Probabilit´es continues

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Probabilit´ es continues

I - Des probabilit´ es discr` etes aux probabilit´ es continues

Exercice 1

Le parking à proximité de mon travail coûte assez cher. Le stationnement est payant de 8h à 18h. Un agent municipal passe chaque jour, une fois par jour, aléatoirement entre 8h et 18h.

Partie A. ´ Equiprobabilit´ e

On suppose que la probabilité que l’agent passe est, à chaque instant entre 8h et 18h, la même.

Quelle est la probabilité que je sois verbalisé par un agent municipal si je gare ma voiture sans payer : a) de 9h à 10h ? b) de 15h à 16h ? c) de 12h à 14h ? d) de 10h30 à 12h ?

e) de 11h20 à 11h35 ? f) de 11h20 à 11h21 ? g) de 11h20 à 11h20 et 30s ? h) à 10h20 ?

On peut repr´esenter ce ”profil” uniforme de probabilit´e de passage de l’agent sur un graphique :

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0,1 P

Partie B. Vers un mod` ele plus r´ ealiste

Ce ”profil” constant n’est en fait pas très réaliste. Un modèle plus réaliste pourrait être celui proposé ci-dessous, prenant en compte un début de journée plus en douceur, une pause-déjeuner entre midi et deux, . . .

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0,05 0,1 0,15 P

De même que dans la partie A, déterminer la probabilité que je sois verbalisé par un agent si je gare ma voiture sans payer :

a) de 8h à 9h ? b) de 10h à 11h ? c) de 11h à 14h ? d) de 15h à 15h30 ? e) de 8 à 18h ?

Partie C. Un mod` ele plus r´ ealiste et plus fin

On peut encore affiner le profil précédent, avec un découpage horaire plus fin :

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0,020 0,05 0,08 0,12 0,15 0,20 P

De même que précédemment, quelles sont les probabilités d’être verbalisé :

(2)

a) entre 8h et 18h ? b) entre 10h et 11h ? c) entre 11h30 et 14h ?

Partie D. Un mod` ele sans sauts, et encore plus r´ ealiste. . .

La probabilité de passage de l’agent peut dépendre de fa¸con continue (sans sauts. . .) de l’heure dans la journée.

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 P

De même que précédemment, quelles sont les probabilités d’être verbalisé :

a) entre 10h et 12h ? b) entre 10h et 11h ? c) entre 11h30 et 14h ? entre 8h et 18h ?

Partie E. Un autre exemple de mod` ele (plus r´ ealiste ?)

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Cf

On donne cette fois :

— pour 86x69 et 126x614 et 176x618,f(x) = 0.

— pour 96x612, f(x) =−1

9(x²−21x+ 108).

— pour 146x617, f(x) =−1

9(x²−31x+ 238).

Repr´esenter graphiquement la probabilit´e que l’agent passe entre 10h et 12h.

Exprimer cette probabilité à l’aide d’une intégrale, puis la calculer.

Définition Si on note X la variable aléatoire égale à l’heure de passage de l’agent, alors X peut prendre toutes les valeurs réelles de l’ensemble continu [8; 18].

Définition La fonction f, définissant le ”profil” de probabilité, s’appelle la densité de probabilité de la variable aléatoire X, et on a alors

P(a 6X 6b) = Z b

a

f(x)dx On impose deux conditions à une densité de probabilitéf,

• pour tout x∈[a;b], f(x)>0 (les probabilit´es sont des nombres positifs)

• P (86X 618) = Z 18

8

f(x)dx= 1 (la somme des probabilit´es est 1)

(3)

Propriété Pour une variable aléatoirex de densité de probabilitéf définie sur [a;b], on a P (c6X 6d) =

Z d

c

f(t)dt Dans la partie A,f est constante : pour tout x∈[8,18], f(x) = 0,1.

Dans les parties B et C,f est une fonction en escalier, c’est-`a-dire constante par morceaux.

