Probabilit´es continues - Exercices Exercice

Probabilit´ es continues - Exercices

Exercice 1

Le parking `a proximit´e de mon travail coˆute assez cher. Le stationnement est payant de 8h `a 18h. Un agent municipal passe chaque jour, une fois par jour, al´eatoirement entre 8h et 18h.

Partie A. ´ Equiprobabilit´ e

On suppose que la probabilit´e que l’agent passe est, `a chaque instant entre 8h et 18h, la mˆeme.

Quelle est la probabilit´e que je sois verbalis´e par un agent municipal si je gare ma voiture sans payer : a) de 9h `a 10h ? b) de 15h `a 16h ? c) de 12h `a 14h ? d) de 10h30 `a 12h ?

e) de 11h20 `a 11h35 ? f) de 11h20 `a 11h21 ? g) de 11h20 `a 11h20 et 30s ? h) `a 10h20 ?

Partie B. Vers un mod` ele plus r´ ealiste

Ce ”profil” constant n’est en fait pas tr`es r´ealiste. Un mod`ele plus r´ealiste pourrait ˆetre celui propos´e ci-dessous, prenant en compte un d´ebut de journ´ee plus en douceur, une pause-d´ejeuner entre midi et deux, . . .

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0,05 0,1 0,15 P

De mˆeme que dans la partie A, d´eterminer la probabilit´e que je sois verbalis´e par un agent si je gare ma voiture sans payer :

a) de 8h `a 9h ? b) de 10h `a 11h ? c) de 11h `a 14h ? d) de 15h `a 15h30 ? e) de 8 `a 18h ?

Partie C. Un mod` ele plus r´ ealiste et plus fin

On peut encore affiner le profil pr´ec´edent, avec un d´ecoupage horaire plus fin :

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0,020 0,05 0,08 0,12 0,15 0,20 P

De mˆeme que pr´ec´edemment, quelles sont les probabilit´es d’ˆetre verbalis´e : a) entre 8h et 18h ? b) entre 10h et 11h ? c) entre 11h30 et 14h ?

Partie D. Un mod` ele sans sauts, et encore plus r´ ealiste. . .

La probabilit´e de passage de l’agent peut d´ependre de fa¸con continue (sans sauts. . .) de l’heure dans la journ´ee.

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 P

De mˆeme que pr´ec´edemment, quelles sont les probabilit´es d’ˆetre verbalis´e :

a) entre 10h et 12h ? b) entre 10h et 11h ? c) entre 11h30 et 14h ? entre 8h et 18h ?

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Partie E. Un autre exemple de mod` ele (plus r´ ealiste ?)

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

C^f

On donne cette fois :

— pour 86x69 et 126x614 et 176x618,f(x) = 0.

— pour 96x612, f(x) =−1

9(x²−21x+ 108).

— pour 146x617, f(x) =−1

9(x²−31x+ 238).

Repr´esenter graphiquement la probabilit´e que l’agent passe entre 10h et 12h.

Exprimer cette probabilit´e `a l’aide d’une int´egrale, puis la calculer.

Exercice 2

Soit X une variable al´eatoire qui suit la loi uniforme sur [4; 24].

1. Donner la fonction densit´e de probabilit´e de X.

2. D´eterminer l’esp´erance de X, et en donner une interpr´etation.

3. D´eterminer les probabilit´es : a)P(X ∈[4; 14]) b)P (X ∈[8; 17]) c)P (X 612) d)P (X >20)

Exercice 3

^Xest une variable al´eatoire qui suit la loi exponentielle de param`etreλ= 0,05. Calculer les probabilit´es : a)P (X 610) b)P (X >10) c)P (X>20) d)P (X ∈[10; 20]) e)P (X ∈[15; 25])

Exercice 4

^Y est une variable al´eatoire qui suit la loi exponentielle de parm`etre λ= 0,002.

D´eterminer le nombre r´eel x tel que P (X 6x) = 0,3.

Exercice 5

Dans un magasin, le temps d’attente en caisse est mod´elis´e par une loi exponentielle de param`etre λ= 0,2.

On consid`ere la variable al´eatoire X ´egale au temps d’attente en caisse. X est une variable al´eatoire continue qui peut prendre toutes les valeurs de l’ensemble continu [0; +∞[, et qui suit la loi de probabilit´e exponentielle de param`etre λ= 0,2.

