Feuille 30
Évènements
Exercice30.1
SiP est une probabilité surΩet siG⊂ΩvérifieP(G) = 1, montrer que pour toutF, P(F∩G) =P(F).
Exercice30.2
SoitFune tribu sur un universΩ. SoitE, FetGtrois événements deF. Pour chacune des descriptions suivantes, préciser l’événement correspondant et montrer qu’il est bien dansF.
1. EetF se réalisent maisGne se réalise pas.
2. Au moins l’un des événements se réalise.
3. Au plus deux des trois événements se réalisent.
4. Exactement un de ces événements est réalisé.
Exercice30.3
SoitN ∈N. On dispose d’une urne avecN boules numérotées de 1 àN. Le jeu consiste à tirer une boule. On a un succès si on tire la boule portant le numéro 1. On joue de manière répétée à cejeu. Les jeux sont indépendants.
Quel est le nombrekde jeux nécessaires pour que la probabilité d’avoir au moins un succès soit supérieure ou égale à 1
2?
Exercice30.4
1. Énoncer et démontrer la formule de Bayes.
2. On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés.
Pour chaque dé pipé, la probabilité d’obtenir le chiffre6lors d’un lancer vaut 1 2.
(a) On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on obtient le chiffre 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?
(b) Soitn∈N∗. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dénfois et on obtientnfois le chiffre 6.
Quelle est la probabilitépnque ce dé soit pipé ? (c) Déterminer lim
n→+∞pn. Interpréter ce résultat.
Exercice30.5
Ruine du joueur :
On fixeN ∈Netn∈[0, N]∩N.
Deux joueurs s’affrontent dans une succession de « pile ou face », la probabilité de « pile » étantp ∈]0,1[. Le joueur 1 possède initialementneuros et le joueur 2N −neuros. Lorsque le résultat d’un tirage est pile, le joueur 2 donne un euro au joueur 1 et symétriquement dans l’autre cas, c’est le joueur 1 qui donne un euro au joueur 2. Le jeu s’arrête lorsqu’un joueur n’a plus d’argent.
On notepnla probabilité que le joueur 1 finisse ruiné s’il commence avecneuros. Symétriquement, on noteqn la probabilité que le joueur 2 finisse ruiné s’il commence avecN −neuros.
1. Montrer que si0< n < N, alorspn=ppn+1+ (1−p)pn−1. 2. En déduire l’expression depn.
3. Calculer de mêmeqn, puispn+qn. Que peut-on en déduire ?
Exercice30.6
Le problème du ballot :
Lors d’une élection opposant deux candidats A et B, le premier reçoit nvoix et le second m ≤ nvoix. En supposant équiprobables les différents ordres d’apparition des bulletins lors du dépouillement (et en ignorant les bulletins blancs ou non valides), on noteP(n, m)la probabilité que le candidatAsoit toujours strictement en tête lors du dépouillement.
1. Montrer que
P(n, m) = P(A toujours en tête|le dernier vote est en faveur deA) n
n+m +P(A toujours en tête|le dernier vote est en faveur deB) m
n+m. 2. En déduire queP(n, m) = n−m
n+m.
Exercice30.7
Soita∈ ò
0,1 2 ï
. On notepkla probabilité qu’une famille aitkenfants. On suppose quep0 =p1 = aet, pour toutk≥2, pk= (1−2a)2−(k−1).
1. Montrer que la suite(pk)k∈Nest bien une distribution de probabilités.
On convient queP(Fille) =P(Garçon) = 1/2.
On noteEn: « la famille anenfants »,Fn: « la famille anfilles » etGn: « la famille angarçons ».
2. Quelle est la probabilité pour qu’une famille ayant deux filles ait deux enfants seulement ? 3. Quelle est la probabilité pour qu’une famille ait deux garçons sachant qu’elle a deux filles ?
Exercice30.8
Loi de succession de Laplace :
N urnes sont numérotées de 1 àN. On suppose que l’urne de numérokcontientkboules blanches etN −k boules noires.