Dans la partie D, f est une fonction affine par morceaux, et dans la partie E, f est d´efinie par morceaux par deux arcs de parabole. Dans ces deux derniers cas, la fonctionf est de plus continue.

On définit de plus l’espérance, la variance, et l’écart type d’une variable aléatoire : Définition Pour une variable aléatoirex de densité de probabilitéf définie sur [a;b],

• l’esp´erance est E(X) = Z b

a

xf(x)dx

• la variance est V(X) = Z b

a

(x−E(X))²f(x)dx

• l’´ecart type est σ(X) =p V(X).

II - Loi uniforme

Définition Une variable aléatoireX suit la loi uniforme sur [a;b]lorsque sa densité de probabilitéf est la fonction constante sur [a;b] définie par f(t) = 1

b−a.

Propriété SiX est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur[a;b]alors, pour tout intervalle [c;d] inclus dans [a;b], on a

P (c6X 6d) = Z d

c

f(t)dt= d−c b−a

Propriété Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a;b], alors :

• son esp´erance estE(X) = a+b 2

• sa variance estV(X) = (b−a)²

12 , et son ´ecart type σ(X) =p V(X).

Démonstration: La densité de probabilité est la fonction constante f définie par f(x) = 1 b−a.

• E(X) = Z b

a

xf(x)dx= Z b

a

1

b−axdx.

Une primitive de x7→ 1

b−ax est G(x) = 1 b−a

1

2x², et donc, et alors E(X) =G(b)−G(a) = 1

2 1

b−ab²−1 2

1

b−aa² = 1 2

1

b−a b² −a²

= 1 2

1

b−a(b−a) (b+a) = 1 2(b+a)

• V(X) = Z b

a

x− a+b 2

2

f(x)dx= Z b

a

x− a+b 2

2

1

b−adx= 1 b−a

Z b

a

x−a+b 2

2

dx.

(4)

Une primitive de x7→

x− a+b 2

2

(de la forme u^′uⁿ) est H(x) = 1 3

x−a+b 2

3

, et donc

V(X) = 1

b−a(H(b)−H(a)) avecH(b) = 1

3

b− a+b 2

3

= 1 3

b−a 2

3

etH(a) = 1 3

a− a+b 2

3

= 1 3

a−b 2

3

=−1 3

b−a 2

3

. Ainsi,

V(X) = 1

b−a 2× 1 3

b−a 2

3!

= 2 3

1 b−a

(b−a)³

2³ = (b−a)² 12

Exercice 2

Soit X une variable al´eatoire qui suit la loi uniforme sur [4; 24].

1. Donner la fonction densit´e de probabilit´e de X.

2. Déterminer l’espérance de X, et en donner une interprétation.

3. D´eterminer les probabilit´es : a)P(X ∈[4; 14]) b)P(X ∈[8; 17]) c)P (X 612) d)P (X >20)

III - Loi exponentielle

Définition Une variable aléatoireX suit la loi exponentielle de paramètre λ >0 lorsque sa densité de probabilité est la fonction f définie sur [0; +∞[ par f(x) =λe⁻^λx.

Exemple :La durée de vie, en heures, d’un composant électronique est modélisé par la loi exponentielle de paramètre λ= 2.10⁻⁴.

Calculer les probabilit´es que ce composant tombe en panne : a) avant 1000 heures de fonctionnement,

b) entre 4000 et 6000 heures de fonctionnement, c) apr`es plus de 10 000 heures de fonctionnement

Propriété L’espérance d’une variable aléatoire X suivant la loi exponentielle de paramètre λ est E(X) = 1

λ.

Exemple :L’espérance de la loi précédente estE(X) = 1

λ = 1

2.10⁻⁴ = 5000 : la dur´ee de vie moyenne d’un composant est de 5000 heures.

La loi exponentielle permet de modéliser la durée de vie d’un phénomène, d’un composant

électronique par exemple, ou encore de modéliser les phénomènes d’attente.

Exercice 3

^X est une variable al´eatoire qui suit la loi exponentielle de param`etre λ = 0,05.

