Mesures quadratiques de la proximité des diviseurs

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Submitted on 1 Mar 2016

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A Raouj, A Stef, G Tenenbaum

To cite this version:

A Raouj, A Stef, G Tenenbaum. Mesures quadratiques de la proximité des diviseurs.

Mathematical Proceedings, Cambridge University Press (CUP), 2011, 150 (1), pp.73-96.

�10.1017/S0305004110000411�. �hal-01280600�

Mesures quadratiques de la proximit´ e des diviseurs

A. Raouj, A. Stef & G. Tenenbaum Sommaire

1 Introduction et ´enonc´e des r´esultats. . . . 1

2 Preuve du Th´eor`eme 1.1. . . . 4

3 Preuve du Th´eor`eme 1.2. . . . 5

3.1 Lemmes. . . . 5

3.2 Compl´etion de l’argument. . . . 9

4 Preuve du Th´eor`eme 1.3. . . . 14

4.1 Notations. . . . 14

4.2 Propri´et´es arithm´etiques des entiers ayantwfacteurs premiers. . . . 14

4.3 Pr´eparation. . . . 19

4.4 Compl´etion de l’argument. . . . 20

5 Preuve du Corollaire 1.6. . . . 23

1. Introduction et ´enonc´e des r´esultats

L’aspect fractal de la suite des diviseurs d’un entier normal peut ˆetre r´ev´el´e de diverses mani`eres, comme l’existence d’une dimension de Hausdor↵ convenablement d´efinie [5].

Cependant, les crit`eres les plus fins sont li´es `a la conjecture d’Erd˝os datant de la fin des ann´ees 1930, mentionn´ee dans [3] et ´etablie dans [6], selon laquelle presque tout entier poss`ede deux diviseurs dont le rapport est dans l’intervalle ]1,2[. Plusieurs mesures quantitatives associ´ees `a cette conjecture ont ´et´e consid´er´ees dans [4], notamment les fonctions arithm´etiques

E(n) := min

dd⁰|n, d<d⁰log(d⁰/d), U(n, ↵) := X

dd⁰|n,(d,d⁰)=1

|log(d⁰/d)|6(logn)^↵

1 (↵2R).

D’int´eressantes variantes de ces fonctions sont ´etudi´ees dans [10] et [15].

Comme dans [4], d´efinissons deux nouvelles fonctions arithm´etiques n 7! e(n) et n7!u(n, ↵) par les relations

E(n) =:(logn)^{1−log 3}exp� e(n)p

log₂n , U(n, ↵) =:(logn)^{log 3−1+↵}exp�

u(n, ↵)p

log₂n , (n>3).

Ici et dans la suite, nous d´esignons par log_k lak-i`eme it´er´ee de la fonction logarithme. Il a ´et´e ´etabli dans [4] que l’on a

e(n)⌧p

log₃n, u(n, ↵)⌧p

log₃n pp,

o`u la mention pp indique que la relation ainsi d´esign´ee est valable sur un ensemble d’entiers de densit´e naturelle unit´e. Une hypoth`ese heuristique d’´equir´epartition des quantit´es log(d⁰/d) lorsquedd⁰|n conduit `a supposer que l’on a, en un sens `a pr´eciser,

E(n)⇡ logn

3^!(n), U(n, ↵)⇡3^!(n)(logn)^↵−1 pp,

o`u!(n) d´esigne le nombre des facteurs premiers distincts d’un entiern. Il est en particulier conjectur´e dans [4], chap. 5, p. 98, que les fonctions e(n) et u(n, ↵) poss`edent des lois de r´epartition limites. L’un des objectifs du pr´esent travail consiste `a ´etablir cette conjecture.

Nous notons Φ la fonction de Gauss Φ(y) := 1

p2⇡

Z y

−1

e^−t2/2dt (y2R).