On choisit une urne au hasard, et sans connaître son numéro, on en tirenfois de suite une boule, avec remise après chaque tirage.
1. Quelle est la probabilité que le tirage suivant (toujours dans la même urne) donne encore une boule blanche, sachant que, au cours desnpremiers tirages, seules des boules blanches ont été tirées ?
2. Quelle est la limite de cette probabilité lorsqueN tend vers l’infini ?
Variables aléatoires
Exercice30.9
On considère deux urnesU1etU2contenantb1, b2boules blanches etn1, n2boules noires. On choisit au hasard une urne et on tire ensuite une boule dans cette urne.
1. Quelle est la probabilité de tirer une boule noire ?
2. Quelle la probabilité d’avoir effectué le tirage dans l’urneUisachant qu’une boule noire a été tirée ?
Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea
Exercice30.10
X1suit une loi binomiale de paramètres(n1, p),X2suit une loi binomiale de paramètres(n2, p).
On suppose queX1 etX2sont indépendantes.
Calculer la loi deX1sachant queX1+X2 =n(avecnun entier compris entre0etn1+n2).
Exercice30.11
On considèreX1, X2, X3 trois variables aléatoires, mutuellement indépendantes, à valeurs dans{1,. . . , n}et suivant toutes une loi uniforme. On noteY1, Y2, Y3 les valeurs deX1, X2, X3 réordonnées dans l’ordre croissant.
En particulier,Y1= min(X1, X2, X3)etY3 = max(X1, X2, X3).
1. Pourk∈ {1, . . . , n}, trouverP(Y3 ≤k). En déduire la loi deY3. 2. Déterminer la loi deY1.
3. On noteZkla variable aléatoire égale au nombre d’indicei∈ {1,2,3}tels queXi≤k.
(a) Quelle est la loi deZk?
(b) Comparer[Zk≥2]et[Y2≤k]. En déduireP(Y2 ≤k).
Exercice30.12
On considère deux urnesU etV contenant chacune 2 boules. Au départ, l’urneU contient 2 boules blanches et l’urneV contient 2 boules noires.
On effectue une suite de tirages dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à tirer au hasard une boule de chaque urne et à la mettre dans l’autre urne (il y a donc échange de 2 boules à chaque tirage).
Pour tout entier natureln, on noteXnla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l’urne U avant le(n+ 1)-ème tirage et on a doncX0= 2.
Pour tout entier natureln, on poseCn=
Ñ P(Xn= 0) P(Xn= 1) P(Xn= 2)
é .
1. On noteM la matrice deM3(R)dont l’élément de la(i+ 1)-ème ligne et de la(j+ 1)-ème colonne, pour tout couple(i, j)∈ {0,1,2}2, est égal àP(Xn+1 =i|Xn=j), lorsqueP(Xn=j)>0.
(a) Montrer queM =
Ñ 0 1/4 0 1 1/2 1 0 1/4 0
é .
(b) Établir que, pour toutn∈N, Cn+1=M Cnpuis queCn=MnC0. (c) Calculer la loi deXnpour toutn∈N.
Exercice30.13
Loi hypergéométrique :
Une urne contientN balles, dontbsont bleues etr =N −bsont rouges. Un échantillon denballes est tiré de l’urne, sans remise.
1. Quelle est la loi du nombreBde balles bleues dans l’échantillon ? 2. On fixen∈Netk∈ {0, . . . , n}.
On suppose quebdépend deNavecbN
N −−−−−→
N→+∞ p, oùpest fixé dans]0,1[.Montrer queP(BN = k)−−−−−→
N→+∞
Çn k
å
pk(1−p)n−k. Comment interpréter ce résultat ?
Exercice30.14
Une modélisation du « pile ou face » infini :
On admet que surΩ = [0,1[, il existe une tribuF contenant les intervalles et une probabilitéP :F →[0,1]tel que pour tout intervalleI ⊂[0,1[, P(I)est égal à la longueur deI.
