∧ dx ⁱ

=

= 1

p!q! a _i

···i

b _i

···i

dx ⁱ

∧ · · · ∧ dx ⁱ

∧ dx ⁱ

∧ · · · ∧ dx ⁱ

∧ dx ^p (−1) ^q

= 1

p!q! a _i

···i

b _i

···i

dx ⁱ

∧ · · · ∧ dx ⁱ

∧ dx ⁱ

∧ · · · ∧ dx ^p (−1) ^qp

= (−1) ^qp b ∧ a

2.3

d(f da) = df ∧ da + f d ² a = df ∧ da

2