L’exercice
Soit ABCD un carré de côté 1 et M un point quelconque du segment [AB].
La perpendiculaire à la droite (DM) passant par A coupe [BC] en N.
On note J le point de concours des droites (AN) et (BM), et I le milieu du segment [MN].
1. Déterminer l’ensemble des points J lorsque le point M parcourt le segment [AB].
2. On se propose de déterminer la nature de l’ensemble décrit par le point I.
Pour cela, on se place dans le repère (A, B, D) du plan, et on note x l’abscisse de M dans ce repère.
a) Calculer les coordonnées du point I en fonction de x.
b) En déduire la nature de l’ensemble décrit par le point I lorsque M parcourt [AB].
Les réponses proposées par trois élèves à la question 1
Elève 1
Si M = A, alors J = A. Et si M = B, N est en C et J est le centre du carré.
L’ensemble est formé des points de la droite qui sont compris entre A et le centre du carré.
Elève 2
J est sur un cercle qui passe par A, mais il ne contient pas tous les points, en particulier certains qui sont près de D.
Elève 3
Comme (DM) est perpendiculaire à (AN), il y a un angle droit en J, et le triangle MNJ est rectangle. Un théorème dit que ce triangle est inscrit dans un cercle et son diamètre est MN.
Donc, l’ensemble est le cercle qui a pour centre le point I.
Le travail à exposer devant le jury
1. Réaliser la figure avec un logiciel de géométrie dynamique et conjecturer les lieux géométriques de points I et J.
2. Analyser les productions des trois élèves. Quelles compétences peut-on déceler et quelles sont celles qu’il convient de développer ?
3. Exposer, comme vous le feriez devant une classe (dont vous préciserez le niveau), une correction de la question 2.
4. Présenter trois exercices se rapportant au thème « Lieux géométriques dans le plan et l’espace ».
Master 1 MEEF 2nd degré 2013 - 2014
UE 7 Capes Externe
Epreuve sur dossier
DOSSIER Geo 16 Thème : Problèmes de lieux géométriques