Th´eor`eme 1.1. Les fonctions arithm´etiques n 7! e(n) et n 7! u(n, ↵) (↵ > 1−log 3) poss`edent des lois de r´epartition limites dont la fonction de r´epartition commune F est d´efinie par F(y) := Φ(y/log 3).Plus pr´ecis´ement, pour tout ↵ >1−log 3 fix´e et unifor- m´ement sous les conditionsx >16, y2R, nous avons

(1·1) X

n6x e(n)6y

1 =xF(y) +O

✓x(log₃x)² plog₂x

◆

, X

n6x u(n,↵)6y

1 =xF(y) +O x(log₃x)² plog₂x

! .

De plus, la loi de r´epartition de la fonction n7!u(n,1−log 3)est donn´ee par F^⇤(y) :=

⇢0 si y <0 Φ(y/log 3) si y>0,

et, lorsque↵= 1−log 3, la seconde relation(1·1)a lieu uniform´ement pourx >16,y>0, quitte `a remplacer F parF^⇤.

Remarque. Lorsque ↵ <1−log 3, on a U(n, ↵) = 1 pp ; la question de la r´epartition de u(n, ↵) est donc sans objet.

Pour tout entier n>1 et tout r´eel t>0,nous posons (1·2) r(n, t) =r⁻(n, t) := X

dd⁰|n,(d,d⁰)=1

|log(d⁰/d)|6t

1, r⁺(n, t) := 1 + X

dd⁰|n 0<|log(d⁰/d)|6t

1,

de sorte que

(1·3) E(n) = min{t>0 :r^±(n, t)>1}, U(n, ↵) =r(n,(logn)^↵) (n>1).

Notre approche consiste `a ´evaluer r<sup>±</sup>(n, t) sur les ensembles E<sub>w</sub>(x) :={n6x:!(n) =w} lorsque le param`etre entier west voisin de l’ordre normal log₂x.

Nous posons

⇡w(x) :=|E_w(x)| (x>1).

Sauf mention contraire, dans toute la suite de ce travail, les constantes impliqu´ees par les symboles ⌧de Vinogradov et O de Landau sont absolues et la lettre c, avec ou sans indice, d´esigne une constante absolue strictement positive.

Th´eor`eme 1.2. Pour une constante convenablec >0 et sous les conditions x >16, t>0, w2N, |w/log₂x−1|6c, ⁶₅log₃x6⇠ 6 ₁₁₀¹ log₂x, l’in´egalit´e

(1·4) r⁺(n, t)61 + t3^wwe^3⇠

logx

a lieu pour tous les entiers ndeE_w(x) sauf au plus⌧⇡w(x)e^−⇠/244 exceptions.

Th´eor`eme 1.3. Soit B >0. Il existe une constante c1>0telle que, sous les conditions (1·5) x >16, 06t6logx, (log₂x)¹⁰6 6(logx)^B,

w2N, |w−log₂x|6(log )^1/4(log₂x)^1/2, l’in´egalit´e

r⁻(n, t)> 3^wt logx

ait lieu pour tous les entiers ndeE_w(x) sauf au plus⌧e^−c1p

log ⇡w(x) exceptions.

D´esignons par ⌦(n) le nombre des facteurs premiers d’un entier n, compt´es avec multiplicit´e, et posons

(1·6) Q(y) :=ylogy−y+ 1 (y >0).

Une version quantitative classique de l’in´egalit´e de Hardy–Ramanujan — voir par exemple [16], formule (3·52) p. 438 — stipule que, pour tous "2]0,¹₂[,x >3, on a

(1·7) (1−") log₂x6!(n)6⌦(n)6(1 +") log₂x

pour tous les entiers n 6 x sauf au plus ⌧ "⁻²x(logx)^−Q(1+") exceptions. Cela nous permet de d´eduire des Th´eor`emes 1.2 (avec ⇠ := ⁴₃log₃x) et 1.3 (avec := (log₂x)¹⁰) le corollaire suivant, ´etabli grˆace aux formules (1·3).

