Action de Steinitz
Référence : H2G2 p.2 à 5 et 9 à 11.
Leçons : 101,150,151,152.
SoitK =R ouC. Posons G =GLm(K)×GLn(K). On considère l’action de Steinitz par équivalence définie par :
: G× Mm,n(K) −→ Mm,n(K) ((P, Q), M) 7−→ P M Q−1 Alors :
1. (Théorème du rang) Deux matricesAet B sont dans la même orbite ssi rg(A) = rg(B).
2. On noteOr l’orbite des matrices de rang rpour r∈J0,min(m, n)K. Alors l’adhérence de Or est donnée parOr=
r
G
k=0
Ok
Théorème
Preuve :
1. ⇒ SoientAet B deux matrices équivalentes (ie dans la même orbite pour cette action).
Alors∃(P, Q)∈GtqB =P AQ−1. DoncAet B expriment la même forme linéaire par changement de base. En effet :
Soient Bn une base de Kn,Bm une base de Km et ϕ: Kn →Km une application linéaire telle que1A= MatBn,Bm(ϕ) ie les colonnes deAsont données par les vecteursϕ(ej) dans la baseBm. Comme (P, Q) ∈ G, ce sont des matrices de changement de bases. Par exemple P matrice de passage deBn à Bn0 et Qmatrice de passage de Bm à Bm0 avec Bn0 une base deKn et B0m une base deKm.
DoncB=P AQ−1= MatBn0,Bm0 (ϕ).
En particulier, rg(A) = dim (Vect( colonnes deA)) = dim(Im(ϕ)) = rg(ϕ) et de même pourB. Donc rg(A) = rg(B).
⇐ SoitAmatrice de rangr. On garde les mêmes notations que précédemment ieBn une base deKn,Bm
une base de Km etϕ:Kn→Kmune application linéaire telle queA= MatBn,Bm(ϕ). On note
Im,n,r=
Ir 0 0 0
}rlignes
}m−rlignes
|{z}
rcol.
|{z}
n−rcol.
∈ Mm,n(K)
Il suffit de montrer queAest équivalente à Im,n,r. AlorsB le sera aussi doncAetB le seront.
2.
Notes : XA l’oral,
♣ ErnstSteinitz(1871 – 1928) est un mathématicien allemand. La thèse de Steinitz portait sur les configu- rations projectives.
1. Par ex, prendre les bases canoniques etϕ:X∈Kn7→AX∈Km.
Laura Gay p.1 19 juin 2015