Calculer les probabilit´es :

a)P (X610) b) P(X >10) c)P (X >20) d)P (X ∈[10; 20]) e)P (X ∈[15; 25])

Exercice 4

^Y est une variable al´eatoire qui suit la loi exponentielle de parm`etre λ= 0,002.

D´eterminer le nombre r´eel x tel que P (X 6x) = 0,3.

(5)

Exercice 5

Dans un magasin, le temps d’attente en caisse est modélisé par une loi exponentielle de paramètre λ= 0,2.

On considère la variable aléatoire X égale au temps d’attente en caisse. X est une variable aléatoire continue qui peut prendre toutes les valeurs de l’ensemble continu [0; +∞[, et qui suit la loi de probabilité exponentielle de paramètre λ= 0,2.

1. Déterminer la probabilité d’attendre moins de 5 minutes, c’est-à-direP (06X 65).

2. Quel est le temps d’attente moyen ?

3. Quelle est la probabilit´e d’attendre entre 5 et 10 min ? 4. Quelle est la probabilit´e d’attendre plus de 15 min ?

Exercice 6

Soit X une variable al´eatoire qui suit la loi exponentielle de param`etre λ.

1. Cas λ = 2.

a) Donner l’expression de la fonction f densit´e de probabilit´e de X.

b) Calculer la dérivée f^′ de f, et en déduire le tableau de variation de f.

Compl´eter ce tableau avec les limites de f.

c) Tracer l’allure de la courbe repr´esentative def, et tracer sa tangenteT au point d’abscisse 0.

D´eterminer l’´equation de cette tangente, puis l’abscisse de son point d’intersection avec l’axe des abscisses.

2. Cas général. Déterminer dans le cas général, λ > 0 quelconque, l’abscisse du point d’intersection avec l’axe des abscisses de la tangente à l’origine à la courbe de f.

IV - Loi normale

Exercice 7

Soit f la fonction d´efinie sur IR par f(x) =e⁻^x2² .

1. Déterminer les limites en −∞ et +∞ def. Interpréter graphiquement ces résultats.

2. ´Etudier le sens de variation de f.

3. Tracer l’allure de la courbe repr´esentative de f.

(6)

Définition Une variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne µ et d’écart type σ, notée N(m;σ), si sa densité de probabilité est la fonction f définie sur IR par :

f(x) = 1 σ√

2π e⁻

(x−µ)² 2σ²

µ

1 σ√

2π

Pour tous r´eels c et d, on a alors : P (c6X 6d) = Z d

c

f(x)dx

c d

Casio

Menu STAT, puis DIST, et enfin NORM

• Calcul de P(a6X 6b)→ Ncd (Normal, cumulative distribution) avec pour valeurs : Lower : a

Upper : b

σ : 1

µ : 0

puis Calc (F1) . . .

• Calcul de P(X 6b) :

on peut procéder de même, en entrant la borne inférieure Lower :−1E+99 TI

2nd→DISTR (ou distrib)

• Calcul de P(a6X 6b)→ normalcdf (ou normalFrep) puis : normalcdf(a,b,0,1)

• Calcul de P(X 6b)→ on procède de même en entrant la borne inférieure a=−1Ê+99 : normalcdf(a,b,0,1)

(7)

Des valeurs `a connaˆıtre :

• P (X 6µ) = P(X >µ) = 0,5

• P (µ−σ 6X 6µ+σ)≃0,68

• P (µ−2σ 6X 6µ+ 2σ)≃0,95

• P (µ−3σ 6X 6µ+ 3σ)≃0,997

σ 2σ 3σ

−σ

−2σ

−3σ

34,1%

14% 14%

2% 2%

0,1% 0,1%

m

Exercice 8

^Xest la variable aléatoire qui suit la loi normaleN(10; 2). Déterminer les probabilités : a)P (X610) b) P(X 612) c)P (X ∈[8; 12]) d)P (X ∈[6; 14]) e) P(X >16)

Exercice 9

Une machine produit des objets de masse men grammes. SoitX la variable aléatoire prenant pour valeur la masse des objets produits,X suit une loi normale de moyenne 250 et d’écart type 2. Calculer les probabilités qu’un objet pèse :

a) plus de 250 g b) moins de 251 g c) plus de 252 g d) entre 246 et 254 g

Exercice 10

Une machine fabrique des condensateurs de capacité 5µF en très grande série.

