G270. Une ribambelle de points
On trace cinq points du plan tels que les droites qui les relient ne sont ni parallèles ni
perpendiculares entre elles.A partir de chacun de ces points, on construit les perpendiculaires aux droites reliant les quatre autres points.Quel est le nombre maximum de points d’intersection de toutes ces perpendiculaires ?
Solution proposée par Bernard Grosjean
Soient A, B, C, D et E les 5 points. Dans le plan, ils déterminent :
– C(5,2) = 10 segments, à savoir [AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE]
Aucun d'entre eux ne sont parallèles, ni perpendiculaires
– C(5,3) = 10 triangles, à savoir [ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE]
A partir de chaque point, on peut tracer 6 perpendiculaires (à partir de A par ex, perpendiculaires aux segments ne comportant pas A).
Pour l'ensemble des 5 points, nous avons donc 5x6 = 30 perpendiculaires.
Le maximum de points d'intersections de 30 droites dans le plan est ∑(i), i variant de 1 à 29.
En effet, 2 droites se coupent en 1 point, 3 droites en 1+2 = 3 points, 4 droites en 1+2+3 = 6 points et si n droites se coupent en 1+2+3+...+(n-1) = n(n-1)/2 points, une droite supplémentaire coupera les n droites, ajoutant n points d'intersection, donnant un total de n(n+1)/2 points.
Le maximum de points d'intersection de 30 droites est donc : 29x15 = 435.
Dans le cas particulier qui nous intéresse, il faut retrancher un certain nombre de points
– Pour chaque point (A, B, C, D, E), nous avons 1 point d'intersection (les points A,B,C,D eux- mêmes) au lieu de 15 (6x5/2 = 15)
Il faut donc retrancher 5x14 = 70 points d'intersection
– Pour chacun des 10 triangles, il y a 3 perpendiculaires concourantes (orthocentre), soit 1 point d'intersection au lieu de 3. Il faut donc retrancher 10x2 = 20 points d'intersection.
– A chacun des 10 segments (AB, AC....), correspond 3 points extérieurs, par lesquels on a 3 perpendiculaires à ce segment, donc 3 parallèles, qui ne donnent aucun point d'intersection (à distance réelle). Il faut donc retrancher 3x10 points = 30 points d'intersection
En définitive, le nombre maximum de points d'intersection est :
435 – (70 + 20 + 30) = 435 – 120 =
