Dix paires de chaussures sont toutes rang´ ees dans un placard. On prend au hasard 4 chaussures. Quelle est la probabilit´ e :

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22 - PROBABILIT´ ES

PROBABILIT´ ES Exercice 1. ( )

Dix paires de chaussures sont toutes rang´ ees dans un placard. On prend au hasard 4 chaussures. Quelle est la probabilit´ e :

1. d’obtenir deux paires de chaussures ?

2. d’obtenir au moins une paire de chaussures ? 3. d’obtenir une et une seule paire de chaussures ? Exercice 2. ( )

Une urne contient 9 boules num´ erot´ ees de 1 ` a 9. On tire deux boules de cette urne. Calculer la probabilit´ e d’obtenir des num´ eros de la mˆ eme parit´ e si :

1. on tire deux boules simultan´ ement,

2. on tire une boule, on ne la remet pas, puis on tire la seconde, 3. on tire une boule, on la remet, puis on tire la seconde.

Exercice 3. ( )

1. Une urne contient M jetons num´ erot´ es de 1 ` a M . On tire successivement n jetons en remettant chaque fois le jeton tir´ e et en brassant bien. On cherche la probabilit´ e qu’aucun jeton ne soit tir´ e plus d’une fois.

2. On consid` ere une classe de n ´ el` eves, avec n ¤ 365. Quelle est la probabilit´ e qu’au moins deux ´ el` eves aient leur anniversaire le mˆ eme jour ? (On suppose qu’aucun ´ el` eve n’est n´ e le 29 f´ evrier.)

Exercice 4. ( )

Une urne contient 15 boules : une noire, 5 blanches et 9 rouges.

1. On tire simultan´ ement et au hasard trois boules de cette urne. Calculer la probabilit´ e des ´ ev´ enements suivants :

(a) A : « le tirage est tricolore »

(b) B : « parmi les boules tir´ ees figurent exactement une noire et au moins une rouge »

(c) C : « les trois boules tir´ ees sont de la mˆ eme couleur. »

2. On suppose d´ esormais que le tirage s’effectue successivement avec remise.

D´ eterminer les probabilit´ es des ´ ev´ enements A, B et C d´ efinis ci-dessus.

Exercice 5. ( )

Soient r

, . . . , r

des entiers tels que r

r

r. Calculer la probabilit´ e d’obtenir r

boules dans la case 1, . . . , r

boules dans la case n.

Exercice 6. ( )

Les messages ´ electroniques envoy´ es ` a une entreprise sont dirig´ es al´ eatoirement vers la boˆıte aux lettres d’une des cinq secr´ etaires de l’entreprise. Quelle est la probabilit´ e que chaque secr´ etaire re¸coive au moins un des n messages envoy´ es ? Exercice 7. ( )

On r´ epartit au hasard r

boules dans n cases. On s’int´ eresse au nombre de boules pr´ esentes dans chaque case.

1. Calculer la probabilit´ e p

p k q , que k boules tombent dans la case 1.

2. Montrer que, si r

et n tendent vers 8, de sorte que

tend vers λ ¡ 0 :

@ k P N , p

p k q Ñ µ p k q λ

k! e

Exercice 8. ( )

On pose au hasard n ¥ 2 livres cˆ ote ` a cˆ ote sur une ´ etag` ere. Parmi ces livres, il y en a k P t 2, . . . , n u qui sont de l’auteur M .

1. Proposer un codage de la disposition des livres de l’auteur M sur cette

´ etag` ere n’utilisant que les symboles 0 et 1.

2. Quelle est la probabilit´ e pour que tous les livres de l’auteur M soient cˆ ote

` a cˆ ote ?

3. Soit r ¥ k. Quelle est la probabilit´ e pour que tous les livres de l’auteur M soient dans les r premiers livres de l’´ etag` ere ?

