Feuille d’exercices n˚7 Probabilit´ es

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚7 Probabilit´ es

Exercice 109 : Soitn∈N,n≥3. Un joueur lance une bille sur une planche perc´ee de ntrous num´erot´es de 1 `a n.

La bille tombe dans un trou et un seul. On sait que pour toutk∈J1, n−1K, la probabilit´e que la boule tombe dans le trou n˚k est de 1/3^k.

Quelle est la probabilit´e que la boule tombe dans le trou n˚n?

Exercice 110 : On jette trois d´es non truqu´es `a 6 faces num´erot´ees de 1 `a 6. Calculer : 1. la probabilit´e d’avoir exactement un 6.

2. la probabilit´e d’avoir au moins un 6.

3. la probabilit´e d’obtenir au moins deux faces identiques.

Exercice 111 : Un tiroir contient 12 paires de chaussettes toutes diff´erentes, non rang´ees par paires. On prend 4 chaussettes au hasard.

Quelle est la probabilit´e d’obtenir : 1. 2 paires compl`etes ?

2. au moins une paire ? 3. une paire et une seule ?

Exercice 112 : Une urne contient 8 boules num´erot´ees de 1 `a 8. On tire trois fois de suite une boule avec remise.

Quelle est la probabilit´e d’obtenir 3 nombres : 1. dans un ordre strictement croissant ? 2. dans un ordre croissant ?

Exercice 113 : On re¸coit simultan´ement 5 cartes tir´ees au hasard dans un jeu de 52 cartes. Un jeu de 52 cartes est form´e de 4 couleurs (tr`efle, pique, carreau, coeur), contenant chacune 13 valeurs class´ees dans l’ordre : 2, 3, . . ., 10, valet, dame, roi, as.

D´eterminer la probabilit´e d’avoir :

1. une quinte flush (5 cartes cons´ecutives (par ordre de valeurs), d’une mˆeme couleur) ; 2. un carr´e (4 cartes de la mˆeme valeur) ;

3. un full (3 cartes de la mˆeme valeurV1 d’une part et 2 cartes de valeur identiqueV26=V1) ; 4. une quinte (5 cartes de valeurs cons´ecutives (par ordre de valeurs), de couleurs diff´erentes) ; 5. un brelan (3 cartes de la mˆeme valeur qui ne forment pas avec les autres un carr´e ou un full).

Exercice 114 : Dans une urne, on place 10 boules blanches et 6 boules noires. On tire successivement avec remise 4 boules de l’urne. On noteNl’´ev`enementobtenir une boule noire etB l’´ev`enementobtenir une boule blanche.

1. Quelle est la probabilit´e pour que l’on obtienne le r´esultat (N, N, B, B) ? 2. Quelle est la probabilit´e d’obtenir deux boules blanches exactement ? 3. Quelle est la probabilit´e d’obtenir au moins une boule blanche ?

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F Exercice 115 : En vue d’estimer la taille d’une population deN animaux (N est inconnu), on effectue les op´erations suivantes :

• on capture simultan´ementaanimaux que l’on marque, puis on les relˆache parmi les autres ;

• quelques temps plus tard, on capture simultan´ementnanimaux et on observe quek d’entre eux sont marqu´es.

On suppose queN est assez grand pour ˆetre sup´erieur `a n+a.

1. On veut calculer la probabilit´ep_N de tirer un ´echantillon denanimaux dontk sont marqu´es.

(a) D´eterminer le nombre d’´echantillons de taillen.

(b) D´eterminer le nombre d’´echantillons de taillencontenantkanimaux marqu´es.

(c) En d´eduirepN.

2. On veut d´eterminer la valeur de N qui rend cette probabilit´e maximale.

(a) CalculerqN = pN

p_N−1 pour toutN ∈N^∗. (b) ´Etudier le signe deq_N−1 en fonction deN.

(c) En d´eduire qu’il existe un entierN0qui rendpN maximale. Cette valeurN0 est l’estimation deN la plus vraisemblable.

3. Application num´erique : ´Evaluer la population des poissons d’un lac sachant que 200 poissons ont ´et´e marqu´es et que lors de la capture de 150 poissons, on en a comptabilis´e 15 de marqu´es.

Exercice 116 : SoitAetB deux ´ev`enements d’un espace probabilis´e.

1. CalculerP(A∩B) en fonction de P(A) etP(B).

2. D´emontrer l’´equivalence :

Aet B sont ind´ependants⇐⇒A etB sont ind´ependants.

Exercice 117 : On dispose de 10 boules noires, de 3 boules blanches et d’une urne. On place 7 boules noires et 3 boules blanches dans l’urne. On tire ensuite successivement 3 boules :

• si on tire une noire, on l’enl`eve,

• si on tire une blanche, on la retire, et on ajoute une noire `a la place.

Quelle est la probabilit´e de tirer 3 blanches `a la suite ?

F Exercice 118 : Un commer¸cant dispose d’un stock de plantes. Chacune des plantes fleurit une fois par an. Pour chaque plante, la premi`ere ann´ee, la probabilit´e de donner une fleur rose est de 3/4, celle de donner une fleur blanche est de 1/4. Puis, les ann´ees suivantes, pour tout entier natureln, on a :

• si l’ann´een, la plante a donn´e une fleur rose, alors l’ann´ee n+ 1, elle donnera une fleur rose ;

• si l’ann´een, la plante a donn´e une fleur blanche, alors l’ann´een+ 1, elle donnera de fa¸con ´equiprobable une fleur rose ou une fleur blanche.