1. D´eterminer la probabilit´e d’attendre moins de 5 minutes, c’est-`a-direP (06X 65).

2. Quel est le temps d’attente moyen ?

3. Quelle est la probabilit´e d’attendre entre 5 et 10 min ? 4. Quelle est la probabilit´e d’attendre plus de 15 min ?

Exercice 6

Soit X une variable al´eatoire qui suit la loi exponentielle de param`etre λ. 1. Cas λ = 2.

a) Donner l’expression de la fonction f densit´e de probabilit´e de X.

b) Calculer la d´eriv´ee f^′ de f, et en d´eduire le tableau de variation de f. Compl´eter ce tableau avec les limites de f.

c) Tracer l’allure de la courbe repr´esentative def, et tracer sa tangenteT au point d’abscisse 0.

D´eterminer l’´equation de cette tangente, puis l’abscisse de son point d’intersection avec l’axe des abscisses.

2. Cas g´en´eral. D´eterminer dans le cas g´en´eral, λ > 0 quelconque, l’abscisse du point d’inter- section avec l’axe des abscisses de la tangente `a l’origine `a la courbe de f.

Exercice 7

Soit f la fonction d´efinie sur IR par f(x) =e^−x22 .

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1. D´eterminer les limites en −∞ et +∞ def. Interpr´eter graphiquement ces r´esultats.

2. ´Etudier le sens de variation de f.

3. Tracer l’allure de la courbe repr´esentative de f.

Exercice 8

^Xest la variable al´eatoire qui suit la loi normaleN(10; 2). D´eterminer les probabilit´es : a)P (X610) b) P(X 612) c)P (X ∈[8; 12]) d)P (X ∈[6; 14]) e) P(X >16)

Exercice 9

Une machine produit des objets de masse men grammes. SoitX la variable al´eatoire prenant pour valeur la masse des objets produits,X suit une loi normale de moyenne 250 et d’´ecart type 2. Calculer les probabilit´es qu’un objet p`ese :

a) plus de 250 g b) moins de 251 g c) plus de 252 g d) entre 246 et 254 g

Exercice 10

Une machine fabrique des condensateurs de capacit´e 5µF en tr`es grande s´erie.

La variable al´eatoire X mesurant leur capacit´e suit la loi normale de moyenne m = 4,96µF et d’´ecart typeσ = 0,05µF.

On consid`ere qu’un condensateur est acceptable si sa capacit´e est comprise entre 4,85µF et 5,15µF.

1. Calculer la probabilit´e pour qu’un condensateur soit acceptable.

2. La machine est bien r´egl´ee si 99% de sa production est acceptable. La machine est-elle bien r´egl´ee ?

Exercice 11

Une machine fabrique des pi`eces circulaires en s´erie. A chaque pi`ece tir´ee au hasard, on associe son diam`etre x exprim´e en millim`etre. On d´efinit ainsi une variable al´eatoire X. On suppose queX suit la loi normale de moyenne µ= 32 et d’´ecart type σ= 1 (en mm).

Pour ˆetre utilisable, une pi`ece doit satisfaire `a la norme suivante : 316x633.

1. Quelle est la probabilit´e pqu’une pi`ece soit utilisable ?

2. Le coˆut de fabrication d’une pi`ece est not´ef. Dans un lot de 100 pi`eces fabriqu´ees, le coˆut de fabrication est donc de 100f, tandis que le nombre de pi`eces utilisables est seulement de 100p.

Ainsi, le prix moyen de fabrication est : M = 100f 100p = f

p.

a. Calculer le prix moyen de fabrication avec la machine pr´ec´edente si f = 10,80 euros.

Pour diminuer le pourcentage de pi`eces d´efectueuses, on pourrait utiliser une machine plus moderne : son ´ecart type serait de 0,5 mm, et X suivrait alors la loi normale N(32; 0,5), mais le coˆut de fabrication serait alors de f₂ = 12 euros avec cette nouvelle machine.

b. Calculer pour cette nouvelle machine la probabilit´ep₂ qu’une pi`ece soit utilisable.

c. D´eterminer le prix de revient moyen M₂ pour cette nouvelle machine. Commenter.

Exercice 12

Une entreprise fabrique des brioches en grande quantit´e.

On p`ese les boules de pˆate avant cuisson. On note X la variable al´eatoire qui, `a chaque boule de pˆate, associe sa masse. On admet que X suit la loi normale de moyenne 700 g et d’´ecart type 20 g.

1. Seules les boules dont la masse est comprise entre 666 g et 732 g sont accept´ees `a la cuisson.

Quelle est la probabilit´e pour qu’une boule prise au hasard soit accept´ee `a la cuisson ? 2. D´eterminer le r´eel positif h afin que l’on ait : P(700−h6X 6700 +h)>0,95.