Corollaire 1.4. (i) Pour chaque ↵2]− 1,1] fix´e et toutx >16, les in´egalit´es (1·8) E(n)> logn

3^!(n)(log₂n)⁵, U(n, ↵)61 + 3^!(n)(log₂n)⁵(logn)^↵−1 ont lieu pour tous les entiersn6x sauf au plus⌧x(log₂x)^−1/183 exceptions.

(ii) Il existe une constanteb₁>0telles que, pour chaque↵2]−1,1]fix´e et toutx >16, les in´egalit´es

(1·9) E(n)6 2 logn

3^!(n) (log₂n)¹⁰, U(n, ↵)> 3^!(n)(logn)^↵−1 2(log₂n)¹⁰ , aient lieu pour tous les entiers n6x sauf au plus⌧xe^−b1p

log3x exceptions.

Nous pouvons ´egalement exploiter les renseignements acquis sur la taille des ensembles exceptionnels pour obtenir une ´evaluation uniforme, valable pp, de la fonctiont7! r(n, t).

Corollaire 1.5. Il existe une constante absolue A >0telle que (1·10) 3^!(n)t

logn e^−A(log3n)2 6r^±(n, t)61 + t3^!(n)(log₂n)⁷³⁶

logn (06t6logn) pp.

D´emonstration. Il suffit d’appliquer les Th´eor`emes 1.2 et 1.3 avec

⇠ := 245 log₃x, := e^{2(log3x)2/c21},

aux points teststj := e^j (−log₂x−16j61 + log₂x). Le r´esultat annonc´e d´ecoule alors

de la croissance ent der(n, t). ut

Ce r´esultat permet `a son tour l’estimation de fonctions arithm´etiques g´en´erales du type

#(n;f) := X

dd⁰|n d<d⁰

f�

log(d⁰/d)� .

Nous dirons qu’une fonction f :]0,1[!]0,1[ est `a croissance polynomiale s’il existe une constante K(f)>0 telle que

f(a)/b^K(f) 6f(ab)6f(a)b^K(f) (a >0, b>1).

Corollaire 1.6. Soitf :]0,1[!]0,1[une fonction `a croissance polynomiale. Nous avons (1·11) #(n;f) = 3^!(n)

logne^O((log3n)2)Z logn (logn)/3^!(n)

f(t) dt pp.

Le cas f(t) := 1/t^↵ (↵ >0) de (1·11) est particuli`erement int´eressant. Nous obtenons

(1·12) X

dd⁰|n d<d⁰

1

{log(d⁰/d)}^↵ = 3^!(n)+ 3^↵!(n)

(logn)^↵ e^O((log3n)2) pp,

ce qui indique notamment que la sommation est essentiellement domin´ee par son plus grand terme si, et seulement si,↵>1.

2. Preuve du Th´eor`eme 1.1

Le Th´eor`eme 1.1 d´ecoule du Corollaire 1.4 — mais on pourrait ´egalement utiliser une variante e↵ective, ´etablie de la mˆeme mani`ere, du Corollaire 1.5 — par le biais du th´eor`eme classique d’Erd˝os-Kac, dont nous rappelons ci-dessous un ´enonc´e avec terme d’erreur optimal.⁽¹⁾

Lemme 2.1 (Erd˝os-Kac). Nous avons, uniform´ement pourx>3et y2R, (2·1)

��

��

nn6x: !(n)−log₂x

plog₂x 6yo���� =xΦ(y) +O⇣ x plog₂x

⌘.

Cela permet de prouver tr`es simplement le Th´eor`eme 1.1. Nous nous contentons de fournir les d´etails dans le cas de la fonctione(n), les calculs ´etant essentiellement identiques pour u(n, ↵).

Il r´esulte des Th´eor`emes 1.2 et 1.3 que l’on a, pour une constante Aconvenable,

(2·2) logn

3^!(n)(log₂n)^A 6E(n)6 logn

3^!(n)e^A(log3n)2

pour tous les entiers n 6 x sauf au plus ⌧ x/log₂x exceptions. En reportant dans la d´efinition, nous obtenons, pour ces mˆemes entiers,

e(n) = (log 3){log₂n−!(n)} plog₂n +O

✓(log₃n)² plog₂n

◆ .