Pour toutn∈N∗, on noteXnla variable aléatoire de[0,1[dans{0,1}définie par : pour toutω∈[0,1[, Xn(ω)
1. Quelle est la loi deXn?
2. Montrer que lesXnsont mutuellement indépendantes.
Exercice30.15
Soit(Xn)n∈N∗ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes telle que, pour toutn∈N∗, Xn∼ B(p)oùp∈]0,1[.
Pour toutn∈N∗, on noteSn=X1+· · ·+Xnet on convient queS0 = 0. On note égalementZn=n−Sn. 1. SnetZnsont-elles indépendantes ?
SoitNune variable aléatoire indépendante desXntelle queN ∼ P(λ)avecλ >0. On poseS =X1+. . .+XN etZ =N −S.
2. Montrer queS etZ sont des variables aléatoires.
3. Montrer queS etZ sont indépendantes et préciser leurs lois.
Espérance
Exercice30.16
On dispose d’une urne contenantnboules. On en tirenavec remise, et on marque chaque boule tirée. Donner un équivalent lorsquentend vers l’infini du nombre de boules marquées.
Exercice30.17
SoitP1, . . . , Pnune communauté denpersonnes, avecn≥2. De façon indépendante, chacune envoie une lettre à une autre personne de la communauté en choisissant au hasard (de façon uniforme) le destinataire.
1. On considère l’une de ces personnes : quelle est la probabilitépj,n qu’elle reçoivejlettres ? Donner un équi- valent depj,nlorsquen→ ∞(àjfixé). Pouvait-on prévoir ce résultat ?
2. Déterminer la probabilité que l’une au moins desnpersonnes reçoive exactementjlettres, lorsquej > n/2.
Exercice30.18
SoitN ∈N∗etp∈]0,1[. On poseq= 1−p.
On considèreN variables aléatoiresX1, X2, . . . , XN définies sur un même espace probabilisé(Ω,T, P), mutuel- lement indépendantes et de même loi géométrique de paramètrep.
1. Soiti∈ {1, . . . , N}. Soitn∈N∗. DéterminerP(Xi≤n), puisP(Xi > n).
2. On considère la variable aléatoireY définie parY = min
1≤i≤N(Xi).
c’est à dire∀ω ∈Ω, Y(ω) = min(X1(ω), . . . , XN(ω)),mindésignant « le plus petit élément de » (a) Soitn∈N∗. CalculerP(Y > n).
En déduireP(Y ≤n), puisP(Y =n).
(b) Prouver queY admet une espérance et la calculer.
Exercice30.19
Dix chasseur·euse·s guettent le passage d’un vol de canards. Lorsque les canards passent en groupe, les chasseur·euse·s font tou·te·s feu en même temps mais chacun·e choisit sa cible au hasard indépendamment des autres. On admet que chaque chasseur·euse touche son canard avec la même probabilitép.
1. Combien de canards, en moyenne, survivront au tir lorsque le vol se compose de 20 canards ?
2. Quel sera le nombre de canards touchés si le vol se compose d’un nombre de canards suivant une loi de Poisson de paramètre 15 ?
Quentin De Muynck 4 Sous licencecbea
Exercice30.20
Graphe aléatoire d’Erdös-Rényi :
Si S est un ensemble et si A ⊂ {{x, y} / x, y ∈ S avec x 6= y}, G = (S;A) est appelé le graphe dont S est l’ensemble des sommets et dontAest l’ensemble des arêtes.
Fixons deux entiersm≥0etn≥1. On imposeS={1, . . . , n}etCard(A) =m.
On noteΩl’ensemble des graphes de sommetsSpossédantmarêtes. On choisit surΩla probabilité uniforme notée P.
1. SiG∈Ω, que vautP(G)?
2. Soit i, j ∈ S aveci 6= j. On notei ∼ jl’événement « les deux sommetsiet jsont reliés par une arête ».
CalculerP(i∼j).