Interpr´eter ce r´esultat.

Exercice 13

1. On tire au hasard, successivement et avec remise, trois cartes dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilit´e de tirer un as ? deux as ?

2. On tire cette fois successivement 10 cartes. Quelle est la probabilit´e de tirer deux as ? Quelle est la probabilit´e de tirer au moins quatre as ?

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3. Combien de cartes faut-il tirer pour que la probabilit´e de tirer au moins quatre as soit sup´erieure `a 0,95 ?

Exercice 14

^{Soit X} une variable al´eatoire qui suit la loi binomiale B(100; 0,3).

1. Donner l’esp´erance µ et l’´ecart typeσ deX.

2. Calculer les probabilit´es P (X ∈[20; 40]), P(X ∈[30; 35]), P (X 625) et P(X >50).

3. On approxime X par la variable al´eatoire Y qui suit la loi normale N(µ, σ).

Calculer les probabilit´es P (Y ∈[20; 40]), P(Y ∈[30; 35]), P(Y 625) et P (Y >50).

Calculer l’erreur relative commise avec cette approximation.

Exercice 15

Une entreprise dispose d’un parc de 25 machines du mˆeme type, fonctionnant ind´ependamment les unes des autres. Au cours d’une journ´ee une machine peut-ˆetre en panne ou fonctionner correctement, la probabilit´e qu’elle tombe en panne ´etant de 0,035.

1. Soit X la variable al´eatoire prenant pour valeur le nombre de machines tomb´ees en panne un jour donn´e parmi les 25 utilis´ees. On admettra que cette variable al´eatoire suit une loi binomiale de param`etres n= 25 et p= 0,035.

a. Donner l’esp´erance math´ematique et la variance de X.

b. D´eterminer `a 10<sup>−3</sup> pr`es les probabilit´es des ´ev´enements suivants :

• aucune machine ne tombe en panne un jour donn´ee ;

• au moins 2 machines tombent en panne un jour donn´e.

2. Si une machine tombe en panne au cours d’une journ´ee, on fait appel au service de d´epannage qui effectue la r´eparation pour que la machine soit en service le lendemain. Soit Y la variable al´eatoire prenant pour valeur le temps de r´eparation en heures. On admet que Y suit la loi normale de moyenne 3 heures et d’´ecart type 1,5 heures.

D´eterminer les probabilit´es des ´ev´enements suivants :

• la r´eparation d’une machine d´epasse 6 heures ;

• la r´eparation d’une machine dure moins de 1,5 heures.

Exercice 16

Une ligne de transmission entre un ´emetteur et un r´ecepteur transporte des pages de texte, chaque page ´etant repr´esent´ee par 100 000 bits. La probabilit´e pour qu’un bit soit erron´e est estim´e `a 0,0001 et on admet que les erreurs sont ind´ependantes les unes des autres.

Partie A.SoitXla variable al´eatoire donnant le nombre d’erreurs lors de la transmission d’une page.

1. Quelle est la loi de probabilit´e suivie par X? Calculer la moyenne et l’´ecart type de X.

2. On admet que cette loi peut ˆetre approch´ee par une loi normale de param`etres m = 10 et σ =√

10. D´eterminer alors la probabilit´e pour qu’une page comporte au plus 15 erreurs.

Exercice 17

Les lois de Weibullrecouvrent toute une famille de lois, dont la fonction densit´e de probabilit´e a deux param`etresk >0 etλ >0 et peut s’´ecrire sous la forme, pour toutx∈[0; +∞[,

f(x) = k λ

x

λ k−1

e^−(x/λ)k

La loi de Weibull est souvent utilis´ee dans le domaine de l’analyse de la dur´ee de vie.

1. ´Ecrire la fonction densit´e de probabilit´e pour k = 1. Quelle loi retrouve-t’on ? 2. On consid`ere la loi de Weibull de param`etres k= 2 et λ = 5, ainsi f(x) = 2

25xe^−x2/25. a) Calculer la fonction d´eriv´ee f^′ def et d´eterminer son signe.

Dresser alors le tableau de variation de f. Pr´eciser les limites.

b) Repr´esenter graphiquement la fonctionf.

Comparer avec la densit´e de probabilit´e de la loi exponentielle de l’exercice pr´ec´edent.

c) Donner une primitive F def et calculer les probabilit´es :

i)P (X 65) ii)P (56X 610) iii) P (06X 610) iv) P (X >10)

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