4. Soit ` P rrk 2, n 2ss. Quelle est la probabilit´ e qu’il y ait ` livres entre le livre de l’auteur M qui se trouve le plus ` a gauche sur l’´ etag` ere et celui qui se trouve le plus ` a droite sur l’´ etag` ere ? Si k 2, combien de livres est-il le plus probable de trouver entre les deux livres de l’auteur M sur l’´ etag` ere ? Exercice 9. ( )

On choisit au hasard deux sous ensembles A et B d’un ensemble E ` a n

´ el´ ements. Pour k P rr 0, n ss , rappeler le nombre de parties ` a k ´ el´ ement d’un ensemble ` a n ´ el´ ements, puis calculer la probabilit´ e que :

1. A Y B soit un singleton.

2. A Y B E.

3. A X B soit un singleton.

4. A € B.

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22 - PROBABILIT´ ES

PROBABILIT´ ES CONDITIONNELLES Exercice 10. ( )

Une puce se d´ eplace sur les sommets d’un carr´ e ABCD. Elle commence au sommet A, et saute ` a chaque instant sur un sommet diff´ erent de celui o` u elle est, de fa¸con ´ equiprobable. Pour n P N

, d´ eterminer la probabilit´ e de l’´ ev´ enement E

: « la puce revient au sommet A pour la premi` ere fois ` a l’instant n » . Exercice 11. ()

Un gardien d’un phare doit ouvrir une porte avec un trousseau de n cl´ es, dont une et une seule convient. Il essaie au hasard les cl´ es les unes apr` es les autres.

Soit k P rr1, nss, calculer la probabilit´ e que la porte s’ouvre ` a la k-i` eme tentative (et pas avant).

Exercice 12. ( )

Deux joueurs J

et J

jouent aux d´ es avec deux d´ es non truqu´ es. J

gagne si la somme des d´ es donne 6 et J

gagne si la somme des d´ es vaut 7.

1. Quelle est la probabilit´ e pour que J

gagne au n-i` eme coup ? 2. Calculer la probabilit´ e p

pour que J

gagne en moins de n coups.

3. Calculer la probabilit´ e q

pour que J

gagne en moins de n coups.

4. D´ eterminer lim

nÑ 8

p

et lim

nÑ 8

q

. Interpr´ eter.

Exercice 13. ( )

Une exp´ erience est conduite pour ´ etudier la m´ emoire des rats. Un rat est mis devant trois couloirs. Au bout de l’un d’eux se trouve la nourriture qu’il aime, au bout des deux autres, il re¸ coit une d´ echarge ´ electrique. Cette exp´ erience est r´ ep´ et´ ee jusqu’` a ce que le rat trouve le couloir avec la nourriture, auquel cas l’exp´ erience s’arrˆ ete. Sous chacune des hypoth` eses suivantes, d´ eterminer la probabilit´ e que la k-i` eme tentative soit la premi` ere r´ eussie.

1. Le rat n’a aucun souvenir des exp´ eriences ant´ erieures.

2. Le rat se souvient de l’exp´ erience imm´ ediatement pr´ ec´ edente, mais pas des autres.

3. Le rat se souvient des deux exp´ eriences pr´ ec´ edentes.

Exercice 14. ()

Un athl` ete fait du saut en hauteur. On num´ erote les diff´ erentes hauteurs dans l’ordre 1, 2, . . . , n. On suppose que les sauts sont ind´ ependants entre eux et que la probabilit´ e de r´ eussir le n-i` eme saut est

.

L’athl` ete effectue les sauts dans l’ordre et s’arrˆ ete au premier ´ echec.

1. Quelle est la probabilit´ e p

qu’il s’arrˆ ete exactement au n-i` eme saut ? 2. Calculer lim

nÑ 8

°

k1

p

et interpr´ eter ce r´ esultat.

3. Quelle est la probabilit´ e qu’il n’ait pas le droit de tenter le n-i` eme saut ? Exercice 15. ( )

Dans une usine, on fabrique des composants ´ electroniques sur trois machines.

Les machines M

, M

et M

produisent respectivement 50%, 30% et 20% des composants. Un qualiticien de l’usine estime que :

— 2% des composants fabriqu´ es par la machine M

sont d´ efectueux,

— 3% des composants fabriqu´ es par la machine M

sont d´ efectueux,

— 5% des composants fabriqu´ es par la machine M

sont d´ efectueux.

1. Quelle est la probabilit´ e qu’un composant pris au hasard ` a la sortie de l’usine soit d´ efectueux ?

2. Quelle est la probabilit´ e d’obtenir une pi` ece d´ efectueuse provenant de M

? 3. Un composant est d´ efectueux, quelle probabilit´ e qu’il provienne de M

? Exercice 16. ( )

Le fonctionnement au cours du temps d’un appareil poss´ edant une maintenance ob´ eit aux r` egles suivantes :

— s’il fonctionne ` a la date n 1 (n P N

), il a la probabilit´ e a de toujours fonctionner ` a la date n.