La variable aléatoire X mesurant leur capacité suit la loi normale de moyenne m = 4,96µF et d’écart typeσ = 0,05µF.

On consid`ere qu’un condensateur est acceptable si sa capacit´e est comprise entre 4,85µF et 5,15µF.

1. Calculer la probabilit´e pour qu’un condensateur soit acceptable.

2. La machine est bien réglée si 99% de sa production est acceptable. La machine est-elle bien réglée ?

Exercice 11

Une machine fabrique des pièces circulaires en série. A chaque pièce tirée au hasard, on associe son diamètre x exprimé en millimètre. On définit ainsi une variable aléatoire X. On suppose queX suit la loi normale de moyenne µ= 32 et d’écart type σ= 1 (en mm).

Pour être utilisable, une pièce doit satisfaire à la norme suivante : 316x633.

1. Quelle est la probabilit´e pqu’une pi`ece soit utilisable ?

2. Le coût de fabrication d’une pièce est notéf. Dans un lot de 100 pièces fabriquées, le coût de fabrication est donc de 100f, tandis que le nombre de pièces utilisables est seulement de 100p. Ainsi, le prix moyen de fabrication est : M = 100f

100p = f p.

a. Calculer le prix moyen de fabrication avec la machine pr´ec´edente si f = 10,80 euros.

Pour diminuer le pourcentage de pièces défectueuses, on pourrait utiliser une machine plus moderne : son écart type serait de 0,5 mm, et X suivrait alors la loi normale N(32; 0,5), mais le coût de fabrication serait alors de f₂ = 12 euros avec cette nouvelle machine.

b. Calculer pour cette nouvelle machine la probabilit´ep₂ qu’une pi`ece soit utilisable.

c. D´eterminer le prix de revient moyen M₂ pour cette nouvelle machine. Commenter.

Exercice 12

Une entreprise fabrique des brioches en grande quantit´e.

On pèse les boules de pâte avant cuisson. On note X la variable aléatoire qui, à chaque boule de pâte, associe sa masse. On admet que X suit la loi normale de moyenne 700 g et d’écart type 20 g.

1. Seules les boules dont la masse est comprise entre 666 g et 732 g sont accept´ees `a la cuisson.

Quelle est la probabilité pour qu’une boule prise au hasard soit acceptée à la cuisson ?

(8)

2. D´eterminer le r´eel positif h afin que l’on ait : P(700−h6X 6700 +h)>0,95.

Interpr´eter ce r´esultat.

V - Loi binomiale et loi Normale

1) Rappel : loi binomiale

Propriété On répèten fois successivement, de manière identique et indépendante, une expérience aléatoire qui a deux issues possibles : un succès de probabilitépet un échec de probabilité q= 1−p. Alors, la variable aléatoireX égale au nombre de succès sur les n répétitions suit la loi binomialeB(n;p).

On a alors de plus,

— l’esp´erance : E(X) =np

— la variance : V(X) =np(1−p) =npq

— l’´ecart type :σ(X) =p

V(X) =p

np(1−p)

Exercice 13

1. On tire au hasard, successivement et avec remise, trois cartes dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilit´e de tirer un as ? deux as ?

2. On tire cette fois successivement 10 cartes. Quelle est la probabilit´e de tirer deux as ? Quelle est la probabilit´e de tirer au moins quatre as ?

3. Combien de cartes faut-il tirer pour que la probabilit´e de tirer au moins quatre as soit sup´erieure

`a 0,95 ?

Théorème Pour n suffisamment grand, on peut remplacer les probabilités associées à la loi binomiale B(n;p) par celles de la loi normale N(µ;σ)avec µ=np et σ=p

np(1−p).