Au vu de (2·1), cela implique imm´ediatement le r´esultat annonc´e.

1. Voir, par exemple, [16] p. 474

3. Preuve du Th´eor`eme 1.2 3·^{1. Lemmes}

Le r´esultat suivant, ´etabli dans [14], fournit une borne sup´erieure, g´en´eriquement exacte

`a une constante multiplicative pr`es, pour la valeur moyenne sur E_w(x) d’une fonction multiplicative positive ou nulle v´erifiant une condition de croissance peu restrictive.

Ici et dans toute la suite, la lettrep d´esigne exclusivement un nombre premier.

Lemme 3.1. Soient A et B deux nombres r´eels > 0 et f une fonction arithm´etique multiplicative `a valeurs dans[0,+1[telle que

X

p^⌫6x

f(p^⌫) logp^⌫6Ax (x>2), X

p

X

⌫>2

f(p^⌫) p^⌫ 6B.

Pourw>1,x>2,nous avons X

n2Ew(x)

f(n)⌧ Ax (w−1)! logx

✓ X

p6x

f(p) p +B

◆w−1

,

o`u la constante implicite est absolue. En particulier, pour toute constante R > 0, et uniform´ement sous la condition 16w6Rlog₂x, nous avons

(3·1) X

n2Ew(x)

f(n)⌧⇡w(x) expn

%X

p6x

f(p)−1 p

o

o`u l’on a pos´e%:= (w−1)/log<sub>2</sub>xet o`u la constante implicite d´epend au plus deA, B, R.

Nous ferons un usage essentiel du r´esultat suivant, relatif au nombre des entiers nsans petit facteur premier et pour lesquels !(n) est fix´e. Nous notons P⁻(n) le plus petit facteur premier d’un entier naturel n avec la conventionP⁻(1) =1. Pourx >y >1 et k2N^⇤, nous posons

⇡k(x, y) =|{n6x:!(n) =k, P⁻(n)> y}|.

Lemme 3.2. Soit R > 0. Il existe u0 = u0(R) > 0 tel que l’on ait uniform´ement pour u:= (logx)/logy>u0(R),16k6Rlogu,

(3·2) ⇡k(x, y)⇣ x

logx

(logu)^k−1 (k−1)! .

D´emonstration. L’estimation indiqu´ee est une cons´equence tr`es a↵aiblie de formules asymptotiques dues `a Balazard [2] (lemme 5) et Alladi [1] (th´eor`eme 7). Alladi montre que l’on a uniform´ement pour exp{(log₂x)³}6y6p

x et 16k6Rlogu, (3·3) ⇡k(x, y) = e^−γ⇠

Γ(1 +⇠) x logx

(logu)^k−1 (k−1)!

n1 +OR

⇣ 1 plogu

⌘o

avec⇠ :=k/(logu−γ).⁽²⁾Balazard, en employant d’ailleurs de mani`ere essentielle d’autres formules ´etablies par Alladi dans [1], montre que

(3·4) ⇡k(x, y) =g(%, y) x logx

(logu)^k−1 (k−1)!

n1 +OR

⇣ 1 log₂x

⌘o

2. Ici, nous d´esignons par la fonction Gamma d’Euler et parγla constante d’Euler.

uniform´ement pour ³₂ 6y6exp{(logx)^2/5}, 16k6Rlogu, avec %:= (k−1)/logu et g(%, y) := (logy)^%

Γ(%+ 1) Y

p6y

⇣1−1 p

⌘%Y

p>y

⇣1−1 p

⌘%⇣

1 + % p−1

⌘ .

La relation (3·2) r´esulte imm´ediatement de (3·3) et (3·4). Nous omettons les d´etails de

la v´erification. ut

Lemme 3.3. Sous les conditionsk2N^⇤,x>y >exp{(logk)²},u:= (logx)/logy, nous avons uniform´ement

(3·5) ⇡_k(x, y)⌧ x

logx

(logu)^k−1p k (k−1)! ·

D´emonstration. Consid´erons d’abord le cask62 logu. Nous avons alors

(3·6) ⇡k(x, y)⌧ x

logx

(logu)^k−1 (k−1)! ·

Cela r´esulte du Lemme 3.2 siu > u0(2). Siu6u0(2), alorskest ´egalement born´e et (3·6) r´esulte par exemple du crible de Brun.