On note pn la probabilit´e de l’´ev`enement :la plante a donn´e une fleur rose l’ann´een. 1. Montrer que pour tout entier natureln, on a :

pn+1= 1 2pn+1

2. 2. En d´eduire une expression depn en fonction den.

3. D´eterminer la limite de la suite (pn)_n∈N.

4. Quelle est la probabilit´e que la plante ne donne que des fleurs roses pendant les npremi`eres ann´ees ? 5. Quelle est la probabilit´e que la plante ne donne que des fleurs blanches pendant lesnpremi`eres ann´ees ?

Exercice 119 : Un fumeur veut arrˆeter de fumer. Il est tiraill´e entre le manque de volont´e et la mauvaise conscience : s’il a r´eussi `a ne pas fumer un jour il fume le lendemain avec la probabilit´e 1

2, mais s’il a fum´e un jour, alors il ne fume le lendemain qu’avec la probabilit´e 1

4. On notepn la probabilit´e qu’il fume len-i`eme jour (n∈N^∗).

1. Calculerp_n+1 en fonction dep_n pour toutn∈N^∗.

2. En d´eduire une expression dep_n en fonction dep₁ et denpour toutn∈N^∗. 3. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (p_n)_n∈N^∗.

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Exercice 120 : On a deux urnesU1 et U2. DansU1, il y a 3 boules rouges et 5 boules blanches. DansU2, il y a 5 boules rouges et 6 boules blanches. Les boules blanches sont indiscernables entre elles, les boules rouges aussi.

On tire au hasard une boule deU₁et on la met dansU₂. On tire ensuite, toujours au hasard, une boule dansU₂et on la met dans U₁.

1. On note

R1l’´ev`enement on a tir´e une boule rouge deU1, R2l’´ev`enement on a tir´e une boule rouge deU2. (a) D´eterminerP(R1) etP(R2|R1).

(b) D´eterminer la probabilit´e d’avoir tir´e deux boules rouges cons´ecutives. Que peut-on alors dire de la com- position de l’urneU1?

2. D´eterminer la probabilit´e pour qu’au cours de l’exp´erience la composition de l’urne U₁ n’ait pas chang´e.

Exercice 121 : On dispose de deux d´esD1etD2´equilibr´es `a 6 faces. Les faces deD1sont num´erot´ees de 1 `a 6 tandis queD2 poss`ede 5 faces portant le num´ero 1 et 1 face portant le num´ero 6. On choisit un d´e au hasard et on le lance deux fois. On consid`ere les ´ev`enementsE=le premier lancer donne l’as etF =le deuxi`eme lancer donne l’as.

1. CalculerP(E) etP(F).

2. (a) Sachant que l’on a choisi le d´eD₂quelle est la probabilit´e de l’´ev`enement E∩F? (b) Calculer P(E∩F).

3. Les ´ev`enementsE et F sont-ils ind´ependants ?

Exercice 122 : Quatre pour cent des pi`eces fabriqu´ees dans un atelier ´etant d´efectueuses, on d´ecide de les contrˆoler

`

a l’aide d’une machine.

• Si la pi`ece est bonne, elle est accept´ee avec une probabilit´e de 98%.

• Si la pi`ece est d´efectueuse, elle est refus´ee avec une probabilit´e de 99%.

1. Calculer la probabilit´e des ´ev`enements suivants :

A:La pi`ece est d´efectueuse et elle est accept´ee., B :La pi`ece est bonne et elle est refus´ee., 2. CalculerP(A∪B). Interpr´eter ce r´esultat.

3. Calculer la probabilit´e que la pi`ece soit bonne sachant qu’elle a ´et´e refus´ee.

Exercice 123 : Soienta, b∈N^≥2. On dispose de deux urnesU etV. L’urneU contientaboules blanches et 2aboules rouges, alors que l’urneV contient bboules blanches etbboules rouges.

On jette deux fois un d´e non pip´e. Si la somme des deux chiffres obtenus est au moins ´egale `a 6, alors on tire simultan´ement 2 boules de l’urneU, sinon on tire simultan´ement deux boules de l’urneV.

1. Calculer la probabilit´e d’obtenir deux boules blanches.

2. Calculer la probabilit´e d’avoir tir´e les deux boules dans l’urneU sachant que les deux boules tir´ees sont blanches.

Exercice 124 : Une exp´erience est conduite pour ´etudier la m´emoire des rats. Un rat est mis devant trois couloirs.

Au bout de l’un d’eux se trouve la nourriture qu’il aime, au bout des deux autres, il re¸coit une d´echarge ´electrique.

Cette exp´erience ´el´ementaire est r´ep´et´ee jusqu’`a ce que le rat trouve le bon couloir.

1. On suppose tout d’abord que le rat n’a aucun souvenir des exp´eriences ant´erieures. Avec quelle probabilit´ep_k la premi`ere tentative r´eussie est-elle lak-i`eme (k∈N^∗) ?

2. On suppose maintenant que le rat se souvient de l’exp´erience imm´ediatement pr´ec´edente. Avec quelle probabilit´e q_k la premi`ere tentative r´eussie est-elle lak-i`eme (k∈N^∗) ?

3. On suppose enfin que le rat se souvient des deux exp´eriences pr´ec´edentes. Avec quelle probabilit´er_k la premi`ere tentative r´eussie est-elle lak-i`eme (k∈N^∗) ?

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