En pratique, on approche les probabilit´es de la loi binomiale par celles de la loi normale lorsque n >50, np>5 et nq >5 .

B(10; 0,6) et N(6; 1,549)

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0 4 8 12

B(30; 0,2) et N(6; 2,19) 0.05

0.10 0.15 0.20

0 4 8 12 16

(9)

B(50; 0,5) et N(25; 3,54)

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

B(100; 0,5) et N(50; 5)

0.02 0.04 0.06 0.08

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Exercice 14

Soit X une variable al´eatoire qui suit la loi binomiale B(100; 0,3).

1. Donner l’esp´erance µ et l’´ecart typeσ deX.

2. Calculer les probabilit´es P (X ∈[20; 40]), P(X ∈[30; 35]), P (X 625) et P(X >50).

3. On approxime X par la variable al´eatoire Y qui suit la loi normale N(µ, σ).

Calculer les probabilit´es P (Y ∈[20; 40]), P(Y ∈[30; 35]), P(Y 625) et P (Y >50).

Calculer l’erreur relative commise avec cette approximation.

Exercice 15

Une entreprise dispose d’un parc de 25 machines du même type, fonctionnant indépendamment les unes des autres. Au cours d’une journée une machine peut-être en panne ou fonctionner correctement, la probabilité qu’elle tombe en panne étant de 0,035.

1. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de machines tombées en panne un jour donné parmi les 25 utilisées. On admettra que cette variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres n= 25 et p= 0,035.

a. Donner l’esp´erance math´ematique et la variance de X.

b. Déterminer à 10⁻³ près les probabilités des événements suivants :

• aucune machine ne tombe en panne un jour donn´ee ;

• au moins 2 machines tombent en panne un jour donn´e.

2. Si une machine tombe en panne au cours d’une journée, on fait appel au service de dépannage qui effectue la réparation pour que la machine soit en service le lendemain. Soit Y la variable aléatoire prenant pour valeur le temps de réparation en heures. On admet que Y suit la loi normale de moyenne 3 heures et d’écart type 1,5 heures.

Déterminer les probabilités des événements suivants :

• la r´eparation d’une machine d´epasse 6 heures ;

• la r´eparation d’une machine dure moins de 1,5 heures.

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Exercice 16

Une ligne de transmission entre un émetteur et un récepteur transporte des pages de texte, chaque page étant représentée par 100 000 bits. La probabilité pour qu’un bit soit erroné est estimé à 0,0001 et on admet que les erreurs sont indépendantes les unes des autres.

Partie A.SoitXla variable al´eatoire donnant le nombre d’erreurs lors de la transmission d’une page.

1. Quelle est la loi de probabilit´e suivie par X? Calculer la moyenne et l’´ecart type de X.

2. On admet que cette loi peut être approchée par une loi normale de paramètres m = 10 et σ =√

10. D´eterminer alors la probabilit´e pour qu’une page comporte au plus 15 erreurs.

Exercice 17

Les lois de Weibullrecouvrent toute une famille de lois, dont la fonction densité de probabilité a deux paramètresk >0 etλ >0 et peut s’écrire sous la forme, pour toutx∈[0; +∞[,

f(x) = k λ

x λ

k−1

e^−(x/λ)^k

La loi de Weibull est souvent utilis´ee dans le domaine de l’analyse de la dur´ee de vie.

1. Écrire la fonction densité de probabilité pour k = 1. Quelle loi retrouve-t’on ? 2. On considère la loi de Weibull de paramètres k= 2 et λ = 5, ainsi f(x) = 2

25xe^−x²^/25. a) Calculer la fonction dérivée f^′ def et déterminer son signe.

Dresser alors le tableau de variation de f. Pr´eciser les limites.

b) Repr´esenter graphiquement la fonctionf.

Comparer avec la densité de probabilité de la loi exponentielle de l’exercice précédent.

c) Donner une primitive F def et calculer les probabilit´es

a)P (X 65) b) P(56X 610) c) P(06X 610) d) P(X >10)