Pla¸cons-nous donc dans le cask >2 logu. Pour toutz>1, nous pouvons ´ecrire, notantµ la fonction de M¨obius,

⇡k(x, y)6z^−k X

mn6x P⁻(mn)>y

µ(m)²(z−1)^!(m)

⌧ x

z^klogy Y

y<p6x

⇣1 +z−1 p

⌘+ 1 z^k

X

x/y<m6x P⁻(m)>y

µ(m)²(z−1)^!(m)

⌧ x(1 +z/u) z^klogy

Y

y<p6x

⇣1 + z−1 p

⌘

⌧ x(1 +z/u) z^klogy expn

(z−1) logu+O⇣ ze⁻p

logy⌘o ,

o`u l’avant-derni`ere majoration a ´et´e obtenue par application du th. 01 de [4]. Cela implique imm´ediatement le r´esultat si k = 1, en choisissant par exemple z = 1. Si k > 2, nous choisissonsz:=k/logu >2 en tenant compte du fait queu>k. Nous obtenons

⇡_k(x, y)⌧ x{(logu)/k}^ke^k−logu

logy ⇣ x

logx

(logu)^kp k

k! ⌧ x

logx

(logu)^k−1p k (k−1)! ·

u Les deux lemmes suivants concernent la r´epartition des facteurs premiers des entierst de E_w(x). Nous d´esignons par {pk(n) : 1 6 k 6 !(n)} la suite croissante des facteurs premiers distincts d’un entier g´en´eriquen et posons

!(n, t) := X

p^⌫kn p6t

1, ⌦(n, t) := X

p^⌫kn p6t

⌫ (n2N^⇤, t >0).

Lemme 3.4. SoitR >1. Sous les conditions x >16, 36⇠ 6x, w2N, 1

Rlog₂x6w6Rlog₂x,

%:= (w−1)/log₂x, 1< ↵62, β :=%Q(1/↵), les in´egalit´es

⇠<t6xmax{!(n, t)−↵%log₂t}60, (3·7)

⇠<tmin6x

n!(n, t)− %

↵log₂to

>0, (3·8)

ont lieu pour tous les entiers ndeE_w(x) sauf au plus ⌧R β⁻¹(log⇠)^−β⇡_w(x) exceptions.

Si nous supposons de plus↵6↵0<2, les mˆemes estimations sont valables pour⌦(n, t)

`

a la place de !(n, t).

D´emonstration. Contentons-nous de consid´erer (3·7), le cas de (3·8) et de la fonction

⌦(n, t) relevant de manipulations identiques. Pour j 2 J := [log₂⇠ −1,log₂x+ 1]\N, posons tj := exp expj. NotantE l’ensemble des entiersndeE_w(x) tels que

maxj2J

�!(n, t_j)−↵%(j−1) >0,

nous avons, pour tout y, 16y62,

|E|6X

j2J

X

n2Ew(x)

y^{!(n,tj)−↵%(j−1)}⌧Ry^↵%⇡w(x)X

j2J

y^−↵%je^%(y−1)j,

o`u la derni`ere majoration r´esulte du Lemme 3.1. En choisissant y := ↵ 2]1,2], nous obtenons

|E| ⌧β₁⁻¹(log⇠)^−β1⇡w(x), avecβ1:=%Q(↵)> β.