3. On appelle triangle d’un graphe, un ensemble de trois sommets distincts{x, y, z}tels quex ∼ y, y ∼ z et z∼x. Quelle est l’espérance du nombre de triangles dans un graphe deΩ?
Variance
Exercice30.21
Soitλ∈]0,+∞[.
SoitXune variable aléatoire discrète à valeurs dansN∗ On suppose que∀n∈N∗, P(X =n) = λ
n(n+ 1)(n+ 2).
1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelleRdéfinie parR(x) = 1
x(x+ 1)(x+ 2). 2. Calculerλ.
3. Prouver queXadmet une espérance, puis la calculer.
4. Xadmet-elle une variance ? Justifier.
Exercice30.22
Soitk∈N∗et soitXune variable aléatoire discrète réelle.
On suppose que X admet un moment d’ordre k, c’est-à-dire que E(|X|k) < +∞. Montrer que, pour tout h∈ {1, . . . , k}, Xpossède un moment d’ordreh.
Exercice30.23
On considèrenvariables aléatoires mutuellement indépendantesX1, . . . , Xnqui suivent toutes une loi de Ber- noulli de paramètrep∈[0,1].
Pour touti∈ {1, . . . , n−1}, on poseYi =XiXi+1. On pose égalementY =
n−1
X
i=1
Yi.
1. Quelle est la loi deYi? 2. Calculer l’espérance deY.
3. Calculer la variance deY.
Exercice30.24
Considérons une matrice carrée aléatoireMde taillen×ndont les coefficientsXi,jsont des variables aléatoires indépendantes, telles queP(Xi,j =±1) = 1/2. Calculer la variance du déterminant deM.
Exercice30.25
Inégalité de Chernoff :
On effectue une infinité de lancers d’une pièce de monnaie équilibrée. Afin de travailler avec des variables centrées, on encode le résultat duk-ème jet par une variable aléatoireXktelle queP(Xk= 1) =P(Xk=−1) = 1
2. Pour toutn∈N∗, on noteSn= 1Xn
Xk.
1. Montrer que la loi faible des grands nombres fournit la majoration suivante :P(|S10000| ≥0,1)≤0,01.
2. SoitXune variable aléatoire discrète réelle. Pour toutt∈R+,on noteH(t) = lnE(etX), avec la convention H(t) = +∞siE(etX) = +∞.
Montrer que pour touta∈R, P(X ≥a)≤einft≥0(H(t)−ta). 3. LorsqueX =Sn, montrer queH(t) =nln
Å ch(t
n) ã
. 4. En déduire queP(|S10000| ≥0,1)≤3,6×10−22.
Sommes de Riemann
Exercice30.26
Inégalité de Jensen :
Soitf une application convexe deRdansR. On admettra quef est alors continue.
Soient(a, b)∈R2 tel quea < betgune application continue de[a, b]dansR. Montrer quef
Ç 1 b−a
Z b a
g(t) dt å
≤ 1 b−a
Z b a
f(g(t)) dt.
Exercice30.27
Calculer la limite lorsquentend vers+∞de n à n
Y
k=−1
Ç 1 +
Åk n
ã2å .
Exercice30.28
Soitf une application continue de[0, π]dansR.
1. Soientn∈N∗ etk∈ {0, . . . , n−1}.
Montrer qu’il existeαk ∈ ïkπ
n ,(k+ 1)π n
ò tel que
Z (k+1)π
n kπ
n
f(x)|sin(nx)|dx=f(αk)
Z (k+1)π
n kπ
n
|sin(nx)|dx.
2. Montrer que Z π
0
f(x)|sinnx|dx−−−−−→
n→+∞
2 π
Z π
0
f(x) dx.
Exercice30.29
Soitαun réel différent de 1 et de−1. Calculer Z π
0
ln(1−2αcost+α2) dt, à l’aide de sommes de Riemann.
Quentin De Muynck 6 Sous licencecbea
