Universit´e de Paris XI Math 111 - ´Equations diff´erentielles
Math´ematiques 1er semestre 2008-09
Feuille d’Exercices 4
Equations diff´´ erentielles lin´eaires d’ordre 1
Exercice 4.1.—On voudrait r´esoudre l’´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1
y0−y=e2x.
1. R´esolution de l’´equation homog`ene a. Ecrire l’´´ equation homog`ene associ´ee.
b. R´esoudre cette ´equation homog`ene en s´eparant les variables.
c. V´erifier que les solutions s’´ecrivent bien avec une constante multiplicative : l’ensemble des solution est de la forme {λg | λ ∈ R} pour une certaine fonction g qui ne s’annule jamais (`a d´eterminer).
2. Recherche d’une solution particuli`ere
Chercherunesolution particuli`ere de l’´equation diff´erentielley0−y=e2xsous la forme d’une fonctionx7→λ(x)g(x) o`u :
• gest la solution de l’´equation homog`ene trouv´ee `a la question pr´ec´edente,
• etλest unefonction inconnue`a trouver.
Autrement dit, dans l’´equation initiale, on fait le “changement de fonction inconnue” y =λg(o`u y est l’ancienne fonction inconnue, etλla nouvelle).
3. R´esolution de l’´equation
On notef0 la fonction solution particuli`ere trouv´ee `a la question pr´ec´edente.
a. Montrer que toutes les fonctionsf0+λg, avecλ∈R, sont aussi des solutions de l’´equation diff´erentielley0−y=e2x.
b. A-t-on trouv´e toutes les solutions ?
Exercice 4.2.—On consid`ere une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1 quelconque :
y0+a(x)y=b(x).
Le but de cet exercice est de comprendre pourquoi la m´ethode de l’exercice pr´ec´edent marche pour cette ´equation.
1. Chercher une solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle sous la forme d’une fonction x7→λ(x)g(x) o`u :
• gest une solution de l’´equation homog`ene associ´ee, qui ne s’annule jamais,
• etλest unefonction inconnue`a trouver.
2. On notef0une solution particuli`ere.
a. Montrer que toutes les fonctionsf0+λg, avecλ∈R, sont aussi des solutions de l’´equation diff´erentielley0−y=e2x.
b. A-t-on trouv´e toutes les solutions ?
Exercice 4.3.— R´esoudre les ´equations ci-dessous. `A chaque fois, on esquissera le champs de tangentes et on tracera quelques solutions.
1. y0−y=x.
2. y0+y= cos(x).
3. y0+ 2xy= 2x.
4. y0+ 2xy= 1 5. y0 =ytanx+ sinx, 6. y0+ycosx= 12sin 2x.
Exercice 4.4.—On consid`ere l’´equation diff´erentielle suivante, que l’on notera (E) :
y0−(1−tan(x))y= cos(x).
On s’int´eresse `a cette ´equation sur l’intervalle ]−π2,π2[.
1. Dessin de l’´equation homog`ene
Dans cette partie, on consid`ere l’´equation homog`ene associ´ee `a l’´equation (E), toujours sur l’in- tervalle ]−π2,π2[.
a. Ecrire l’´´ equation homog`ene.
b. D´eterminer, et indiquer sur un dessin,
– l’ensemble des points o`u le champ de tangentes est horizontal ; – l’ensemble des points o`u sa pente est positive ;
– l’ensemble des points o`u sa pente est n´egative.
c. Esquisser rapidement l’allure du champ de tangentes, et l’allure du graphe de quelques solutions.
2. R´esolution de l’´equation homog`ene
R´esoudre l’´equation homog`ene sur l’intervalle ]−π2,π2[. Tester les solutions obtenues.
3. Dessin des solutions
a. Quelle est la solution v´erifiant la condition initiale y(0) = 1 ? On la note g0. Donner le tableau de variations deg0 sur l’intervalle ]−π2,π2[ (on pourra utiliser la question 1). D´eterminer les limites aux bornes de l’intervalle. Tracer le graphe de g0.
b. Tracer sur le mˆeme dessin, rapidement, les graphes des trois solutions v´erifiant respective- menty(0) = 2,y(0) = 3 ,y(0) =−1.
4. R´esolution de l’´equation
R´esoudre compl`etement l’´equation (E). Tester une solution particuli`ere.
5. Variante
R´esoudre de mˆeme, sur l’intervalle ]−π2,π2[, l’´equation diff´erentielle suivante.Indication :on pourra calculer la primitive en utilisant l’exponentielle complexe, ou des int´egrations par parties.
y0−(1−tan(x))y= cos2(x).
6. Question subsidiaire
Quelles sont les solutions de l’´equation diff´erentielle suivante sur l’intervalle ]−π2,π2[ ? y0−(1−tan(x))y= cos(x) + cos2(x).