Consid´erons `a pr´esent un entiern2E_w(x)rE. Pour touttde ]⇠, x],il existe un unique indice j2Jtel que t_j < t6t_j+1.Nous avons alors

!(n, t)6!(n, t_j+1)6↵%log₂tj 6↵%log₂t,

donc nsatisfait (3·7). ut

Lemme 3.5. SoitR >1. Sous les conditions

(3·9) x >16, 36⇠ 6log₂x, w2N, 1

Rlog₂x6w6Rlog₂x,

%:= (w−1)/log₂x, 1< ↵6 ³₂, β :=Q(↵), les in´egalit´es

1max6k6w

n

%log⇣ logx logpk(n)

⌘−↵(w−k)o 6⇠, (3·10)

16k6wmin

n%log⇣ logx logp_k(n)

⌘−w−k

↵

o>−⇠ (3·11)

ont lieu pour tous les entiersndeE_w(x) sauf au plus⌧Rβ⁻¹e^−β⇠⇡w(x) exceptions.

D´emonstration. Commen¸cons par ´evaluer le nombre des exceptions `a (3·10). Le r´esultat annonc´e ´etant trivialement v´erifi´e si⇠ 62R, nous pouvons supposer dans la suite⇠ >2R.

L’expression entre accolades dans (3·10) vaut

(1−↵)w−1 +↵k−%log₂p_k(n).

Elle est donc au plus ´egale `a⇠lorsque↵k6(↵−1)w+³₄⇠6(↵−1)w+⇠+%log₂2. Dans le cas contraire, elle est ´evidemment major´ee par yk−%log₂pk(n), avec

yk:=k−³₄(↵−1)(w−k)> (↵−1)w

4↵ + 3(3↵+ 1)⇠

16↵ > ²₃⇠.

De plus, pour toutn deE_w(x), l’in´egalit´e

(3·12) yk−%log₂pk(n)> ²₃⇠

´equivaut `a !(n)−!(n, z<sub>k</sub>)6w−ko`u l’on a pos´ezk:= exp exp{(y_k−²₃⇠)/%}.

D´esignons par Wk le nombre des entiers n de E_w(x) v´erifiant (3·12), de sorte que P

16k6wW_k repr´esente une majoration du nombre des exceptions `a (3·10). Pour tout v2]0,1], nous avons

Wk 6 X

n2Ew(x)

v^{!(n)−!(n,zk)+k−w}⌧⇡w(x) exp{(k−w) logv+%(v−1)(log₂x−log₂zk)}

⌧⇡w(x) expn

−(w−k) logv+ (v−1)�₁

4(3↵+ 1)(w−k) +²₃⇠�o , en vertu du Lemme 3.1. Choisissantv:= 4/{3↵+ 1},nous obtenons

Wk ⌧⇡w(x)e−Q(v)(w−k)/v−²3(1−v)⇠.

On d´eduit le r´esultat annonc´e de cette estimation par sommation sur k6wen observant que ²₃(1−v) = 2(↵−1)/(3↵+ 1)> Q(↵) pour 1< ↵6 ³₂.

Des manipulations similaires permettent d’estimer le nombre des entiers n de E_w(x) contrevenant `a (3·11). L’´etape liminaire consiste `a se ramener, trivialement, au cas k6w−↵⇠. Il suffit ensuite d’observer que tout entiern contrevenant `a (3·11) v´erifie

!(n)−!(n, x_k)>w−k

avec xk := exp exp{(w−(w−k)/↵+⇠ −1)/%}. On peut donc majorer le nombre des entiers exceptionnels par

(3·13) X

k6w−↵⇠

X

n2Ew(x)

↵^{!(n)−!(n,xk)−w+k} ⌧⇡w(x)Q(↵)⁻¹e^−Q(↵)⇠.

u Introduisons, pour chaque entiern deE_w(x), les produits t

(3·14) n_[k]:= Y

16j6k

pj(n)^⌫j(n) (06k6w)

o`u⌫j(n) d´esigne l’exposant depj(n) dans la d´ecomposition canonique den. Notre dernier lemme concerne le comportement normal des facteurs premiers multiples des entiers de E_w(x). Nous consid´erons en particulier la fonction de Piltz

⌧3(n) := X

dd⁰|n

1 = Y

p^⌫kn

✓⌫+ 2 2

◆

(n>1).