— s’il est en panne ` a la date n 1 (n P N

), il a la probabilit´ e b d’ˆ etre encore en panne ` a la date n

o` u pa, bq est un couple de r´ eels de s0, 1r. On suppose que l’appareil est en ´ etat de marche ` a la date 0. Pour n P N , on note M

l’´ ev´ enement « l’appareil est en

´ etat de marche ` a la date n » et p

la probabilit´ e de M

. D´ eterminer p

pour n P N , puis la limite de p p

q .

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22 - PROBABILIT´ ES

Exercice 17. ()

Le Covid-19 affecte une personne sur mille. On dispose d’un test qui d´ etecte 99%

des malades, et qui donne 0, 2% de faux positifs chez une personne saine. Une personne est contrˆ ol´ ee positive. Quelle est la probabilit´ e qu’elle soit r´ eellement malade ?

Exercice 18. ( )

Deux urnes A et B contiennent respectivement 6 boules blanches et 5 noires d’une part, 4 blanches et 8 noires d’autre part. On transf` ere au hasard 2 boules de l’urne B dans l’urne A puis on tire au hasard une boule dans l’urne A.

1. D´ eterminer la probabilit´ e que la boule tir´ ee soit blanche.

2. D´ eterminer la probabilit´ e que l’une au moins des deux boules transf´ er´ ees soit blanche sachant que la boule tir´ ee ´ etait blanche.

Exercice 19. ( )

On dispose de N urnes, num´ erot´ ees de 1 ` a N . L’urne k contient k boules blanches et N k boules noires. On choisit une urne au hasard, et, sans connaˆıtre son num´ ero, on en tire n fois de suite une boule, avec remise apr` es chaque tirage.

1. Quelle est la probabilit´ e que le tirage suivant donne encore une boule blanche, sachant que, au cours des n premiers tirages, seules des boules blanches ont ´ et´ e tir´ ees ?

2. Calculer la limite de cette probabilit´ e lorsque N tend vers l’infini.

Exercice 20. ( )

Une urne contient n boules num´ erot´ ees de 1 ` a n. Soit r P rr2, nss. On tire avec remise r boules dans cette urne.

1. On consid` ere l’´ ev´ enement :

E

: « Le num´ ero de la boule tir´ ee au r

tirage est inf´ erieur ou ´ egal ` a tous les pr´ ec´ edents. »

D´ eterminer la probabilit´ e de E

.

2. Donner la valeur de cette probabilit´ e en fonction de n pour r 2.

3. D´ eterminer : lim

nÑ 8

P pE

q

Exercice 21. ()

Un mobile se d´ eplace al´ eatoirement dans l’ensemble des sommets d’un triangle ABC de la fa¸ con suivante : si ` a l’instant n il est sur l’un quelconque des trois sommets, alors ` a l’instant n 1, soit il y reste avec une probabilit´ e de 2{3, soit il se place sur l’un des deux autres sommets, et ceci avec la mˆ eme probabilit´ e pour chacun de ces deux sommets.

Initialement (c’est-` a-dire ` a l’instant 0), le mobile se trouve en A.

On d´ efinit, pour tout n de N les ´ ev´ enements A

(resp. B

, C

) :

« le mobile se trouve en A (resp. en B, en C) ` a l’instant n » et les probabilit´ es a

P p A

q , b

P p B

q et c

P p C

q .

1. Pour tout n P N , calculer a

b

c

.

2. Exprimer, pour tout n P N , a

, b

et c

en fonction de a

, b

et c

. 3. En d´ eduire que :

@ n P N , a

b

1

2 p a

b

q et a

c

1

2 p a

c

q . 4. En d´ eduire une expression de a

, b

et c

en fonction de n.

Exercice 22. ( )

On s’int´ eresse ` a la survie d’une esp` ece pour laquelle un individu admet 3 des- cendants avec la probabilit´ e

, 2 descendant avec la probabilit´ e

, 1 descendant avec la probabilit´ e

et aucun descendant avec la probabilit´ e

, ind´ ependam- ment de ses cong´ en` eres.

A l’instant initial, on suppose que la population est compos´ ee d’un seul indi- vidu. Par cons´ equent, l’esp` ece s’´ eteindra au bout de la premi` ere g´ en´ eration avec une probabilit´ e de x

.

1. D´ eterminer la probabilit´ e x

pour que l’esp` ece ait disparu ` a l’issue de la deuxi` eme g´ en´ eration.

2. On note, pour tout n P N

, x

la probabilit´ e pour qu’il n’y ait aucun individu ` a la n-i` eme g´ en´ eration. Montrer que :

@ n P N

, x

1 8 x

3

8 x

3 8 x

1

8 . 3. ´ Etudier la suite p x

q et montrer qu’elle converge vers 2 ?

5. Interpr´ eter.

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22 - PROBABILIT´ ES

Exercice 23. ( )

Deux joueurs s’affrontent lors d’une succession de parties de pile ou face. Ils poss` edent initialement un montant a et b respectivement, et ` a chaque victoire le gagnant donne un euro au perdant. Le joueur A a une probabilit´ e p de gagner

`

a chaque lancer. Le jeu s’arrˆ ete lorsqu’un jouer n’a plus d’argent.

On pose N a b, et pour n P rr 0, N ss on note p

(respectivement q

) la probabilit´ e que le joueur 1 (respectivement 2) finisse ruin´ e s’il commence avec n euros.

1. Montrer que si 0   n   N , p

pp

qp

. 2. En d´ eduire l’expression de p

.

3. Calculer de mˆ eme q

puis p

q

. Que peut-on en d´ eduire ? Exercice 24. ( )

On dispose d’une urne contenant b boules blanches, n boules noires et r boules rouges. On effectue des tirages dans cette urne.

Si l’on obtient une boule blanche, on gagne ; si l’on obtient une boule noire, on perd ; et si l’on obtient une boule rouge, on ne remet pas cette boule rouge dans l’urne et on effectue un nouveau tirage.

On note p

la probabilit´ e de gagner la partie.

1. Calculer p

et p

.

2. Pour r P N , exprimer p

en fonction de p

. 3. En d´ eduire que la suite p p

q

est constante.

Exercice 25. ( )

Un joueur joue ` a pile ou face avec deux pi` eces ´ equilibr´ ees de la mani` ere suivante : il lance simultan´ ement ces deux pi` eces ; s’il n’obtient aucun pile, son gain est nul et la partie s’arrˆ ete. S’il obtient au moins un pile, il relance simultan´ ement les deux pi` eces autant de fois qu’il a obtenu pile ` a la premi` ere phase du jeu et gagne autant d’unit´ es que le nombre de piles obtenu lors de cette deuxi` eme s´ erie de jets.

1. D´ eterminer la probabilit´ e que son gain soit nul.

2. D´ eterminer la probabilit´ e d’avoir obtenu deux piles au premier jet sachant qu’il a obtenu un seul pile ` a la seconde ´ etape.

Exercice 26. ()

Une personne va remplir une urne vide avec trois boules dont la couleur (noire ou blanche) est choisie au hasard. Pour cela, elle lance trois fois une pi` ece

´ equilibr´ ee, et, pour chaque pile obtenue, la personne met une boule blanche dans l’urne, et pour chaque face obtenue, une boule noire.

Une autre personne, qui ne connaˆıt pas la couleur des boules dans l’urne tire, avec remise, n boules (n P N

). On note B

l’´ ev´ enement « La couleur de la i-` eme boule tir´ ee est blanche. »

1. Calculer P p B

q , P p B

q et P p B

X B

q . Les ´ ev´ enements B

, . . . , B

sont-ils deux ` a deux ind´ ependants ?

On note B

l’´ ev´ enement : « Les n boules tir´ ees sont blanches. » 2. Exprimer B

en fonction de B

, . . . , B

et calculer P p B

q .

3. Lors des trois premiers tirages, on a obtenu 3 boules blanches. Quelle est la probabilit´ e que l’une contienne 3 boules blanches ?

4. Lors des trois premiers tirages, on a obtenu 3 boules blanches. Quelle est la probabilit´ e que la quatri` eme boule soit encore blanche ?

IND´ EPENDANCE Exercice 27. ₍₎

On lance n fois une pi` ece truqu´ ee, o` u la probabilit´ e d’obtenir pile est

. Quelle est la probabilit´ e d’obtenir le premier face au n-i` eme lancer ?

Exercice 28. ( )

Soit n P N

un entier naturel non nul. On effectue n lancers ind´ ependants d’une pi` ece pour laquelle la probabilit´ e d’obtenir pile est p, avec p Ps0, 1r.

On pose q 1 p.

1. Quelle est la probabilit´ e d’obtenir au moins une fois pile ?

2. Quelle est la probabilit´ e qu’au cours de ces n lancers, face ne soit jamais suivi de pile ?

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